Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 7 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 7 Cánh diều] Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 12 - Cánh diều

Đề thi Học kì 2 Toán 7 - Đề số 12 - Cánh diều 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc cung cấp một đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 theo chương trình sách giáo khoa Cánh diều, đề số 12. Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập và đánh giá kiến thức, kỹ năng đã học trong học kì 2, chuẩn bị tốt cho kỳ thi học kì. Đề thi bao trùm các nội dung trọng tâm của chương trình, phân bổ hợp lý các dạng bài tập, từ cơ bản đến nâng cao.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được ôn tập và kiểm tra các kiến thức, kỹ năng sau:

Số học: Ôn tập các dạng bài tập về số hữu tỉ, số thực, các phép tính với số thực, quan hệ giữa các số thực trên trục số. Hình học: Kiểm tra kiến thức về các hình học cơ bản (đường thẳng, đoạn thẳng, góc, tam giác, quan hệ giữa các góc, tính chất các tam giác đặc biệt). Đặc biệt, học sinh sẽ cần vận dụng các định lý và tính chất để giải quyết các bài toán hình học. Đại số: Ôn tập về các phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc nhất một ẩn. Học sinh cần nắm vững cách giải các dạng phương trình, bất phương trình, và vận dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Ứng dụng thực tế: Đề thi sẽ có các bài toán áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức linh hoạt. 3. Phương pháp tiếp cận

Đề thi được thiết kế với đa dạng các dạng bài tập, bao gồm:

Bài tập trắc nghiệm: Kiểm tra kiến thức cơ bản và khả năng tư duy nhanh. Bài tập tự luận: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết, thể hiện khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Bài tập vận dụng: Đưa ra các tình huống thực tế để học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết. 4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức và kỹ năng được học trong đề thi này có thể ứng dụng vào nhiều lĩnh vực trong cuộc sống, như:

Tính toán: Giải quyết các bài toán liên quan đến tiền bạc, thời gian, quãng đường.
Phân tích: Phân tích các tình huống thực tế để đưa ra quyết định đúng đắn.
Giải quyết vấn đề: Vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tiễn.

5. Kết nối với chương trình học

Đề thi bao gồm các nội dung nằm trong chương trình học kì 2 Toán lớp 7 của sách giáo khoa Cánh diều. Các bài tập được thiết kế để đánh giá sự hiểu biết và vận dụng kiến thức của học sinh về các chủ đề đã học.

6. Hướng dẫn học tập

Để đạt kết quả tốt trong bài kiểm tra, học sinh nên:

Ôn tập lại các kiến thức trọng tâm: Tập trung vào các khái niệm, định lý, tính chất quan trọng. Giải nhiều bài tập: Thực hành giải các dạng bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng. Tìm hiểu các dạng bài tập: Hiểu rõ cách phân tích và giải quyết từng dạng bài tập. Làm bài tập đề mẫu: Làm quen với cấu trúc và dạng câu hỏi của đề thi. * Hỏi đáp với giáo viên: Nếu có khó khăn, hãy chủ động hỏi giáo viên để được giải đáp. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Đề Thi Học Kì 2 Toán 7 - Cánh Diều - Đề 12

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 12 - Cánh diều bao gồm các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận, giúp học sinh ôn tập kiến thức số học, hình học, đại số, và ứng dụng thực tế. Download đề thi ngay để chuẩn bị tốt cho kỳ thi.

Keywords (40 từ khóa):

Đề thi, học kì 2, Toán 7, Cánh diều, đề số 12, số học, hình học, đại số, số hữu tỉ, số thực, phép tính, phương trình, bất phương trình, tam giác, đường thẳng, góc, ứng dụng thực tế, ôn tập, kiểm tra, chuẩn bị thi, download đề thi, lớp 7, sách giáo khoa, Cánh diều, kỳ thi học kì, bài tập trắc nghiệm, bài tập tự luận, bài tập vận dụng, toán lớp 7, đề thi mẫu, hướng dẫn học tập, kỹ năng giải toán, ôn luyện, đáp án, lời giải chi tiết, đề thi online, đề thi giấy.

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Cho bảng thống kê số lượt khách du lịch (ước đạt) đến Ninh Bình trong các năm 2016, 2017, 2018:

A.
13,33%.
B.
13,34%.
C.
13,35%.
D.
13,36%.

Câu 2 :

Biểu đồ dưới đây cho biết kỉ lục thế giới về thời gian chạy cự li 100 mét trong các năm từ 1912 đến 2005.

