Đề thi học kỳ 2 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau
Số trung bình của mẫu số liệu là
A. $5,0$ . B. $5,32$ . C. $5,75$. D. $6,5$ .
Câu 2. Cho $A,B$ là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $A \cup B = \Omega $. B. $B \subset A$. C. $A \cap B = \emptyset $. D. $A = B$.
Câu 3. Cho hai biến cố $A$ và $B$. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là
A. Xung khắc với nhau. B. Biến cố đối của nhau.
C. Độc lập với nhau. D. Không giao với nhau.
Câu 4. Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Gọi $A$ là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh”, $B$ là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”. Mô tả bằng lời biến cố $A \cup B$
A. “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
B. “Hai viên bi lấy ra có khác màu”.
C. “Hai viên bi lấy ra có màu bất kì”.
D. “Hai viên bi lấy ra chỉ có màu xanh”.
Câu 5. Trong một kì thi có $60\% $ thí sinh đỗ. Hai bạn $A,B$ cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
A. 0,24 . B. 0,36 . C. 0,16 . D. 0,48 .
Câu 6. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$. B. $P = {x^2}$. C. $P = \sqrt x $. D. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$.
Câu 7. Cho các số thực $a,b,m,n$ với $(a,b > 0)$. Tìm mệnh đề sai.
A. $\sqrt {{a^2}} = a$ B. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^{ – m}}$. B. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
C. ${(ab)^m} = {a^m} \cdot {b^m}$.
Câu 8. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Tính $I = lo{g_{\sqrt a }}a$.
A. $I = \frac{1}{2}$. B. $I = 0$. C. $I = – 2$. D. $I = 2$.
Câu 9. Cho $a, b>0$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $ln\left( {a + b} \right) = lna + lnb$. B. $ln\left( {ab} \right) = lna \cdot lnb$. C. $ln\left( {{a^b}} \right) = lnb \cdot lna$. D. $ln\left( {ab} \right) = lna + lnb$.
Câu 10. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${a^2}{b^3} = 16$. Giá trị của $2lo{g_2}a + 3lo{g_2}b$ bằng
A. 2 . B. 8 . C. 16 . D. 4 .
Câu 11. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y = lo{g_2}x$. B. $y = {2^x}$. C. $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$. D. $y = lo{g_{\frac{1}{2}}}x$.
Câu 12. Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về 61758000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.
A. $0,8\% $. B. $0,6\% $. C. $0,7\% $. D. $0,5\% $.
Câu 13. Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x}} = 4$ bằng
A. 2 . B. 3 . C. -2 . D. -1 .
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $\log ({x^2} – 4x + 5) > 1$ là
A. $\left( { – 1;5} \right)$ B. ${{\left( { – \infty ; – 1} \right)}}$. C. $\left( {5; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Câu 15. Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất $5\% $ một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng?
A. 8 năm. B. 9 năm. C. 10 năm. D. 11 năm.
Câu 16. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ là ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$ B. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$.
C. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$. D. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$.
Câu 17. Cho $f(x) = {x^{2018}} – 1009{x^2} + 2019x$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(\Delta x + 1) – f(1)}}{{\Delta x}}$ bằng:
A. 1009 B. 1008 C. 2018 D. 2019
Câu 18. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = {t^2}$, trong đó $t > 0,t$ tính bằng giây và $s\left( t \right)$ tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây.
A. $2\;m/s$. B. $3\;m/s$. C. $4\;m/s$. D. $5\;m/s$.
Câu 19. Đạo hàm của hàm số $y = {x^2}$ là
A. $2x$. B. 0 C. 1 . D. 2 .
Câu 20. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$ là
A. $sinx$. B. $ – sinx$. C. $tanx$. D. $ – cotx$.
Câu 21. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + 8$
A. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – \frac{1}{{{x^2}}} + 1$. B. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – \frac{1}{{{x^2}}}$. C. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – 1$. D. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$.
