Đề ôn tập HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Biểu thức $T = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{a}}}$. Viết $T$ dưới dạng lũy thừa của số mũ hữu tỷ.
A. ${a^{\frac{1}{3}}}$. B. ${a^{\frac{1}{5}}}$. C. ${a^{\frac{1}{{15}}}}$. D. ${a^{\frac{4}{{15}}}}$.
Câu 2. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ ở dưới đây?
A. $y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$. B. $y = {(\sqrt 2 )^x}$. C. $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$. D. $y = {3^x}$.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là
A. $\left( { – 1;6} \right)$. B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$. C. $\left( { – \infty ;6} \right)$. D. $\left( {6; + \infty } \right)$.
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A. $AN \bot BC$. B. $CM \bot SB$. C. $CM \bot AN$. D. $MN \bot MC$.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có $AB = \sqrt 3 $ và $AA’ = 1$. Góc tạo bởi giữa đường thẳng $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng
A. ${45^ \circ }$. B. ${60^ \circ }$. C. ${30^ \circ }$. D. ${75^ \circ }$.
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $I$ là trung điểm $AC,H$ là hình chiếu của $I$ lên $SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {BIH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$. B. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$. C. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$. D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
Câu 7. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $C’D’$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’$ và $CM$ bằng
A. $a\sqrt 2 $. B. $a$. C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$. D. $a\sqrt 3 $.
Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Biết $SA = 2a$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3a,AC = 4a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $12{a^3}$. B. $6{a^3}$. C. $8{a^3}$. D. $4{a^3}$.
Câu 9. Dự báo thời tiết dự đoán rằng có $70\% $ là trời sẽ mưa vào thứ Bảy. Tuy nhiên, ngày thứ Bảy Trang hẹn Nhi đi xem phim, xác suất Nhi đồng ý đi là $80\% $. Tính xác suất hai bạn đi xem phim không bị dính mưa.
A. 0,56 . B. 0,24 . C. 0,14 . D. 0,06 .
Câu 10. Một nhóm có 30 thành viên, số thành viên thích kim chi là 16 người, số người thích cơm trộn là 20 , có 5 người là không thích cả hai. Hỏi có bao nhiêu người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn?
A. 9 người B. 10 người C. 11 người D. 12 người
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {3x + 2} \right)$.
A. $y’ = \frac{3}{{\left( {3x + 2} \right)ln3}}$. B. $y’ = \frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)ln3}}$. C. $y’ = \frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)}}$. D. $y’ = \frac{3}{{\left( {3x + 2} \right)}}$.
Câu 12. Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} – 2$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = – 9$.
A. $y + 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$. B. $y – 16 = – 9\left( {x – 3} \right)$. C. $y = – 9\left( {x + 3} \right)$. D. $y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoạc sai
Câu 1. Gieo một con xúc xắc, cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Goi biến cố $A$ là “Tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo lớn hơn 7”, biến cố $B$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau”.
a) $P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3}$
b) $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{{12}}$
c) $P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{11}}{{12}}$
d) Hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập với nhau
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ vuông góc với đáy $\left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông cân ở $A$ và có đường cao $AH,\left( {H \in BC} \right)$. Gọi $O$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( {SBC} \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $SC \bot \left( {ABC} \right)$.
b) $\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
c) $O \in SC$.
d) Góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SBA}$.
Câu 3. Xét các hàm số $y = lo{g_a}x,y = – {b^x},y = {c^x}$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó $a,b,c$ là các số thực dương khác 1.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $lo{g_c}\left( {a + b} \right) > 1 + lo{g_c}2$.
b) $lo{g_{ab}}c > 0$.
c) $lo{g_a}\frac{b}{c} > 0$.
d) $lo{g_b}\frac{a}{c} < 0$.
Câu 4. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Khi đó :
a) Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { – 1;3} \right)$ là: $y = – 3x + 6$
b) Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y = 24x – 27$
c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có tung độ bằng 1
d) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm $\left( C \right)$ với trục tung
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. An gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 4 lần. Tính xác suất để có 3 lần gieo mà số chấm xuất hiện trên xúc xắc là ba số liên tiếp.
