Đề ôn tập HK2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Cho các số dương $a,b,c$, và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {b + c} \right)$. B. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left| {b – c} \right|$.
C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {bc} \right)$. D. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {b – c} \right)$.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > {log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là
A. $\left( { – 1;6} \right)$. B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$. C. $\left( { – \infty ;6} \right)$. D. $\left( {6; + \infty } \right)$.
Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD,M$ là trung điểm của $CD,N$ là điểm trên $AD$ sao cho $BN$ vuông góc với $AM$. Tính tỉ số $\frac{{AN}}{{AD}}$.
A. $\frac{1}{4}$. B. $\frac{1}{3}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{2}{3}$.
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB = BC = a$, $BB’ = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left( {BCC’B’} \right)$.
A. ${45^ \circ }$. B. ${30^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 5. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi, $SA = SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. B. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. C. $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. D. $\left( {SBA} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),ABCD$ là hình thang vuông có đáy lớn $AD$ gấp đôi đáy nhỏ $BC$, đồng thời đường cao $AB = BC = a$. Biết $SA = a\sqrt 3 $, khi đó khoảng cách từ đỉnh $B$ đến đường thẳng $SC$ là.
A. $a\sqrt {10} $. B. $2a$. C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$. D. $\frac{{a\sqrt {10} }}{5}$.
Câu 7. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),SB = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\frac{{{a^3}}}{4}$. B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$. C. $\frac{{3{a^3}}}{4}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.
Câu 8. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu $a$ là số ghi trên thẻ Gọi $A$ là biến cố: ” $a$ là ước của 28 “, $B$ là biến cố: ” $a$ là ước của 70 “. Tính số phần tử của biến cố $A \cap B$
A. 4 B. 6 C. 8 D. 7
Câu 9. Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của chúng lần lượt là $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{3}$. Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là:
A. $\frac{1}{4}$. B. $\frac{5}{{12}}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{7}{{12}}$.
Câu 10. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi môn Tiếng Anh; 30 sinh viên giỏi môn Tin học và 20 sinh viên giỏi cả môn Tiếng Anh và Tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì. Chọn ngẫu nhiên một trong các sinh viên trong lớp, xác suất để sinh viên đó được tăng điểm là:
A. $\frac{3}{{10}}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{2}{5}$. D. $\frac{3}{5}$.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y = 2{x^5} – 4{x^3} – {x^2}$ là
A. $y’ = 10{x^4} – 3{x^2} – 2x$. B. $y’ = 5{x^4} – 12{x^2} – 2x$. C. $y’ = 10{x^4} + 12{x^2} – 2x$. D. $y’ = 10{x^4} – 12{x^2} – 2x$.
Câu 12. Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{{ – 1}}{2}{t^2} + 20t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 8$ giây bằng bao nhiêu?
A. $40\;m/s$. B. $152\;m/s$. C. $22\;m/s$. D. $12\;m/s$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mối ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Lớp $11\;A$ có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích học môn Toán; 30 học sinh thích học môn Ngữ văn; 10 học sinh thích học môn Toán và Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 11A. Gọi $A$ là biến cố “Học sinh thích học môn Toán”, $B$ là biến cố “Học sinh thích học môn Ngữ văn”.
a) Khi đó $A \cup B$ là biến cố “Một học sinh của lớp 11A thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn”.
b) $P\left( A \right) = \frac{{20}}{{50}}$
c) $P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{25}}$
d) Xác suất để chọn được một học sinh thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn là $\frac{4}{5}$
Câu 2. Cho hình chóp $SABCD$ có $SA = x$ và tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
b) Tam giác $SAC$ là tam giác vuông.
c) $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.
d) Chiều cao của hình chóp $S.ABCD$ là $h = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}$.
Câu 3. Cho phương trình ${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} – 1}}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
b) Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
c) Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
d) Phương trình vô nghiệm.
Câu 4. Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{cos2x}}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – 1$.
b) $f’\left( x \right) = \frac{{ – 2sin2x}}{{3 \cdot \sqrt[3]{{co{s^2}2x}}}}$.
c) $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$
d) $3 \cdot {y^2} \cdot y’ + 2sin2x = 0$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. An và Bình, mỗi bạn cùng gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để: tổng số điểm của hai bạn lớn hơn 8 .
Câu 2. Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó có 1 phương án đúng. Biết rằng nếu trả lời đúng một câu hỏi thì thí sinh đó được 1 điểm, còn nếu trả lời sai thì thí sinh đó bị trừ 0,5 điểm. Giả sử rằng thí sinh phải bắt buộc trả lời đủ 10 câu hỏi, hãy tính xác suất để thí sinh đó được trên 5 điểm.