A.
0,81.
B.
0,83.
C.
0,85.
D.
0,87.

Câu 3 :

Cho hai biểu thức: \(E = 2\left( {a + b} \right) - 4a + 3\) và \(F = 5b - \left( {a - b} \right)\)

Khi a = 5 và b = -1. Chọn khẳng định đúng:

A.
\(E = F\).
B.
\(E > F\).
C.
\(E < F\).
D.
\(E \approx F\).

Câu 4 :

Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)

A.
\(ab.\)
B.
\(ah.\)
C.
\((a + b)h.\)
D.
\(\frac{{(a + b)h}}{2}.\)

Câu 5 :

Hệ số tự do của đa thức \( - {x^7} + 5{x^5} - 12x - 22\) là

A.
\( - 22.\)
B.
\( - 1.\)
C.
\(5.\)
D.
\(22.\)

Câu 6 :

Giá trị của đa thức \(g\left( x \right) = {x^8}{\rm{ + }}{x^4} + {x^2} + 1\) tại \(x = - 1\) bằng

A.
\( - 4.\)
B.
\( - 3.\)
C.
\(3.\)
D.
\(4.\)

Câu 7 :

Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A.
Trong điều kiện thường nước sôi ở \({100^o}C.\)
B.
Tháng tư có 30 ngày.
C.
Gieo một con xúc xắc 1 lần, số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là 7.
D.
Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7.

Câu 8 :

Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là

A.
\(\frac{1}{4}.\)
B.
\(\frac{1}{3}.\)
C.
\(\frac{1}{2}.\)
D.
\(1.\)

Câu 9 :

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B = {65^0}.\) Chọn khẳng định đúng.

A.
\(AB < BC < AC.\)
B.
\(BC > AC > AB.\)
C.
\(BC < AC < AB.\)
D.
\(AC < AB < BC.\)

Câu 10 :

Cho tam giác \(ABC\) có AM là đường trung tuyến, trọng tâm \(G\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
\(AM = 3AG.\)
B.
\(AG = 2GM.\)
C.
\(3AM = 2AG.\)
D.
\(AG = \frac{1}{2}GM.\)

Câu 11 :

Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

A.
\(4cm,\;5cm,\;10cm.\)
B.
\(5cm,\;5cm,\;12cm.\)
C.
\(11cm,\;11cm,\;20cm.\)
D.
\(9cm,\;20cm,\;11cm.\)

Câu 12 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {35^0};\widehat B = {45^0}\). Số đo góc C là:

A.
\({70^0}\).
B.
\({80^0}\).
C.
\({90^0}\).
D.
\({100^0}\).

II. Tự luận

Câu 1 :

a) Tính giá trị của biểu thức \(A = (2x + y)(2x - y)\) tại \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thoả mãn \(x(3x - 2) - 3{x^2} = \frac{3}{4}.\)

Câu 2 :

Biểu đồ dưới đây biểu diễn lượng mưa (đơn vị mm) của hai tỉnh Lai Châu và Cà Mau trong các năm 2018 – 2022.(Nguồn: Tổng cục thống kê)

a) Tính tổng lượng mưa tại Lai Châu và Cà Mau trong giai đoạn 2018 – 2022.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 năm trong 5 năm đó, tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Tại năm được chọn, lượng mưa ở Cà Mau cao hơn ở Lai Châu”.

B: “Tại năm được chọn, lượng mưa ở Lai Châu thấp hơn 25m”.

Câu 3 :

Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = 5{x^4} - 7{x^2} - 3x - 6{x^2} + 11x - 30\) và \(B\left( x \right) = - 11{x^3} + 5x - 10 + 13{x^4} - 2 + 20{x^3} - 34x\)

a) Thu gọn hai đa thức \(A\left( x \right)\) và \(B\left( x \right)\) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

Câu 4 :

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(BH \bot AC;CK \bot AB\) (\(H \in AC;\,\)\(K \in AB\)).

a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của \(\widehat {BIC}\).

c) Chứng minh: \(HK\,{\rm{//}}\,BC\).

Câu 5 :

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn:

\(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)và \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\).

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Cho bảng thống kê số lượt khách du lịch (ước đạt) đến Ninh Bình trong các năm 2016, 2017, 2018:

A.
13,33%.
B.
13,34%.
C.
13,35%.
D.
13,36%.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tỉnh số lượng khách năm 2018 tăng so với năm 2016.

