Đề ôn thi học kỳ 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Với các số thực $a,b > 0$ bất kì, rút gọn biểu thức $P = 2lo{g_2}a – lo{g_{\frac{1}{2}}}{b^2}$ ta được
A. $P = lo{g_2}\left( {2a{b^2}} \right)$. B. $P = lo{g_2}{(ab)^2}$. C. $P = lo{g_2}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$. D. $P = lo{g_2}\left( {\frac{{2a}}{{{b^2}}}} \right)$.
Câu 2. Giải phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) = – 2$.
A. $x = 2$. B. $x = \frac{5}{2}$. C. $x = \frac{3}{2}$. D. $x = 5$.
Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là
A. ${45^ \circ }$. B. ${90^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${30^ \circ }$.
Câu 4. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. ${45^ \circ }$. B. ${30^ \circ }$. C. ${75^ \circ }$. D. ${60^ \circ }$.
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)$ cùng vuông góc với $\left( {BCD} \right)$. Gọi $BE,DF$ là hai đường cao của tam giác $BCD,DK$ là đường cao của tam giác $ACD$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. $\left( {ABE} \right) \bot \left( {ACD} \right)$. B. $\left( {ABD} \right) \bot \left( {ACD} \right)$. C. $\left( {ABC} \right) \bot \left( {DFK} \right)$. D. $\left( {DFK} \right) \bot \left( {ACD} \right)$.
Câu 6. Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a > 0$. Khi đó khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $mp\left( {BCD} \right)$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{a\sqrt 8 }}{3}$. D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
Câu 7. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Đường thẳng $AB’$ hợp với đáy một góc ${60^ \circ }$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$.
A. $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$. B. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$. C. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. D. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$.
Câu 8. Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số $1,2,3, \ldots ,19,20$; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét các biến cố:
$A$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2”;
$B$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5 “;
$C$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5”;
$D$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 “.
Biến cố $D$ là biến cố giao của:
A. Biến cố $B$ và biến cố $C$.
B. Biến cố $A$ và biến cố $B$.
C. Biến cố $A$ và biến cố $C$.
D. Biến cố $A$ và biến cố $C$ hoặc biến cố $B$ và biến cố $C$.
Câu 9. Trong một trò chơi điện tử chỉ có thắng và thua, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 . Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95 .
A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .
Câu 10. Có 10 bạn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 của một trường phổ thông gồm 2 bạn đến từ lớp $12A1,3$ bạn đến từ lớp $12A2,5$ bạn còn lại đến từ các lớp khác nhau. Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn đó vào ngồi một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất sao cho không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau.
A. $\frac{{73}}{{126}}$. B. $\frac{{53}}{{126}}$. C. $\frac{5}{9}$. D. $\frac{{38}}{{63}}$.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 3x + 1} $ là
A. $y’ = 12x + 3$. B. $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$. C. $y’ = \frac{{8x + 3}}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$. D. $y’ = \frac{{8x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$.
Câu 12. Một vật chuyển động với vận tốc $v\left( t \right)\left( {m/s} \right)$ có gia tốc $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = – 2t + 10\left( {\;m/{s^2}} \right)$. Vận tốc ban đầu của vật là $5\;m/s$. Tính vận tốc của vật sau 5 giây.
A. $30\;m/s$. B. $25\;m/s$. C. $20\;m/s$. D. $15\;m/s$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗ ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi biến cố $A$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc là số lẻ” và biến cố $B$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ hai lớn hơn 3 “.
a) Biến cố xung khắc với biến cố $A$ là biến cố $\overline A $ được phát biểu như sau: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ nhất là số chẵn”
b) $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{2}$
c) $P\left( {\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)$
d) $P\left( {\overline {AB} } \right) = \frac{{n\left( {\overline {AB} } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{3}$
Câu 2. Cho hình tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $b\left( {a \ne b} \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đoạn thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $SC$ ( $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$ ).
b) Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
c) Hình chiếu vuông góc của $S$ lên trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
d) $SA$ vuông góc với $BC$.
Câu 3. Cho phương trình ${(\sqrt {2 – \sqrt 3 } )^x} + {(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} = 4$. Gọi ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm thực của phương trình. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) ${x_1} + {x_2} = 0$.
b) $2{x_1} – {x_2} = 1$.
c) ${x_1} – {x_2} = 2$.
d) ${x_1} + 2{x_2} = 0$.
Câu 4. Cho $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2x$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f’\left( x \right) = {x^2} + x – 2$
b) $f’\left( x \right) = 0$ có 1 nghiệm
c) $f’\left( x \right) = – 2$ có 2 nghiệm
d) $f’\left( x \right) = 10$ có 1 nghiệm
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lờ đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Khi tung một đồng xu không cân đối thì người ta thấy rằng xác suất để đồng xu xuất hiện mặt sấp bằng $\frac{2}{3}$. Tung đồng xu này ba lần liên tiếp. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất 1 lần mặt ngửa.
