Các dạng bài tập liên quan đến phương trình sóng Vật lí 11 có lời giải chi tiết. Các bạn xem để ôn tập và nắm vững kiến thức đã học.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nếu phương trình sóng tại nguồn $O$ là ${u_0} = Acos\left( {\omega t} \right)$ thì phương trình dao động tại $M$ là ${u_M} = Acos\left( {\omega t – \Delta t} \right)$
( ${u_0}$ là li độ tại $O$ vào thời điểm $t$, còn $t$ là thời gian dao động của nguồn)
• Thay $\Delta t = \frac{x}{v}$ và $\lambda = vT$ ta được phương trình sóng tại $M$ là
${u_M} = Acos\left( {\omega t – \frac{x}{v}} \right) = Acos\left( {\frac{{2\pi t}}{T} – \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)\left( * \right)$
Phương trình $\left( {{\;^*}} \right)$ trên là phương trình sóng hình sin truyền theo trục ${\mathbf{x}}$. Nó cho biết li độ $u$ của phần tử có toạ độ $x$ vào thời điểm $t$.
Nhận xét:
$ + )$ Từ $\left( {{\;^*}} \right) \Rightarrow $ dao động tại $M$ trễ pha hơn dao động tại nguồn $O$ góc $2\pi x/\lambda $
+) Từ $\frac{{2\pi x}}{\lambda } \Rightarrow x$ và cùng đơn vị.
+) Nếu cho phương trình sóng tại I là ${u_I}\left( t \right) = acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$. Ta có thể suy ra phương trình sóng tại $P$ và $Q$ (điểm đứng trước và đứng sau $I$ ):
$P$ dứng trước: ${u_p}\left( {x,t} \right) = acos\left( {\omega t + \varphi + \frac{{2\pi a}}{\lambda }} \right)$
$Q$ dứng sau: ${u_Q}\left( {x,t} \right) = acos\left( {\omega t + \varphi – \frac{{2\pi b}}{\lambda }} \right)$
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Một sợi dây đàn hồi nằm ngang có điểm đầu $O$ dao động theo phương đứng với biên độ $A = 5\;cm,\;T = 0,5\;s$. Vận tốc truyền sóng là $40\;cm/s$. Viết phương trình sóng tại $M$ cách $O$ một khoảng $50\;cm$.
Lời giải:
Phương trình dao động của nguồn: ${u_0} = Acos\left( {\omega t} \right)\left( {cm} \right)$
Với: $a = 5\;cm;\omega = 2\pi T = 2\pi 0,5 = 4\pi \left( {rad/s} \right);{u_0} = 5cos\left( {4\pi t} \right)\left( {cm} \right)$
Phương trình dao động tai $M:{u_M} = Acos\left( {\omega t – \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)$
Trong đó: $\lambda = vT = 40.0,5 = 20\left( {\;cm} \right);x = 50\;cm$
$ \Rightarrow {u_M} = 5cos\left( {4\pi t – 5\pi } \right)\left( {cm} \right)$
Bài 2: Một sóng cơ học truyền theo phương $Ox$ với biên độ coi như không đồi. Tại $O$, dao động có dạng $u = acos\omega t\left( {cm} \right)$. Tại thời điểm $M$ cách xa tâm dao động $O$ là $\frac{1}{3}$ bước sóng ở thời điểm bằng $0,5$chu kì thì ly độ sóng có giá trị là $5\;cm$ ?. Viết phương trình dao động ở M.
Lời giải:
Sóng truyền từ $O$ đến $M$ mất một thời gian là: $t = \frac{d}{v}$.
Phương trình dao động ở $M$ có dạng: $uM = acos\omega \left( {t – \frac{{1\lambda }}{{3v}}} \right)$ với $v = \lambda /T$
Tacó: $\frac{\omega }{v} = \frac{{2\pi }}{{T.\frac{\lambda }{T}}} = \frac{{2\pi }}{\lambda }$
Vậy $uM = acos\left( {\omega t – \frac{{2\pi \lambda }}{{\lambda .3}}} \right)$.
Hay : $uM = acos\left( {\omega t – \frac{{2\pi \lambda }}{3}} \right)cm$
Bài 3: Một sóng cơ học truyền dọc theo trục $Ox$ có phương trình $u = 28cos\left( {20x – 2000t} \right)$ $\left( {cm} \right)$, trong đó $x$ là tọa độ được tính bằng mét, $t$ là thời gian được tính bằng giây. Vận tốc truyền sóng là bao nhiêu?