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a,SC \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SC = 3a$. Tính góc phẳng nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$ ?
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = 2a,ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$.
Tính khoảng cách từ $S$ đến $DM$ với $M$ là trung điểm $OC$.
Câu 5. Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fermat ${F_n} = {2^{{2^n}}} + 1$ với $n$ là một số nguyên dương không âm, Fermat dự đoán ${F_n}$ là một số nguyên tố nhưng Euler đã chứng minh được ${F_5}$ là hợp số. Hãy tìm số chữ số của ${F_{13}}$.
Câu 6. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi ${d_1},{d_2}$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $x – 9y + 2024 = 0$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
| 1C | 2D | 3D | 4B | 5A | 6C |
| 7B | 8A | 9C | 10B | 11D | 12D |
Câu 1. Cho các số dương $a,b,c$, và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {b + c} \right)$.
B. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left| {b – c} \right|$.
C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {bc} \right)$.
D. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {b – c} \right)$.
Lời giải
Theo tính chất logarit ta có: ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}\left( {bc} \right)$.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > {log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là
A. $\left( { – 1;6} \right)$.
B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;6} \right)$.
D. $\left( {6; + \infty } \right)$.
Lời giải
Ta có ${log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > {log_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{2x – 5 > 0} \\
{x + 1 < 2x – 5}
\end{array} \Leftrightarrow x > 6} \right.$.
Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD,M$ là trung điểm của $CD,N$ là điểm trên $AD$ sao cho $BN$ vuông góc với $AM$. Tính tỉ số $\frac{{AN}}{{AD}}$.
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $\left( {ACD} \right)$. Suy ra $H$ là tâm tam giác $ACD$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AM \bot BH} \\
{AM \bot BN}
\end{array} \Rightarrow AM \bot HN} \right.$. Do đó $HN//MD$, suy ra $\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3}$.
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB = BC = a$, $BB’ = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left( {BCC’B’} \right)$.
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ nên $BB’ \bot \left( {A’B’C’} \right) \Rightarrow BB’ \bot A’B’ \Rightarrow A’B’ \bot BB’$ (1)
Bài ra có $AB \bot BC \Rightarrow A’B’ \bot B’C’$.
Kết hợp với $\left. {\left( 1 \right) \Rightarrow A’B’ \bot \left( {BCC’B’} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {A’B;\left( {BCC’B’} \right)} \right.}} \right) = \widehat {A’BB’}$
$ \Rightarrow tan\widehat {\left( {A’B;\left( {BCC’B’} \right)} \right)} = tan\widehat {A’BB’} = \frac{{A’B’}}{{BB’}}$$ = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {\left( {A’B;\left( {BCC’B’} \right)} \right)} = {30^ \circ }$.
Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi, $SA = SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
B. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
C. $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
D. $\left( {SBA} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Lời giải
Ta có: $AC \bot BD$ (1) (giả thiết)
$AC \bot SO$ (2) ( Do $\Delta SAC$ là tam giác cân tại $A$ và $O$ là trung điểm của $AC$ nên $SO$ là đường cao của tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra: $AC \bot \left( {SBD} \right)$ mà $AC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),ABCD$ là hình thang vuông có đáy lớn $AD$ gấp đôi đáy nhỏ $BC$, đồng thời đường cao $AB = BC = a$. Biết $SA = a\sqrt 3 $, khi đó khoảng cách từ đỉnh $B$ đến đường thẳng $SC$ là.
A. $a\sqrt {10} $.
B. $2a$.
C. $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{a\sqrt {10} }}{5}$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \vartriangle SBC} \right.$ vuông tại $B$.
Trong $\vartriangle SBC$ dựng đường cao $BH \Rightarrow d\left( {B;SC} \right) = BH$.
$SB = 2a;\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{BS \cdot BC}}{{\sqrt {B{S^2} + B{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 7. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),SB = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\frac{{{a^3}}}{4}$.
B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.
C. $\frac{{3{a^3}}}{4}$.
D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: $V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SB = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.
Câu 8. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu $a$ là số ghi trên thẻ. Gọi $A$ là biến cố: ” $a$ là ước của 28 “, $B$ là biến cố: “$a$ là ước của 70 “. Tính số phần tử của biến cố $A \cap B$
A. 4
B. 6
C. 8
D. 7
Lời giải
$A = \left\{ {1;2;4;7;14;28} \right\};B = \left\{ {1;2;5;7;10;14;35;70} \right\};C = \left\{ {1;2;7;14} \right\}$.