Câu 22. Một vật chuyển động có phương trình $s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} – 3{t^2} + 36t$, trong đó $t > 0$ và tính bằng giây $\left( s \right)$ và $s\left( t \right)$ tính bằng mét $\left( m \right)$. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
A. $27\left( {\;m/s} \right)$. B. $0\left( {\;m/s} \right)$. C. $63\left( {\;m/s} \right)$. D. $90\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 23. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = sinx$ là
A. $ – sinx$. B. $cosx$. C. $sinx$. D. $ – cosx$.
Câu 24. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln x + {x^2}$ là
A. $y” = \frac{1}{x} + 2x$. B. $y” = – \frac{1}{{{x^2}}} + 2$. C. $y” = \frac{1}{{{x^2}}} + 2$. D. $y” = – \frac{1}{x} + 2x$.
Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $A’C’ \bot BB’$. B. $A’C’ \bot BD$. C. $A’C’//AC$. D. $A’C’ \bot DD’$.
Câu 26. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. $AB \bot \left( {SAD} \right)$. B. $BC \bot \left( {SAD} \right)$. C. $AC \bot \left( {SAD} \right)$. D. $BD \bot \left( {SAD} \right)$.
Câu 27. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng góc nào sau đây?
A. $\widehat {SAB}$. B. $\widehat {ASB}$. C. $\widehat {SBC}$. D. $\widehat {SBA}$.
Câu 28. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt 2 $. Biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a$. Số đo góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ là
A. ${30^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 29. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Câu 30. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $\left( {SAC} \right)$. B. $\left( {SBD} \right)$. C. $\left( {SCD} \right)$. D. $\left( {SBC} \right)$.
Câu 31. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Tam giác $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ${(SAB)_{?\;}}$
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông , $SA$ vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$là
A. $SA$. B. $SB$. C. $SC$. D. $SD$.
Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB = a$ và $SB = \sqrt 2 a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $a$. B. $\sqrt 2 a$. C. $2a$. D. $\sqrt 3 a$.
Câu 34. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$.
A. $d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$. C. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. D. $d = \sqrt 3 $.
Câu 35. Mặt bên của hình lăng trụ là:
A. Tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Sau khi có kết quả của kỳ thi tốt nghiệp THPT thì xác suất để An đậu NV1 vào trường Đại học $Y$ Dược $TPHCM$ là $97\% $ và Bình đậu $NV1$ vào trường Đại học Bách Khoa TPHCM là $96\% $. Tính xác suất để ít nhất có một trong hai bạn đậu NV1.
Bài 2. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB = a,AD = 2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng . Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
Bài 3. (1,0 điểm) Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3^x} – 27} \right)\left( {log_3^2x – 7lo{g_3}x + 10} \right) < 0$ ?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. Bảng đáp án trắc nghiệm
| 1. B | 2. C | 3. C | 4. A | 5. D | 6. C | 7. C |
| 8. D | 9. D | 10. D | 11. D | 12. C | 13. C | 14. D |
| 15. B | 16. B | 17. D | 18. C | 19. A | 20. B | 21. D |
| 22. A | 23. A | 24. B | 25. B | 26. A | 27. D | 28. B |
| 29. D | 30. A | 31. C | 32. A | 33. A | 34. A | 35. B |
II. Lời giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau
| Tuổi thọ | [2; 3,5) | [3,5; 5) | [5; 6,5) | [6,5; 8) |
| Số bóng đèn | 8 | 22 | 35 | 15 |
Số trung bình của mẫu số liệu là [6,5; 8)
A. 5,0 .
B. 5,32 .
C. 5,75 .
D. 6,5 .
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {2;3,5} \right)$ là 2,75 .
Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {3,5;5} \right)$ là 4,25 .
Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {5;6,5} \right)$ là 5,75.
Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {6,5;8} \right)$ là 7,25 .
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
$\overline x = \frac{{2,75.8 + 4,25 \cdot 22 + 5,75 \cdot 35 + 7,25 \cdot 15}}{{80}} \approx 5,32$.
Câu 2. Cho $A,B$ là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $A \cup B = \Omega $.
B. $B \subset A$.
C. $A \cap B = \emptyset $.
D. $A = B$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$A,B$ là hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset $.
