[Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 8 Chân trời sáng tạo] Trắc nghiệm toán 8 bài 6 chương 1 chân trời sáng tạo có đáp án
Bài học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đa thức để thực hiện phép cộng và phép trừ đa thức. Học sinh sẽ được làm quen với các quy tắc cộng, trừ đa thức, từ đó nắm vững cách thức biến đổi và rút gọn các biểu thức đại số. Mục tiêu chính của bài học là giúp học sinh:
Hiểu được khái niệm đa thức, hạng tử đồng dạng. Áp dụng thành thạo quy tắc cộng và trừ đa thức. Giải quyết được các bài toán liên quan đến phép cộng và phép trừ đa thức. 2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được học các kiến thức và kỹ năng sau:
Khái niệm đa thức:
Biết được cấu tạo, các hạng tử của một đa thức, cách biểu diễn đa thức.
Hạng tử đồng dạng:
Nhận biết và phân loại các hạng tử đồng dạng trong một đa thức.
Quy tắc cộng đa thức:
Hiểu cách cộng hai hoặc nhiều đa thức.
Quy tắc trừ đa thức:
Hiểu cách trừ một đa thức cho một đa thức khác.
Biến đổi và rút gọn đa thức:
Vận dụng các quy tắc cộng, trừ để biến đổi và rút gọn các biểu thức đại số.
Giải quyết các bài toán liên quan:
Áp dụng kiến thức vào giải các bài tập về cộng, trừ đa thức.
Bài học được thiết kế theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
Giải thích lý thuyết:
Giáo viên sẽ trình bày rõ ràng các khái niệm và quy tắc.
Ví dụ minh họa:
Các ví dụ cụ thể sẽ được đưa ra để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng các quy tắc.
Bài tập thực hành:
Học sinh sẽ được làm các bài tập để rèn luyện kỹ năng.
Thảo luận nhóm:
Bài học sẽ khuyến khích học sinh thảo luận nhóm để cùng nhau giải quyết các bài toán khó.
Kiến thức về phép cộng và phép trừ đa thức có nhiều ứng dụng trong đời sống và các môn học khác, như:
Thiết kế và tính toán:
Trong các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích, hay các bài toán về hình học.
Khoa học tự nhiên:
Trong việc mô tả và tính toán các đại lượng vật lý.
Kinh tế:
Trong việc tính toán lợi nhuận, chi phí.
Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán 8, giúp học sinh chuẩn bị cho việc học các bài học về phương trình, bất phương trình, và các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Bài học này liên kết chặt chẽ với các khái niệm về đa thức đã học ở các lớp trước và làm nền tảng cho việc học các phép biến đổi đa thức phức tạp hơn.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tốt bài học này, học sinh cần:
Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và quy tắc. Làm ví dụ: Thực hành giải các ví dụ minh họa. Làm bài tập: Làm thật nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng. Thảo luận với bạn bè: Thảo luận với bạn bè để cùng nhau giải quyết các bài toán khó. * Tìm hiểu thêm: Tìm kiếm thêm các bài tập, ví dụ trên internet hoặc sách tham khảo. Tiêu đề Meta: Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6 Chương 1 Mô tả Meta: Đề trắc nghiệm Toán 8 Bài 6 Chương 1: Phép cộng và phép trừ đa thức - Chân trời sáng tạo. Bao gồm đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức. Keywords (40 từ):Trắc nghiệm toán 8, toán 8, phép cộng đa thức, phép trừ đa thức, đa thức, hạng tử đồng dạng, chân trời sáng tạo, bài 6 chương 1, bài tập toán 8, bài tập trắc nghiệm, đáp án, hướng dẫn giải, ôn tập, kiểm tra, luyện tập, học toán, học sinh lớp 8, chương trình chân trời sáng tạo, giáo dục phổ thông, bài học, kỹ năng, ứng dụng thực tế, liên hệ thực tế, phương pháp học tập, giải bài tập, bài tập có lời giải, đề kiểm tra, đề thi, ôn thi, tài liệu học tập, toán học, đa thức lớp 8, phép toán đại số, cộng trừ đại số, biến đổi đại số.
Đề bài
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Chọn khẳng định đúng?
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Chọn câu đúng?
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải và đáp án
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\)
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Quy đồng mẫu thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\):
\(\frac{A}{B} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\frac{C}{D} = \frac{{BC}}{{BD}}\)
Do đó \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BD}} - \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Đáp án : B
Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \( - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\).
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Đáp án : D
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{1} = x - 2\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\\ \Rightarrow A = \frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{\left( {x + 2} \right)2}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{2x + 4}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{3{x^2} - 3x + 5x - 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} - 3x + 5x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{2x + 4 - 3{x^2} - 2x + 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\end{array}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 4x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - 2{x^2} - 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - 2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Vậy phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Đáp án : D
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{x + 3}} + \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\\ = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{ - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{3x + 21 + 2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x - 3}}\end{array}\)
Chọn câu đúng?