Ta có $A \cap B = \left\{ {1;2;7;14} \right\}$.
Câu 9. Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của chúng lần lượt là $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{3}$. Xác suất đế mục tiêu bị trúng đạn là:
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{5}{{12}}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{7}{{12}}$.
Lời giải
Chọn C.
Gọi ${A_1}$ là biến cố: “Khẩu pháo thứ nhất bắn trúng mục tiêu”, ${A_2}$ là biến cố: “Khẩu pháo thứ hai bắn trúng mục tiêu”.
Gọi $A$ là biến cố: “Mục tiêu bị bắn trúng”, suy ra $\overline A $ là biến cố: “Mục tiêu không bị bắn trúng”. Ta có:
$P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$$ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Câu 10. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi môn Tiếng Anh; 30 sinh viên giỏi môn Tin học và 20 sinh viên giỏi cả môn Tiếng Anh và Tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì. Chọn ngẫu nhiên một trong các sinh viên trong lớp, xác suất để sinh viên đó được tăng điểm là:
A. $\frac{3}{{10}}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{2}{5}$.
D. $\frac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn B.
Gọi $A$ là biến cố: “Sinh viên được chọn là người được tăng điểm”.
Gọi $B$ là biến cố: “Sinh viên được chọn học giỏi môn Tiếng Anh”.
Gọi $C$ là biến cố: “Sinh viên được chọn học giỏi môn Tin học”.
Ta có $A = B \cup C;BC$ là biến cố: “Học sinh chọn học giỏi cả môn Tiếng Anh và Tin học”.
Ta có: $P\left( A \right) = P\left( B \right) + P\left( C \right) – P\left( {BC} \right) = \frac{{40}}{{100}} + \frac{{30}}{{100}} – \frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{2}$.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y = 2{x^5} – 4{x^3} – {x^2}$ là
A. $y’ = 10{x^4} – 3{x^2} – 2x$.
B. $y’ = 5{x^4} – 12{x^2} – 2x$.
C. $y’ = 10{x^4} + 12{x^2} – 2x$.
D. $y’ = 10{x^4} – 12{x^2} – 2x$.
Lời giải
Ta có: $y’ = {\left( {2{x^5} – 4{x^3} – {x^2}} \right)’} = 10{x^4} – 12{x^2} – 2x$.
Câu 12. Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{{ – 1}}{2}{t^2} + 20t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 8$ giây bằng bao nhiêu?
A. $40\;m/s$.
B. $152\;m/s$.
C. $22\;m/s$.
D. $12\;m/s$.
Lời giải
Vận tốc của chuyển động: $v = s’ = – t + 20$
Tại thời điểm $t = 8$ thì $v = 12\;m/s$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗ ý ${\mathbf{a}}),b),c$ ), $d$ ) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặ sai
Câu 1. Lớp $11\;A$ có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích học môn Toán; 30 học sinh thích học môn Ngữ văn; 10 học sinh thích học môn Toán và Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 11A. Gọi $A$ là biến cố “Học sinh thích học môn Toán”, $B$ là biến cố “Học sinh thích học môn Ngữ văn”.
a) Khi đó $A \cup B$ là biến cố “Một học sinh của lớp 11A thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn”.
b) $P\left( A \right) = \frac{{20}}{{50}}$
c) $P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{25}}$
d) Xác suất để chọn được một học sinh thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn là $\frac{4}{5}$
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Khi đó $A \cup B$ là biến cố “Một học sinh của lớp 11A thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn”.
Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = \frac{{20}}{{50}} + \frac{{30}}{{50}} – \frac{{10}}{{50}} = \frac{{40}}{{50}} = \frac{4}{5}$.
Câu 2. Cho hình chóp $SABCD$ có $SA = x$ và tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
b) Tam giác $SAC$ là tam giác vuông.
c) $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.
d) Chiều cao của hình chóp $S.ABCD$ là $h = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Tứ giác $ABCD$ có 4 cạnh bằng nhau $ \Rightarrow ABCD$ là hình thoi.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABCD} \right)$
Vì $SB = SC = SD \Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle BCD$
Vì $\vartriangle BCD$ cân nên $H$ thuộc trung tuyến kẻ từ $C$.
$ \Rightarrow H \in AC$.
Nên đáp án $A,C$ đúng.