Số lượt khách du lịch đến Ninh Bình trong năm 2018 tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2016 bằng:

Số lượt khách tăng : số lượt khách năm 2016 . 100 (%)

Lời giải chi tiết :

Số lượt khách du lịch năm 2018 tăng so với năm 2016 là:

7,3 – 6,44 = 0,86 (triệu lượt)

Số lượt khách du lịch đến Ninh Bình trong năm 2018 tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2016 là:

\(\frac{{0,86}}{{6,44}}.100 = 13,35\left( \% \right)\)

Đáp án C.

Câu 2 :

Biểu đồ dưới đây cho biết kỉ lục thế giới về thời gian chạy cự li 100 mét trong các năm từ 1912 đến 2005.

A.
0,81.
B.
0,83.
C.
0,85.
D.
0,87.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và thực hiện phép tính để xác định.

Lời giải chi tiết :

Từ năm 1912 đến năm 2005 kỉ lục thế giới về cự li chạy 100 mét đã giảm là:

\(10,6 - 9,77 = 0,83\) (giây)

Đáp án B.

Câu 3 :

Cho hai biểu thức: \(E = 2\left( {a + b} \right) - 4a + 3\) và \(F = 5b - \left( {a - b} \right)\)

Khi a = 5 và b = -1. Chọn khẳng định đúng:

A.
\(E = F\).
B.
\(E > F\).
C.
\(E < F\).
D.
\(E \approx F\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay a = 5 và b = -1 vào các biểu thức để tính giá trị và so sánh.

Lời giải chi tiết :

Thay a = 5 và b = -1 vào, ta có:

\(E = 2.\left( {5 - 1} \right) - 4.5 + 3 = - 9\)

\(F = 5.\left( { - 1} \right) - \left( {5 + 1} \right) = - 11\)

Vì \( - 9 > - 11\) nên \(E > F\).

Đáp án B.

Câu 4 :

Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)

A.
\(ab.\)
B.
\(ah.\)
C.
\((a + b)h.\)
D.
\(\frac{{(a + b)h}}{2}.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để viết biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài) là: \(\frac{{\left( {a + b} \right).h}}{2}\).

Đáp án D.

Câu 5 :

Hệ số tự do của đa thức \( - {x^7} + 5{x^5} - 12x - 22\) là

A.
\( - 22.\)
B.
\( - 1.\)
C.
\(5.\)
D.
\(22.\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Lời giải chi tiết :

Hệ số tự do của đa thức \( - {x^7} + 5{x^5} - 12x - 22\) là – 22.

Đáp án A.

Câu 6 :

Giá trị của đa thức \(g\left( x \right) = {x^8}{\rm{ + }}{x^4} + {x^2} + 1\) tại \(x = - 1\) bằng

A.
\( - 4.\)
B.
\( - 3.\)
C.
\(3.\)
D.
\(4.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay \(x = - 1\) vào đa thức để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Thay \(x = - 1\) vào đa thức g(x) ta được:

\(g\left( x \right) = {\left( { - 1} \right)^8}{\rm{ + }}{\left( { - 1} \right)^4} + {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\)

Đáp án D.

Câu 7 :

Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A.
Trong điều kiện thường nước sôi ở \({100^o}C.\)
B.
Tháng tư có 30 ngày.
C.
Gieo một con xúc xắc 1 lần, số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là 7.
D.
Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về các loại biến cố.

Lời giải chi tiết :

Biến cố “Gieo hai con xúc xắc 1 lần, tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7” là biến cố ngẫu nhiên.

Đáp án D.

Câu 8 :

Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là

A.
\(\frac{1}{4}.\)
B.
\(\frac{1}{3}.\)
C.
\(\frac{1}{2}.\)
D.
\(1.\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về xác suất của các biến cố đồng khả năng.

Lời giải chi tiết :

Do đồng xu cân đối nên biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” và “Đồng xu xuất hiện mặt sấp” là đồng khả năng nên xác suất của 2 biến cố này bằng nhau và bằng \(\frac{1}{2}\).

Đáp án C.

Câu 9 :

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B = {65^0}.\) Chọn khẳng định đúng.

A.
\(AB < BC < AC.\)
B.
\(BC > AC > AB.\)
C.
\(BC < AC < AB.\)
D.
\(AC < AB < BC.\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh đối nhau trong một tam giác và định lí tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\).

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = {65^0}\) nên

\(\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {90^0} - {65^0} = {25^0}\).

Vì \(\widehat A > \widehat B > \widehat C\left( {{{90}^0} > {{65}^0} > {{25}^0}} \right)\) nên \(BC > AC > AB\).