Câu 3. Cho hai biến cố $A$ và $B$. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là
A. Xung khắc với nhau.
B. Biến cố đối của nhau.
C. Độc lập với nhau.
D. Không giao với nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau.
Câu 4. Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Gọi $A$ là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh”, $B$ là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”. Mô tả bằng lời biến cố $A \cup B$
A. “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
B. “Hai viên bi lấy ra có khác màu”.
C. “Hai viên bi lấy ra có màu bất kì”.
D. “Hai viên bi lấy ra chỉ có màu xanh”.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$A \cup B$ : “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
Câu 5. Trong một kì thi có $60\% $ thí sinh đỗ. Hai bạn $A,B$ cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
A. 0,24 .
B. 0,36 .
C. 0,16 .
D. 0,48 .
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh A thi đỗ”.
Biến cố B: “Học sinh B thi đỗ”.
Biến cố C: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.
Theo đề, ta có: $P(A) = P(B) = 0,6 \Rightarrow P(\bar A) = P(\bar B) = 0,4$.
Khi đó ta có $C = A\bar B \cup \bar AB$.
Do đó $P(C) = P(A\bar B \cup \bar AB) = P(A\bar B) + P(\bar AB) = P(A) \cdot P(\bar B) + P(\bar A) \cdot P(B)$
$ = 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,48$.
Câu 6. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$.
B. $P = {x^2}$.
C. $P = \sqrt x $.
D. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $.
Câu 7. Cho các số thực $a,b,m,n$ với $(a,b > 0)$. Tìm mệnh đề sai.
A. $\sqrt {{a^2}} = a$.
B. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^{ – m}}$.
C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
D. ${(ab)^m} = {a^m} \cdot {b^m}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$.
Câu 8. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Tính $I = lo{g_{\sqrt a }}a$.
A. $I = \frac{1}{2}$.
B. $I = 0$.
C. $I = – 2$.
D. $I = 2$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$I = lo{g_{\sqrt a }}a = 2lo{g_a}a = 2$.
Câu 9. Cho $a, b>$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $ln\left( {a + b} \right) = lna + lnb$.
B. $ln\left( {ab} \right) = lna \cdot lnb$.
C. $ln\left( {{a^b}} \right) = lnb \cdot lna$.
D. $ln\left( {ab} \right) = lna + lnb$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$ln\left( {ab} \right) = lna + lnb$
Câu 10. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${a^2}{b^3} = 16$. Giá trị của $2lo{g_2}a + 3lo{g_2}b$ bằng
A. 2 .
B. 8 .
C. 16 .
D. 4 .
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có ${a^2}{b^3} = 16$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{a^2}{b^3} = lo{g_2}16$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{a^2} + lo{g_2}{b^3} = 4$
$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}a + 3lo{g_2}b = 4$.
Câu 11. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y = lo{g_2}x$.
B. $y = {2^x}$.
C. $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$.
D. $y = lo{g_{\frac{1}{2}}}x$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đây là dạng của đồ thị hàm số $y = lo{g_a}x$.
Đây là hàm nghịch biến do đó đây là đồ thị của hàm số $y = lo{g_{\frac{1}{2}}}x$.
Câu 12. Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về 61758000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.
A. $0,8\% $.
B. $0,6\% $.
C. $0,7\% $.
D. $0,5\% $.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$ với $n$ là số kỳ hạn, ${A_0}$ là số tiền ban đầu, ${A_n}$ là số tiền có được sau $n$ kỳ hạn, $r$ là lãi suất.
Suy ra
${A_9} = {A_0}{(1 + r)^9} \Rightarrow r = \sqrt[9]{{\frac{{{A_9}}}{{{A_0}}}}} – 1 = \sqrt[9]{{\frac{{61758000}}{{58000000}}}} – 1 \approx 0,7\% $
Câu 13. Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x}} = 4$ bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. -2 .
D. -1 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
${2^{{x^2} + x}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 2 \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = 1.}
\end{array}} \right.$
Vậy tích các nghiệm của phương trình là -2 .
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $\log ({x^2} – 4x + 5) > 1$ là
A. $\left( { – 1;5} \right)$
B. ${\;^{\left( { – \infty ; – 1} \right)}}$.
C. $\left( {5; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$log\left( {{x^2} – 4x + 5} \right) > 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4x + 5 > 0} \\
{{x^2} – 4x + 5 > 10}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(x – 2)}^2} + 1 > 0} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 5} \\
{x < – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 5} \\
{x < – 1.}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Câu 15. Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất $5\% $ một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng?
A. 8 năm.
B. 9 năm.
C. 10 năm.
D. 11 năm.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Số tiền người đó nhận được sau n năm là $A = 200.1,{05^n}$ (triệu đồng).