Mà ta có: $ \Rightarrow H \in AC$.
Mà ta có: $\vartriangle ABD = \vartriangle CBD = \vartriangle SBD\left( {c – c – c} \right) \Rightarrow AD = CO = SO \Rightarrow SO = \frac{1}{2}AC$
$ \Rightarrow \vartriangle SAC$ vuông tại $S$. Do đó đáp án b đúng.
Trong tam giác $SAC$, kẻ $SH \bot AC$.
Khi đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BD \bot SO} \\
{BD \bot AC}
\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)} \right.$$ \Rightarrow BD \bot SH \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$
Suy ra: $\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow SH = h = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.
Do đó đáp án d sai.
Câu 3. Cho phương trình ${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} – 1}}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
b) Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
c) Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
d) Phương trình vô nghiệm.
Lời giải.
| a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{x^2} – 1}} \Leftrightarrow {2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {2^{4{x^2} – 4}}$$ \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4{x^2} – 4\,(1)$
TH1: Nếu $x > – \frac{3}{7}$. PT (1): $\frac{{28}}{3}x + 4 = 4{x^2} – 4 \Leftrightarrow 4{x^2} – \frac{{28}}{3}x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3(TM)} \\
{x = – \frac{2}{3}(L)}
\end{array}} \right.$
TH2: Nếu $x \leqslant – \frac{3}{7}$. PT (1): $ – \frac{{28}}{3}x – 4 = 4{x^2} – 4 \Leftrightarrow 4{x^2} + \frac{{28}}{3}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0\left( L \right)} \\
{x = – \frac{7}{3}\left( {TM} \right)}
\end{array}} \right.$
Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { – \frac{7}{3};3} \right\}$.
Câu 4. Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{cos2x}}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – 1$.
b) $f’\left( x \right) = \frac{{ – 2sin2x}}{{3 \cdot \sqrt[3]{{co{s^2}2x}}}}$.
c) $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.
d) $3 \cdot {y^2} \cdot y’ + 2sin2x = 0$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{cos2 \cdot \frac{\pi }{2}}} = – 1$
$y = \sqrt[3]{{cos2x}} \Rightarrow {y^3} = cos2x \Rightarrow y’3{y^2} = – 2sin2x \Rightarrow y’ = \frac{{ – 2sin2x}}{{3{{(\sqrt[3]{{cos2x}})}^2}}}$
$f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$
$3 \cdot {(\sqrt[3]{{cos2x}})^2} \cdot \frac{{ – 2sin2x}}{{3{{(\sqrt[3]{{cos2x}})}^2}}} + 2sin2x = – 2sin2x + 2sin2x = 0$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. An và Bình, mỗi bạn cùng gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để: tổng số điểm của hai bạn lớn hơn 8 .
Trả lời: $\frac{5}{{18}}$
Lời giải
Xác suất để tổng số điểm của hai bạn lớn hơn 8 là khi kết quả tung của hai bạn là các bộ $\left( {3;6} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;6} \right),\left( {4;5} \right),\left( {5;5} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\left( {5;4} \right)$.
Do đó xác suất để tổng số điểm của hai bạn lớn hơn 8 là $10 \cdot {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{5}{{18}}$.
Câu 2. Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó có 1 phương án đúng. Biết rằng nếu trả lời đúng một câu hỏi thì thí sinh đó được 1 điểm, còn nếu trả lời sai thì thí sinh
đó bị trừ 0,5 điểm. Giả sử rằng thí sinh phải bắt buộc trả lời đủ 10 câu hỏi, hãy tính xác suất để thí sinh đó được trên 5 điểm.
Trả lò̀i: 0,0035 .
Lời giải
Gọi $x \in \mathbb{N},x \leqslant 10$ là số câu trả lời sai của thí sinh. Khi đó điểm số của thí sinh là $10 – x – 0,5x$.
Để thí sinh đạt trên 5 điểm thì $10 – x – 0,5x > 5 \Leftrightarrow \frac{{10}}{3} > x$. Tức là thí sinh đó trả lời sai ko quá 3 câu.
Xác suất để thí sinh trả lời sai 1 câu là 0,75 .
Xác suất để học sinh trả lời sai không quá 3 câu là
${(0,25)^{10}} + C_{10}^1{(0,25)^9} \cdot 0,75 + C_{10}^2{(0,25)^8} \cdot 0,{75^2} + C_{10}^3{(0,25)^7} \cdot {(0,75)^3} \approx 0,0035.$
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a,SC \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SC = 3a$. Tính góc phẳng nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$ ?