Đáp án B.

Câu 10 :

Cho tam giác \(ABC\) có AM là đường trung tuyến, trọng tâm \(G\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
\(AM = 3AG.\)
B.
\(AG = 2GM.\)
C.
\(3AM = 2AG.\)
D.
\(AG = \frac{1}{2}GM.\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) suy ra \(GM = AM - AG = AM - \frac{2}{3}AM = \frac{1}{3}AM\).

Suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{\frac{1}{3}AM}}{{\frac{2}{3}AM}} = \frac{1}{2}\) hay \(AG = 2GM\).

Đáp án B.

Câu 11 :

Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

A.
\(4cm,\;5cm,\;10cm.\)
B.
\(5cm,\;5cm,\;12cm.\)
C.
\(11cm,\;11cm,\;20cm.\)
D.
\(9cm,\;20cm,\;11cm.\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của một tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

4 + 5 = 9 < 10, ba độ dài \(4cm,\;5cm,\;10cm\) không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

5 + 5 = 10 < 12, ba độ dài \(5cm,\;5cm,\;12cm\) không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

11 > 20 – 11 = 9, ba độ dài \(11cm,\;11cm,\;20cm\) thỏa mãn điều kiện của bất đẳng thức tam giác nên đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

11 = 20 – 9, ba độ dài \(9cm,\;20cm,\;11cm\) không thỏa mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Đáp án C.

Câu 12 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {35^0};\widehat B = {45^0}\). Số đo góc C là:

A.
\({70^0}\).
B.
\({80^0}\).
C.
\({90^0}\).
D.
\({100^0}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định lí tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\).

Lời giải chi tiết :

Số đo góc C là:

\(\begin{array}{l}\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B\\ = {180^0} - {35^0} - {45^0}\\ = {100^0}\end{array}\)

Đáp án D.

II. Tự luận

Câu 1 :

a) Tính giá trị của biểu thức \(A = (2x + y)(2x - y)\) tại \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thoả mãn \(x(3x - 2) - 3{x^2} = \frac{3}{4}.\)

Phương pháp giải :

a) Thay \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}\) vào A để tính giá trị biểu thức.

b) Sử dụng các phép tính với đa thức một biến để tìm giá trị của x.

Lời giải chi tiết :

a) Tại \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}\) ta có

\(\begin{array}{l}A = \left[ {2 \cdot ( - 2) + \frac{1}{3}} \right]\left[ {2 \cdot ( - 2) - \frac{1}{3}} \right]\\ = \left( { - 4 + \frac{1}{3}} \right)\left( { - 4 - \frac{1}{3}} \right)\\ = \frac{{ - 11}}{3}.\frac{{ - 13}}{3}\\ = \frac{{143}}{9}.\end{array}\)

b) \(x(3x - 2) - 3{x^2} = \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 2x - 3{x^2} = \frac{3}{4}\\ - 2x = \frac{3}{4}\\x = \frac{{ - 3}}{8}.\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 3}}{8}\).

Câu 2 :

Biểu đồ dưới đây biểu diễn lượng mưa (đơn vị mm) của hai tỉnh Lai Châu và Cà Mau trong các năm 2018 – 2022.(Nguồn: Tổng cục thống kê)

a) Tính tổng lượng mưa tại Lai Châu và Cà Mau trong giai đoạn 2018 – 2022.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 năm trong 5 năm đó, tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Tại năm được chọn, lượng mưa ở Cà Mau cao hơn ở Lai Châu”.

B: “Tại năm được chọn, lượng mưa ở Lai Châu thấp hơn 25m”.

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

a) Tổng lượng mưa tại Lai Châu trong giai đoạn 2018 – 2022 là:

\(2895 + 2543 + 2702 + 2457 + 2475 = 13072\) (mm)

Tổng lượng mưa tại Cà Mau trong giai đoạn 2018 – 2022 là:

\(2008 + 2263 + 2395 + 2130 + 2919 = 11715\)(mm)

b) Trong 5 năm trên, có 1 năm lượng mưa ở Cà Mau cao hơn ở Lai Châu (năm 2022) nên xác suất của biến cố A là: \(\frac{1}{5}\).

Trong 5 năm trên, có 2 năm lượng mưa ở Lai Châu thấp hơn 25m (năm 2021, 2022) nên xác suất của biến cố B là: \(\frac{2}{5}\).