Để nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng thì
Vậy sau ít nhất 9 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng.
Câu 16. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ là ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$ B. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$.
C. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$. D. ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có đáp án $B$ là đáp án sai.
Câu 17. Cho $f(x) = {x^{2018}} – 1009{x^2} + 2019x$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(\Delta x + 1) – f(1)}}{{\Delta x}}$ bằng:
A. 1009
B. 1008
C. 2018
D. 2019
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(\Delta x + 1) – f(1)}}{{\Delta x}} = f'(1)$
Mà $f’\left( x \right) = 2018{x^{2017}} – 2018x + 2019$.
Do đó $f’\left( 1 \right) = {2018.1^{2017}} – 2018.1 + 2019 = 2019$.
Câu 18. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = {t^2}$, trong đó $t > 0,t$ tính bằng giây và $s\left( t \right)$ tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây.
A. $2\;m/s$.
B. $3\;m/s$.
C. $4\;m/s$.
D. $5\;m/s$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t$.
Khi đó $v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 19. Đạo hàm của hàm số ${{y = {x^2}}}$ là
A. $2x$.
B. 0
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có $y’ = {\left( {{x^2}} \right)’} = 2x$.
Câu 20. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$ là
A. $sinx$.
B. $ – sinx$.
C. $tanx$.
D. $ – cotx$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
$y’ = {(cosx)’} = – sinx$.
Câu 21. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + 8$
A. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – \frac{1}{{{x^2}}} + 1$.
B. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – \frac{1}{{{x^2}}}$.
C. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} – 1$.
D. $y’ = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$y’ = 2{x^3} + 2{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$.
Câu 22. Một vật chuyển động có phương trình $s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} – 3{t^2} + 36t$, trong đó $t > 0$ và tính bằng giây $\left( s \right)$ và $s\left( t \right)$ tính bằng mét $\left( m \right)$. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
A. $27\left( {\;m/s} \right)$.
B. $0\left( {\;m/s} \right)$.
C. $63\left( {\;m/s} \right)$.
D. $90\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$v\left( t \right) = s’\left( t \right) = {t^2} – 6t + 36;a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 2t – 6.\;$
Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu, tức là $2t – 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.
Khi đó $v\left( 3 \right) = {3^2} – 6.3 + 36 = 27\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 23. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = sinx$ là
A. $ – sinx$.
B. $cosx$.
C. $sinx$.
D. $ – cosx$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$y’ = {(sinx)’} = cosx;y” = {(cosx)’} = – sinx.\;$
Câu 24. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln x + {x^2}$ là
A. $y” = \frac{1}{x} + 2x$.
B. $y” = – \frac{1}{{{x^2}}} + 2$.
C. $y” = \frac{1}{{{x^2}}} + 2$.
D. $y” = – \frac{1}{x} + 2x$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
$y’ = \frac{1}{x} + 2x;y” = – \frac{1}{{{x^2}}} + 2$.
Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $A’C’ \bot BB’$.
B. $A’C’ \bot BD$.
C. $A’C’//AC$.
D. $A’C’ \bot DD’$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Có $BB’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right) \Rightarrow BB’ \bot A’C’$.
Có $AA’//CC’$ và $AA’ = CC’$ (do cùng song song và bằng $DD’$ ) nên $AA’C’C$ là hình bình hành.
Suy ra $AC//A’C’$.
$DD’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right) \Rightarrow DD’ \bot A’C’$.
Câu 26. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $AB \bot \left( {SAD} \right)$.
B. $BC \bot \left( {SAD} \right)$.
C. $AC \bot \left( {SAD} \right)$.
D. $BD \bot \left( {SAD} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ mà $AB \bot AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật).
Do đó $AB \bot \left( {SAD} \right)$.
Câu 27. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng góc nào sau đây?
A. $\widehat {SAB}$.
B. $\widehat {ASB}$.
C. $\widehat {SBC}$.
D. $\widehat {SBA}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là $AB$
Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\widehat {SBA}$.
Câu 28. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt 2 $. Biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a$. Số đo góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ là
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Kẻ $AM \bot BC$ tại $M$.
Có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$.
Do đó $\left[ {S,BC,A} \right] = \$ MA$.