Trả lò̀i: $ \approx {54^ \circ }$
Lời giải
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BO \bot SA} \\
{BO \bot AC}
\end{array} \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)} \right.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SBA} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA} \\
{Trong\left( {SAC} \right),OI \bot SA \Rightarrow \left[ {B,SA,C} \right] = \left[ {B,SA,O} \right] = \widehat {BIO}} \\
{Trong\left( {SBA} \right),BI \bot SA}
\end{array}} \right.$
Ta có: $\vartriangle IAO$ cs $\vartriangle CAS \Rightarrow \frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow OI = \frac{{OA \cdot SC}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 a \cdot 3a}}{{\sqrt {{{(3a)}^2} + {{(2\sqrt 2 a)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a$
Xét $\vartriangle BOI$ vuông tại $O:tan\widehat {BIO} = \frac{{BO}}{{IO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3} \Rightarrow \widehat {BIO} \approx {54^ \circ }$
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = 2a,ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$.
Tính khoảng cách từ $S$ đến $DM$ với $M$ là trung điểm $OC$.
Trả lời: $d\left( {S,DM} \right) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a$
Lời giải
Kẻ $SK \bot DM$ tại $K \Rightarrow d\left( {S,DM} \right) = SK$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DM \bot SA} \\
{DM \bot SK}
\end{array} \Rightarrow DM \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow DM \bot AK} \right.$
Ta có: $\vartriangle KMA \propto s\vartriangle OMD$
$ \Rightarrow \frac{{KA}}{{OD}} = \frac{{AM}}{{DM}} \Rightarrow KA = \frac{{AM \cdot OD}}{{DM}}$$ = \frac{{\frac{3}{4}a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}a$
Ta có: $SK = \sqrt {S{A^2} + A{K^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a$
Vậy $d\left( {S,DM} \right) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a$.
Câu 5. Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fermat ${F_n} = {2^{{2^n}}} + 1$ với $n$ là một số nguyên dương không âm, Fermat dự đoán ${F_n}$ là một số nguyên tố nhưng Euler đã chứng minh được ${F_5}$ là hợp số. Hãy tìm số chữ số của ${F_{13}}$.
Trả lời: 2467 .
Lời giải
Ta sử dụng kiến thức: Xét số tự nhiên $AlogA$ có $n$ chữ số. Khi đó $n = \left[ {logA} \right] + 1$, ở đó $\left[ {logA} \right]$ là phần nguyên của $logA$ – là số nguyên lớn nhất không vượt qua $logA$.
Khi đó số chữ số của ${F_{13}}$ là $n = \left[ {log{F_{13}}} \right] + 1 = \left[ {log\left( {{2^{{2^{13}}}} + 1} \right)} \right] + 1$
Dễ có $\left[ {log{2^{{2^{13}}}}} \right] + 1 \leqslant n \leqslant \left[ {log{2^{\left( {{2^{13}} + 1} \right)}}} \right] + 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {{2^{13}} \cdot log2} \right] + 1 \leqslant n \leqslant \left[ {\left( {{2^{13}} + 1} \right) \cdot log2} \right] + 1$
$ \Leftrightarrow 2467,0377 \ldots \leqslant n \leqslant 2467,338754 \ldots $
Vậy $n = 2467$
Câu 6. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi ${d_1},{d_2}$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $x – 9y + 2024 = 0$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$
Trả lời: $\frac{{32}}{{\sqrt {82} }}$.
Lời giải
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $d$ với đồ thị $\left( C \right)$.
Ta có $y’ = – 3{x^2} + 6x \Rightarrow $ hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $M$ là $y’\left( {{x_0}} \right) = – 3x_0^2 + 6{x_0}$.
Mà tiếp tuyến $d$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :y = \frac{1}{9}x + \frac{{2024}}{9}$ nên $y’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{k} = – 9$.
Khi đó $3x_0^2 – 6{x_0} – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 3} \\
{{x_0} = – 1}
\end{array}} \right.$.
Như vậy
Phương trình tiếp tuyến ${d_1}$ tại điểm $M\left( {3;0} \right)$ là ${d_1}:9x + y – 27 = 0$.
Phương trình tiếp tuyến ${d_2}$ tại điểm $M\left( { – 1;4} \right)$ là ${d_2}:9x + y + 5 = 0$.
Mặt khác ${d_1}//{d_2}$ nên $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{32}}{{\sqrt {82} }}$.