Câu 2. Bình và Minh cùng thi bắn đĩa bay. Xác suất bắn trúng đĩa của mỗi người lần lượt là 0,7 và 0,8 . Nếu một người bắn trước và trượt thì tỉ lệ bắn trúng của người sau sẽ tăng thêm 0,1 và ngược lại nếu người đó bắn trúng thì tỉ lệ bắn trúng của người sau sẽ giảm đi 0,1 . Thứ tự bắn giữa hai người là ngẫu nhiên và cuộc thi dừng lại khi người này trúng, người kia trượt. Tính xác suất để Bình bắn trúng sau lượt bắn đầu tiên nếu biết Minh bắn trúng bia;
Câu 3. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy cạnh $a$, góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là ${60^ \circ }$. Tính góc giữa đường thẳng $C’A$ và mặt phẳng $\left( {AA’B’B} \right)$ ?
Câu 4. Cho hình chóp đều $S \cdot ABCD$ có đáy cạnh a và chiều cao $SO = 2a$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$. Tính thể tích khối chóp cụt đều $ABCD \cdot MNPQ$.
Câu 5. Số lượng của loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S\left( t \right) = s\left( 0 \right) \cdot {2^t}$, trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con?
Câu 6. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = f\left( t \right) = {t^3} – 3{t^2} + 4t$, trong đó $t$ được tính bằng giây $\left( {\mathbf{s}} \right)$ và $S$ được tính bằng mét $\left( {\mathbf{m}} \right)$. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2\left( {\mathbf{s}} \right)$ có giá trị là bao nhiêu?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.
| 1D | 2D | 3D | 4A | 5C | 6A |
| 7B | 8D | 9B | 10C | 11A | 12D |
Câu 1. Biểu thức $T = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{a}}}$. Viết $T$ dưới dạng lũy thừa của số mũ hữu tỷ.
A. ${a^{\frac{1}{3}}}$.
B. ${a^{\frac{1}{5}}}$.
C. ${a^{\frac{1}{{15}}}}$.
D. ${a^{\frac{4}{{15}}}}$.
$T = \sqrt[5]{{a \cdot \sqrt[3]{a}}} = \sqrt[5]{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{a^{\frac{4}{3}}}}} = {a^{\frac{4}{{15}}}}$.
Lời giải
Câu 2. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ ở dưới đây?
A. $y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$.
B. $y = {(\sqrt 2 )^x}$.
C. $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$.
D. $y = {3^x}$.
Lời giải
Đồ thị hàm số ở hình vẽ là đồ thị của hàm số mũ có dạng $y = {a^x}$. Loại đáp án $A$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $a > 1$. Loại đáp án B, C
Vậy đồ thị trong hình vẽ là đồ thị hàm số$y = {3^x}$.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là
A. $\left( { – 1;6} \right)$.
B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;6} \right)$.
D. $\left( {6; + \infty } \right)$.
Lời giải
Ta có $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{2x – 5 > 0} \\
{x + 1 < 2x – 5}
\end{array} \Leftrightarrow x > 6} \right.$.
Câu 4. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A. $AN \bot BC$.
B. $CM \bot SB$.
C. $CM \bot AN$.
D. $MN \bot MC$.
Lời giải
Do tam giác $ABC$ dều nên $CM \bot AB$, vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot CM \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right)$
$ \Rightarrow CM \bot SB,CM \bot AN$ nên $B,C$ đúng.
Do $MN//SA$ nên $MN \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN \bot MC$ nên $D$ đúng.
Vậy A sai.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có $AB = \sqrt 3 $ và $AA’ = 1$. Góc tạo bởi giữa đường thẳng $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${75^ \circ }$.
Lời giải
Ta có $\widehat {\left( {AC’,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AC’,AC} \right)} = \widehat {CAC’}$
$tan\widehat {C’AC} = \frac{{CC’}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {C’AC} = {30^ \circ }$.
Câu 6. .Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $I$ là trung điểm $AC,H$ là hình chiếu của $I$ lên $SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {BIH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
B. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
C. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.