Lời giải:
Phương trình dao động của nguồn: $u = 28cos\left( {20x – 2000t} \right) = 28cos\left( {2000t – 20x} \right)\left( {cm} \right)$
$ \Rightarrow \omega = 2000\frac{{\omega x}}{v} = 20x$
$ \Leftrightarrow \omega = 2000v = \frac{\omega }{{20}} \Rightarrow v = \frac{{2000}}{{20}} = 100\,(m/s)$
Bài 4: Một sóng cơ ngang truyền trên một sợi dây rất dài có phương trình
$u = 6cos\left( {4\pi t – 0,02\pi x} \right)$; trong đó $u$ và $x$ có đơn vị là $cm$, $t$ có đơn vị là giây. Hãy xác định vận tốc dao động của một điểm trên dây có toạ độ $x = 25\;cm$ tại thời điểm $t = 4\;s$.
Lời giải:
Vận tốc dao động của một điểm trên dây được xác định là:
$v = u’ = – 24\pi sin\left( {4\pi t – 0,02\pi x} \right)\left( {cm/s} \right)$
Thay: $x = 25\;cm$ và $t = 4\;s$ vào ta được: $v = – 24\pi sin\left( {16\pi – 0,5\pi } \right) = 24\pi \left( {cm/s} \right)$
Bài 5: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc $5\;m/s$. Phương trình sóng của một điểm $O$ trên phương truyền đó là: ${u_0} = 6cos\left( {5\pi t + } \right)cm$. Phương trình sóng tại $M$ nằm trước $O$ và cách $O$ một khoảng $50\;cm$ là gì?
Lời giải:
Tính bước sóng $\lambda = v/f = 5/2,5 = 2\;m$
Phương trình sóng tại $M$ trước $O$ (lấy dấu cộng) và cách $O$ một khoảng $x$ là: ${u_M} = Acos\left( {\omega t + \frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)\left( {cm} \right)$
$ \Rightarrow $ Phương trình sóng tại $M$ nằm trước $O$ và cách $O$ một khoảng $x = 50\;cm = 0,5\;m$ là:
${u_M} = 6cos\left( {5\pi t + \frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi .0,5}}{2}} \right)\left( {cm} \right) = 6cos\left( {5\pi t + \pi } \right)\left( {cm} \right)$
Bài 6: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ $25\;cm/s$. Phương trình sóng tại nguồn là $u = 3cos\pi t\left( {cm} \right)$. Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm $M$ cách $O$ một khoảng $25\;cm$ tại thời điểm $t = 2,5\;s$ là bao nhiêu?
Lời giải:
Bước sóng: $\lambda = \frac{{v.2\pi }}{\omega } = \frac{{25.2\pi }}{\pi } = 50\;cm/s$
Phương trình sóng tại $M$ (sóng truyền theo chiều dương) là:
${u_M} = 3cos\left( {\pi t – \frac{{2\pi 25}}{{50}}} \right) = 3cos\left( {\pi t – \pi } \right)cm$
Vận tốc thì bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo t:
${v_M} = – A\omega sin\left( {\omega t + \varphi } \right) = – 3\pi \cdot sin\left( {\pi \cdot 2,5 – \pi } \right) = – 3 \cdot sin\left( {1,5\pi } \right) = 3\pi \left( {cm/s} \right)$
Bài 7: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng có phương trình sóng tại nguồn $O$ là: $u = 4 \cdot sin\left( {cm} \right)$. Biết lúc $t$ thì li độ của phần tử $M$ là $3\;cm$, vậy lúc $t + 6\left( {\;s} \right)$ li độ của $M$ là bao nhiêu?
Lời giải:
$T = 4\;s \Rightarrow 3\;T/2 = 6\;s \Rightarrow \;$Li độ của $M$ lúc $t + 6\,(s)$ là$\; – 3\;cm.$
Bài 8: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng có phương trình sóng tại nguồn O là: $u = 4\sin \frac{\pi }{t}$ (cm). Biết lúc t thì li độ của phần tử M là 3cm, vậy lúc t + 6 (s) li độ của M là bao nhiêu?
Lời giải:
T = 4s => 3T/2 = 6s => Li độ của M lúc t + 6 (s) là -3cm.
Bài 9: Một sóng cơ lan truyền từ nguồn $O$, dọc theo trục $Ox$ với biên độ sóng không đồi, chu kì sóng $T$ và bước sóng $\lambda $. Biết rằng tại thời điểm $t = 0$, phần tử tại $O$ qua vị trí cân bằng theo chiều dương và tại thời điểm $t = 5\;T/6$ phần tử tại điểm $M$ cách $O$ một đoạn $d = \lambda /6$ có li độ là $ – 2\;cm$. Biên độ sóng là bao nhiêu?
Lời giải:
${u_0} = Acos\left( {\omega t – \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow {u_M} = Acos\left( {\omega t – \frac{{5\pi }}{6}} \right) \Rightarrow Acos\frac{{5\pi }}{6} = – 2 \Rightarrow A = \frac{4}{{\sqrt 3 }}$