Vì $AM$ là đường cao của $\vartriangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên ta có:
$\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AM = a$.
Mà $SA = a$ nên $\vartriangle SAM$ vuông cân tại $A$. Do đó $\widehat {SMA} = {45^ \circ }$.
Câu 29. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Câu 30. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy.
Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $\left( {SAC} \right)$.
B. $\left( {SBD} \right)$.
C. $\left( {SCD} \right)$.
D. $\left( {SBC} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD$ mà $SA \bot BD$ (do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ ).
Do đó $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Câu 31. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Tam giác $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Vì $\vartriangle SAB$ dều nên $SH \bot AB$ mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.
Suy ra $SH \bot BC,SH \bot AD$.
Do $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$ và $AD \bot AB$.
Vì $SH \bot BC$ và $BC \bot AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Vì $SH \bot AD$ và $AD \bot AB$ nên $AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông , $SA$ vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$là
A. $SA$.
B. $SB$.
C. $SC$.
D. $SD$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Do $\;SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.
Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB = a$ và $SB = \sqrt 2 a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $a$.
B. $\sqrt 2 a$.
C. $2a$.
D. $\sqrt 3 a$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AB$.
Xét $\vartriangle SAB$ vuông tại $A$, có $SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} – {a^2}} = a$.
Vậy $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a$.
Câu 34. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$.
A. $d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$.
C. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
D. $d = \sqrt 3 $.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{r}}
{AO \bot BD} \\
{AA’ \bot BD}
\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AOA’} \right)$
Kẻ $AH \bot A’O$ tại $H$.
Vì $ \Rightarrow BD \bot AH$ mà $AH \bot A’O$ nên $AH \bot \left( {BDA’} \right)$.
Do đó $d\left( {A,\left( {BDA’} \right)} \right) = AH$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1 nên $AC = \sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Xét $\vartriangle A’AO$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{‘2}}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 35. Mặt bên của hình lăng trụ là:
A. Tam giác.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.
D. Hình thang.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
III. Lời giải tự luận
Bài 1. (1 điểm) Sau khi có kết quả của kỳ thi tốt nghiệp THPT thì xác suất để An đậu NV1 vào trường Đại học $Y$ Dược $TPHCM$ là $97\% $ và Bình đậu NV1 vào trường Đại học Bách Khoa TPHCM là $96\% $. Tính xác suất để ít nhất có một trong hai bạn đậu NV1.
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “An đậu NV1”; $B$ là biến cố “Bình đậu NV1”.
Khi đó $P(A) = 0,97;P(B) = 0,96$.
$P(\bar A\bar B) = P(\bar A)P(\bar B) = (1 – 0,97)(1 – 0,96) = 0,03.0,04 = 0,0012$
Xác suất cần tìm là: $1 – P(\bar A\bar B) = 1 – 0,0012 = 0,9988$.
Bài 2. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB = a,AD = 2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng . Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
Ta có: ${S_{ABCD}} = AB \cdot AD = 2{a^2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, khi đó
$SM \bot AB \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)$.
Do đó $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,MC} \right) = SCM = {45^ \circ }$.
Khi đó
$SM = MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}.$
Vậy
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SM \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {17} }}{2} \cdot 2{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {17} }}{3}.$
Bài 3. (1,0 điểm) Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3^x} – 27} \right)\left( {log_3^2x – 7lo{g_3}x + 10} \right) < 0$ ?
Lời giải
Điều kiện: $x > 0$.
TH1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 27 > 0} \\
{log_3^2x – 7lo{g_3}x + 10 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} > 27} \\
{2 < lo{g_3}x < 5}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{9 < x < 243}
\end{array} \Leftrightarrow 9 < x < 243} \right.$.
Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {10;11;12; \ldots ;242} \right\} \Rightarrow $ có 233 số nguyên thỏa mãn.
TH2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 27 < 0} \\
{\log _3^2x – 7{{\log }_3}x + 10 > 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_3}x > 5} \\
{{{\log }_3}x < 2}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 3} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 243} \\
{x < 9}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x < 3$
Mà $x > 0$ nên $0 < x < 3$.
Vì $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow $ có 2 số nguyên.
Vậy có tất cả 235 số nguyên $x$ thỏa mãn.