D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BI \bot AC\left( {gt} \right)} \\
{BI \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)}
\end{array} \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right) \supset SC \Rightarrow SC \bot BI\;} \right.$ (1).
Theo giả thiết: $SC \bot IH\;\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra: $SC \bot \left( {BIH} \right)$. Mà $SC \subset \left( {SBC} \right)$ nên $\left( {BIH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
Câu 7. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $C’D’$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’$ và $CM$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. $a$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Lời giải
Ta có $AA’//\left( {DD’C’C} \right) \supset CM \Rightarrow d\left( {AA’,CM} \right) = d\left( {AA’,\left( {DD’C’C} \right)} \right) = AD = a$.
Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Biết $SA = 2a$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3a,AC = 4a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $12{a^3}$.
B. $6{a^3}$.
C. $8{a^3}$.
D. $4{a^3}$.
Lời giải
Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot 4a = 6{a^2};{V_{SABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot 6{a^2} = 4{a^3}$.
Câu 9. Dự báo thời tiết dự đoán rằng có $70\% $ là trời sẽ mưa vào thứ Bảy. Tuy nhiên, ngày thứ Bảy Trang hẹn Nhi đi xem phim, xác suất Nhi đồng ý đi là $80\% $. Tính xác suất hai bạn đi xem phim không bị dính mưa.
A. 0,56 .
B. 0,24 .
C. 0,14 .
D. 0,06 .
Xác suất trời không mưa là 0,3 .
Lời giải
Xác suất hai bạn đi xem phim là là 0,8 .
Xác suất hai bạn đi xem phim không bị dính mưa là $0,3 \cdot 0,8 = 0,24$.
Chọn B.
Câu 10. Một nhóm có 30 thành viên, số thành viên thích kim chi là 16 người, số người thích cơm trộn là 20 , có 5 người là không thích cả hai. Hỏi có bao nhiêu người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn?
A. 9 người
B. 10 người
C. 11 người
D. 12 người
A: Số người thích kim chi, $n\left( A \right) = 16$.
Lời giải
B: Số người thích cơm trộn, $n\left( B \right) = 20$.
Số người thích cơm trộn hoặc kim chi là: $n\left( {A \cup B} \right) = 30 – 5 = 25$.
Ta có: $n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) – n\left( {AB} \right) \Rightarrow n\left( {AB} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) – n\left( {A \cup B} \right) = 20 + 16 – 25 = 11$.
Vậy có 11 người thích kim chi và cơm trộn.
Chọn C.
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {3x + 2} \right)$.
A. $y’ = \frac{3}{{\left( {3x + 2} \right)ln3}}$.
B. $y’ = \frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)ln3}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)}}$.
D. $y’ = \frac{3}{{\left( {3x + 2} \right)}}$.
Lời giải
Ta có $y’ = \frac{3}{{\left( {3x + 2} \right)ln3}}$.
Câu 12. Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} – 2$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = – 9$.
A. $y + 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
B. $y – 16 = – 9\left( {x – 3} \right)$.
C. $y = – 9\left( {x + 3} \right)$.
D. $y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
Lời giải
Gọi $M\left( {{x_0};\frac{{x_0^3}}{3} + 3x_0^2 – 2} \right)$ là tiếp điểm .
Ta có: $k = f’\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow {x_0}{\;^2} + 6{x_0} = – 9$$ \Leftrightarrow {x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) = 16$
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ thỏa mãn đầu bài là: $y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mối câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Gieo một con xúc xắc, cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Goi biến cố $A$ là “Tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo lớn hơn 7”, biến cố $B$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau”.
a) $P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3}$
b) $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{{12}}$
c) $P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{11}}{{12}}$
d) Hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập với nhau
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Biến cố $A \cup B$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau hoặc tổng lớn hơn 7”.
Biến cố $AB$ là: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau và có tổng lớn hơn 7′.
Biến cố $A\overline B $ là: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo giống nhau và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7”.
a) b) c) $P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{11}}{{12}},$$P\left( {A\overline B } \right) = \frac{1}{{12}}$.
d) Do $P\left( A \right) = \frac{{15}}{{36}},P\left( B \right) = \frac{{30}}{{36}}$ và $P\left( A \right)P\left( B \right) \ne P\left( {AB} \right)$ nên hai biến cố này không độc lập.