Câu 3 :

Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = 5{x^4} - 7{x^2} - 3x - 6{x^2} + 11x - 30\) và \(B\left( x \right) = - 11{x^3} + 5x - 10 + 13{x^4} - 2 + 20{x^3} - 34x\)

a) Thu gọn hai đa thức \(A\left( x \right)\) và \(B\left( x \right)\) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

Phương pháp giải :

Thực hiện tính toán với đa thức một biến.

Lời giải chi tiết :

a) \(A\left( x \right) = 5{x^4} - 7{x^2} - 3x - 6{x^2} + 11x - 30\)

\(\begin{array}{l} = 5{x^4} + \left( { - 7{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( { - 3x + 11x} \right) - 30\\ = 5{x^4} - 13{x^2} + 8x - 30\end{array}\)

\(B\left( x \right) = - 11{x^3} + 5x - 10 + 13{x^4} - 2 + 20{x^3} - 34x\)

\(\begin{array}{l} = 13{x^4} + \left( { - 11{x^3} + 20{x^3}} \right) + \left( {5x - 34x} \right) + \left( { - 10 - 2} \right)\\ = 13{x^4} + 9{x^3} - 29x - 12\end{array}\)

b) \(A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {5{x^4} - 13{x^2} + 8x - 30} \right) - \left( {3{x^4} + 9{x^3} - 29x - 12} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 5{x^4} - 13{x^2} + 8x - 30 - 3{x^4} - 9{x^3} + 29x + 12\\ = \left( {5{x^4} - 3{x^4}} \right) - 9{x^3} - 13{x^2} + \left( {8x + 29x} \right) + \left( { - 30 + 12} \right)\\ = 2{x^4} - 9{x^3} - 13{x^2} + 37x - 18\end{array}\)

Câu 4 :

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(BH \bot AC;CK \bot AB\) (\(H \in AC;\,\)\(K \in AB\)).

a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của \(\widehat {BIC}\).

c) Chứng minh: \(HK\,{\rm{//}}\,BC\).

Phương pháp giải :

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACK\) theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. suy ra AH = AK nên tam giác AKH là tam giác cân.

b) Chứng minh \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{N_1}}\) nên \(\Delta AKI = \Delta AHI\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông suy ra \(\widehat {AIK} = \widehat {AIH}\)

Từ đó ta có \(\widehat {CIM} = \widehat {BIM}\) nên IM là phân giác của góc BIC

c) Từ tam giác cân ABC và AHK ta có \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\), \(\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AKH}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // BC.

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \) (vì \(BH \bot AC;CK \bot AB\))

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân);

góc A chung;

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

\( \Rightarrow AH = AK \Rightarrow \Delta AHK\) cân tại A (đpcm).

b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta AHI\) có: \(\widehat {AKI} = \widehat {AHI} = 90^\circ \) (vì \(BH \bot AC;CK \bot AB\))

AK = AH (\(\Delta AHK\) cân tại A);

cạnh AI chung;

Do đó: \(\Delta AKI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {AIH}\).

Mà: \(\widehat {AIK} = \widehat {CIM};\widehat {AIH} = \widehat {BIM}\) (2 góc đối đỉnh).

Do đó: \(\widehat {CIM} = \widehat {BIM}\)\( \Rightarrow IM\)là phân giác của góc BIC (đpcm).

c) \(\Delta ABC\) cân tại A nên: \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) .

\(\Delta AHK\) cân tại A nên: \(\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) .

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {AKH}\).

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó: KH // BC (đpcm).

Câu 5 :

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn:

\(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)và \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\).

Phương pháp giải :

Biến đổi \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\) thành \(\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = 0\)

Từ đó ta có \(6z = 12x = 8y\).

Đặt \(6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)\)

Tìm k dựa vào \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\)

Từ đó tính được x, y, z.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\) nên

\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {z - 4x} \right)}}{{3.3}} = \frac{{4\left( {3x - 2y} \right)}}{{4.4}} = \frac{{2\left( {4y - 3z} \right)}}{{2.2}}\\\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\end{array}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{6z - 12x + 12x - 8y + 8y - 6z}}{{9 + 16 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}6z - 12x = 0\\12x - 8y = 0\\8y - 6z = 0\end{array} \right.\) hay \(6z = 12x = 8y\).

Đặt \(6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right)\) ta được \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)\)

Theo giả thiết \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\) hay \(200 < 9{k^2} + 16{k^2} < 450\)

suy ra \(200 < 25{k^2} < 450 \Rightarrow k \in \left\{ {3;4} \right\}\)

Từ đó tìm được \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {6;9;12} \right);\left( {8;12;16} \right)} \right\}\)