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x - y}} \ne \frac{{x - y}}{{x + y}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{3x + 2 - 2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3\left( {2x + 3} \right)}}{{18}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{18}} = \frac{{6x + 9}}{{18}} + \frac{{2x + 2}}{{18}}\\ = \frac{{6x + 9 + 2x + 2}}{{18}} = \frac{{8x + 11}}{{18}} \ne \frac{{3x + 4}}{{18}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x + 3 + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{5x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}} = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \left( {\frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{7}{{x - 1}}} \right)\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{{x^2} - 5x - x + 5}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} - 5x - x + 5 + 7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{8{x^2} + x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {2{x^2} + x - 3} \right) - \left( {8{x^2} + x + 12} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3 - 8{x^2} - x - 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}} = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{5.2\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4x\left( {2x - 3} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{8{x^2} - 12x}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10 + 8{x^2} - 12x + 4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{12{x^2} + 8x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{12{x^2} - 6x + 14x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x\left( {2x - 1} \right) + 7\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {6x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x + 7}}{{4x}}\end{array}\)
Với \(x = \frac{1}{4}\) ta có: \(A = \frac{{6 \cdot \frac{1}{4} + 7}}{{4 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{{\frac{3}{2} + 7}}{1} = \frac{3}{2} + 7 = \frac{3}{2} + \frac{{14}}{2} = \frac{{17}}{2}\)
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Đáp án : B
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x - 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 23} \right)}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x - 3 - x + 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\end{array}\)
Với \(x = 2023\), ta có: \(B = \frac{{20}}{{\left( {2023 - 23} \right)\left( {2023 - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{2000.2020}} = \frac{{20}}{{20.100.2020}} = \frac{1}{{100.2020}} = \frac{1}{{202000}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x - 3} \right) + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 6 + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
\(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\ = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\ = 1 - \frac{1}{{100}} = \frac{{99}}{{100}}\end{array}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Đáp án : C
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2} - {z^2} + {y^2}{z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x - x{y^2} - x{z^2} + x{y^2}{z^2} + y - {x^2}y - y{z^2} + {x^2}y{z^2} + z - {x^2}z - {y^2}z + {x^2}{y^2}z}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - {x^2}y - {x^2}z} \right) + \left( {y - x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {z - x{{\rm{z}}^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} + {x^2}{y^2}z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - xy - x{\rm{z}}} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - x{\rm{z}} - yz} \right) + xyz\left( {yz + x{\rm{z}} + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x.yz + y.x{\rm{z}} + z.xy + xyz.1}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\end{array}\)
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Đáp án : B
Tính tổng \(\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\) sau đó đồng nhất hệ số.
\(\begin{array}{l}\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + Bx + 3B + C{x^2} + 6Cx + 9C}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{C{x^2} + \left( {B + 6C} \right)x + \left( {A + 3B + 9C} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\end{array}\)
\(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 2\\B + 6C = - 3\\A + 3B + 9C = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 39\\B = - 15\\C = 2\end{array} \right.\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Đáp án : D
Từ điều kiện \(3y - x = 6\) thay \(x = 3y - 6\) vào biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Ta có: \(3y - x = 6\) suy ra \(x = 3y - 6\)
Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) ta được:
\(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}} \\= \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}} \\= 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\)
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12\left( {x + 2} \right) + \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12x + 24 + 3 - x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right) - \left( {11x + 27} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10x + 30 - 11x - 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{ - x + 3}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
Tại \(x = - \frac{3}{4}\) ta có \(A = \frac{1}{{\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4}}} = \frac{1}{{\frac{{45}}{{16}}}} = \frac{{16}}{{45}}\)
Vậy \(0 < A < 1\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Đáp án : D
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) sau đó tìm giá trị nguyên của \(x\) mẫu thức là ước của tử thức.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\left( {{\rm{t/m}}\,x \ne 1} \right)\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Đáp án : C
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne \pm 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{4x - 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} - 4x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{3}{{x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 3} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = - 3\\x - 3 = - 1\\x - 3 = 1\\x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 2\,\left( {{\rm{ko}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\\x = 4\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 6\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)
Vậy có 3 giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{2}{x}\\ = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 2x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x - 3 + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Đáp án : A
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = {x^2} + x + 1 - x + 1 = {x^2} + 2\end{array}\)
Ta có \({x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2\forall x\) hay \(A \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy \(MinA = 0\) khi \(x = 0\).
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\end{array}\)
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Đáp án : C
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {1 + ac + c} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {c + 1 + ac} \right)}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac}}{{1 + ac + c}} + \frac{1}{{c + 1 + ac}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}} = 1\end{array}\)
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Đáp án : B
Từ điều kiện \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) dễ dàng có được \(x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\).
\(\begin{array}{l}x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\\ = \left( {x + \frac{{{x^2}}}{{y + z}}} \right) + \left( {y + \frac{{{y^2}}}{{x + z}}} \right) + \left( {z + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {1 + \frac{x}{{y + z}}} \right) + y\left( {1 + \frac{y}{{x + z}}} \right) + z\left( {1 + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {\frac{{x + y + z}}{{y + z}}} \right) + y\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + z}}} \right) + z\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + y}}} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow x + y + z = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right) = 1\end{array}\)
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C
Sử dụng công thức \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} = - 1\).
\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{a - b}}} \right)^2}\\ = {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\end{array}\)
(Vì \({\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} \ge 0\forall a,\,b,\,c\) đôi một khác nhau)
Mà \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ = \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 2\end{array}\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 8
Môn Toán học Lớp 8
Môn Tiếng Anh Lớp 8
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 8
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 8
Lời giải và bài tập Lớp 8 đang được quan tâm