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ vuông góc với đáy $\left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông cân ở $A$ và có đường cao $AH,\left( {H \in BC} \right)$. Gọi $O$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( {SBC} \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $SC \bot \left( {ABC} \right)$.
b) $\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
c) $O \in SC$.
d) Góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SBA}$.
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA} \\
{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\;} \\
{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC \Rightarrow AH \bot BC$
mà $BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAH} \right)$.
Khi đó $O$ là hình chiếu vuông góc
của $A$ lên $\left( {SBC} \right)$
Thì suy ra $O \in SI$ và $\overline {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right))} = \widehat {SHA}$.
Vậy đáp án b đúng.
Câu 3. Xét các hàm số $y = lo{g_a}x,y = – {b^x},y = {c^x}$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó $a,b,c$ là các số thực dương khác 1.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $lo{g_c}\left( {a + b} \right) > 1 + lo{g_c}2$.
b) $lo{g_{ab}}c > 0$.
c) $lo{g_a}\frac{b}{c} > 0$.
d) $lo{g_b}\frac{a}{c} < 0$.
Lời giải
Từ hình vẽ ta có: *) $a > 1$. Vì hàm $y = lo{g_a}x$ đồng biến: Tính từ trái qua phải đồ thị có dạng đi lên.
*) Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = – {b^x}$ qua trục $Ox$ ta được đồ thị hàm số $y = {b^x}$
là hàm đồng biến, nên $b > 1$.
*) $0 < c < 1$. Vì hàm $y = {c^x}$ nghịch biến: Tính từ trái qua phải đt có dạng đi xuống.
Do đó:
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b > 2} \\
{0 < c < 1}
\end{array}} \right\} \Rightarrow lo{g_c}\left( {a + b} \right) < lo{g_c}2 \Rightarrow $ Đáp án a sai.
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < c < 1} \\
{ab > 1}
\end{array}} \right\} \Rightarrow lo{g_{ab}}c < lo{g_{ab}}1 = 0 \Rightarrow $ Đáp án b sai.
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{b}{c} > 1} \\
{a > 1}
\end{array}} \right\} \Rightarrow lo{g_a}\frac{b}{c} > lo{g_a}1 = 0 \Rightarrow $ Đáp án c đúng.
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{c} > 1} \\
{b > 1}
\end{array}} \right\} \Rightarrow lo{g_b}\frac{a}{c} > lo{g_b}1 = 0 \Rightarrow $ Đáp án d sai.
Câu 4. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có đồ thị là (C). Khi đó :
a) Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { – 1;3} \right)$ là: $y = – 3x + 6$
b) Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y = 24x – 27$
c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có tung độ bằng 1
d) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm $\left( C \right)$ với trục tung
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Hàm số đã cho xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x$
a) Phương trình tiếp tuyến $\left( t \right)$ tại $M\left( { – 1;3} \right)$ có phương trình : $y = y’\left( { – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3$
Ta có: $y’\left( { – 1} \right) = – 3$, khi đó phương trình $\left( t \right)$ là: $y = – 3x + 6$
b) Thay $x = 2$ vào đồ thị của $\left( C \right)$ ta được $y = 21$.
phương trình $\left( t \right)$ là: $y = 24x – 27$
c) Thay $y = 1$ vào đồ thị của $\left( C \right)$ ta được ${x^2}\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = – 3$.
phương trình $\left( t \right)$ là: $y = 1,y = 9x + 28$
d) Trục tung $Oy:x = 0 \Rightarrow y = 1$. phương trình $\left( t \right)$ là: $y = 1$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. An gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 4 lần. Tính xác suất để có 3 lần gieo mà số chấm xuất hiện trên xúc xắc là ba số liên tiếp.
Trả lời: $\frac{{4.3\;!\;}}{{{6^4}}}$
Lời giải
Xác suất để có 3 lần gieo mà số chấm xuất hiện trên xúc xắc là ba số liên tiếp là: $\frac{{4.3!}}{{{6^4}}}$.
Câu 2. Bình và Minh cùng thi bắn đĩa bay. Xác suất bắn trúng đĩa của mỗi người lần lượt là 0,7 và 0,8 . Nếu một người bắn trước và trượt thì tỉ lệ bắn trúng của người sau sẽ tăng thêm 0,1 và ngược lại nếu người đó bắn trúng thì tỉ lệ bắn trúng của người sau sẽ giảm đi 0,1 . Thứ tự bắn giữa hai người là ngẫu nhiên và cuộc thi dừng lại khi người này trúng, người kia trượt. Tính xác suất để Bình bắn trúng sau lượt bắn đầu tiên nếu biết Minh bắn trúng bia;
Trả lời: 0,65
Lời giải
Xác suất để Bình bắn trúng sau lần bắn đầu tiên là: $\frac{1}{2} \cdot 0,7 + \frac{1}{2} \cdot 0,6 = 0,65$.
Câu 3. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy cạnh $a$, góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là ${60^ \circ }$. Tính góc giữa đường thẳng $C’A$ và mặt phẳng $\left( {AA’B’B} \right)$ ?
Trả lời: $ \approx 25,{7^0}$
Lời giải
Kẻ $C’I \bot A’B’$
Ta có: $C’I \bot A’A \Rightarrow C’I \bot \left( {AA’B’B} \right)$ tại $I$ và $C’A$ cắt $mp\left( {AA’B’B} \right)$ tại $A$.
$ \Rightarrow AI$ là hình chiếu của $C’A$ trên $mp\left( {AA’B’B} \right)$
$ \Rightarrow \left( {C’A,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = \left( {C’A,AI} \right) = \widehat {C’AI}$
Ta có: $A’A = AB \cdot tan{60^ \circ } = \sqrt 3 a$
$AI = \sqrt {A'{A^2} + A'{I^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}a$
Xét $\Delta C’AI$ vuông tại $I:tan\widehat {C’AI} = \frac{{C’I}}{{AI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {13} a}}{2}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{{13}} \Rightarrow \widehat {C’AI} \approx 25,{7^0}$
Câu 4. Cho hình chóp đều $S \cdot ABCD$ có đáy cạnh a và chiều cao $SO = 2a$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$. Tính thể tích khối chóp cụt đều $ABCD.MNPQ$.
Trả lời: $\frac{7}{{12}}{a^3}$
$V = \frac{1}{3}\left( {{S_{ABCD}} + {S_{MNPQ}} + \sqrt {{S_{ABCD}} \cdot {S_{MNPQ}}} } \right) \cdot OO’$
${S_{ABCD}} = {a^2}$
${S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{1}{2}a} \right)^2} = \frac{1}{4}{a^2}$
$ \Rightarrow V = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \sqrt {{a^2} \cdot \frac{1}{4}{a^2}} } \right) \cdot a = \frac{7}{{12}}{a^3}$
Câu 5. Số lượng của loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S\left( t \right) = s\left( 0 \right) \cdot {2^t}$, trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con?
Trả lời: 7 phút
Lời giải
Theo giả thiết: $S\left( 3 \right) = 625$ (nghìn con) $ \Rightarrow s\left( 0 \right) \cdot {2^3} = 625 \Rightarrow S\left( 0 \right) = \frac{{625}}{8}$.
Thời điểm số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con thì $S\left( t \right) = 10000 \Leftrightarrow \frac{{625}}{8} \cdot {2^t} = 10000$ $ \Leftrightarrow t = 7$ phút.
Câu 6. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = f\left( t \right) = {t^3} – 3{t^2} + 4t$, trong đó $t$ được tính bằng giây $\left( {\mathbf{s}} \right)$ và $S$ được tính bằng mét $\left( {\mathbf{m}} \right)$. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2\left( {\mathbf{s}} \right)$ có giá trị là bao nhiêu?
Trả lời: $6\;m/{s^2}$
Lời giải
Ta có $v = f’\left( t \right) = 3{t^2} – 6t + 4$ và $a = f”\left( t \right) = 6t – 6$.
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2\left( {\;s} \right)$ có giá trị là $f”\left( 2 \right) = 6.2 – 6 = 6\;m/{s^2}$.