Câu 2. Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 20 học sinh thích môn Ngữ văn và 12 học sinh thích cả hai môn Ngũ̃ văn và Toán. Tính xác suất để chọn được một học sinh thích môn Ngữ văn hoặc môn Toán.
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat {BAD} = 120,SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = \sqrt 3 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ ?
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SC = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Câu 5. Mức cường độ âm $P$ của một nguồn âm cho trước xác định bởi $P = 10log\frac{I}{{{I_0}}}$ được đo bằng Decibel $\left( {db} \right)$, trong đó $I$ là cường độ độ âm có đơn vị là $W$ và ${I_0} = {10^{ – 12}}\;W/{m^2}$ là cường độ âm chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm $I = {t^2} + t + 1\left( {\;W} \right)$ với $t$ là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường độ âm tại thời điểm $t = 3$ giây.
Câu 6. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v\left( t \right) = 2t + {t^2}$, trong đó $t$ tính bằng giây $\left( s \right)$ và $t > 0,v\left( t \right)$ tính bằng mét/giây. Tại thời điểm nào sau đây chất điểm có gia tốc là $6m/{s^2}$ ?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuong án đúng nhất.
| 1B | 2D | 3B | 4B | 5B | 6A |
| 7C | 8B | 9C | 10D | 11C | 12A |
Câu 1. Với các số thực $a,b > 0$ bất kì, rút gọn biểu thức $P = 2lo{g_2}a – lo{g_{\frac{1}{2}}}{b^2}$ ta được
A. $P = lo{g_2}\left( {2a{b^2}} \right)$.
B. $P = lo{g_2}{(ab)^2}$.
C. $P = lo{g_2}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$.
D. $P = lo{g_2}\left( {\frac{{2a}}{{{b^2}}}} \right)$.
Lời giải
Ta có $P = 2lo{g_2}a – lo{g_{\frac{1}{2}}}{b^2} = lo{g_2}{a^2} + lo{g_2}{b^2} = lo{g_2}{(ab)^2}$.
Câu 2. Giải phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) = – 2$.
A. $x = 2$.
B. $x = \frac{5}{2}$.
C. $x = \frac{3}{2}$.
D. $x = 5$.
Lời giải
Ta có $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) = – 2 \Leftrightarrow x – 1 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow x = 5$.
Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$. Số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là
A. ${45^ \circ }$.
B. ${90^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Gọi $E$ là trung điểm $CD$ thì $AE \bot CD,BE \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB$.
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. ${45^ \circ }$.
B. ${30^ \circ }$.
C. ${75^ \circ }$.
D. ${60^ \circ }$.
Lời giải
Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right)$.
Do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.
$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
$ \Rightarrow \widehat {SCA} = {30^ \circ }$.
Vậy góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là ${30^ \circ }$.
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)$ cùng vuông góc với $\left( {BCD} \right)$. Gọi $BE,DF$ là hai đường cao của tam giác $BCD,DK$ là đường cao của tam giác $ACD$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. $\left( {ABE} \right) \bot \left( {ACD} \right)$.
B. $\left( {ABD} \right) \bot \left( {ACD} \right)$.
C. $\left( {ABC} \right) \bot \left( {DFK} \right)$.
D. $\left( {DFK} \right) \bot \left( {ACD} \right)$.
Lời giải
Chọn B
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot AB} \\
{CD \bot BE}
\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABE} \right)$ nên A đúng
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{DF \bot AB} \\
{DF \bot BC}
\end{array}} \right\} \Rightarrow DF \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DF \bot AC.\;AC \bot DF,AC \bot DK \Rightarrow AC \bot \left( {DKF} \right)$
Nên C, D đúng.
Câu 6. Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a > 0$. Khi đó khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $mp\left( {BCD} \right)$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 8 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $BCD \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = AO$.
Gọi $I$ là trung điểm $CD$.
Ta có: $BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Vậy $d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 7. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Đường thẳng $AB’$ hợp với đáy một góc ${60^ \circ }$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$.
A. $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$.
B. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$.
C. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$.
D. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$.
Lời giải
Ta có $AA’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$ nên $\widehat {\left( {AB’;\left( {A’B’C’} \right)} \right)} = \widehat {AB’A’} = {60^ \circ }$.
Suy ra: $AA’ = A’B’ \cdot tan{60^ \circ } = a\sqrt 3 $.
Thể tích khối lăng trụ là $V = AA’ \cdot {S_{\Delta A’B’C’}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}$.
Câu 8. Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số $1,2,3, \ldots ,19,20$; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét các biến cố:
$A$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2”;
$B$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5 “;
$C$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5 “;
$D$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 “.
Biến cố $D$ là biến cố giao của:
A. Biến cố $B$ và biến cố $C$.
B. Biến cố $A$ và biến cố $B$.
C. Biến cố $A$ và biến cố $C$.
D. Biến cố $A$ và biến cố $C$ hoặc biến cố $B$ và biến cố $C$.
Chọn B
Lời giải
Câu 9. Trong một trò chơi điện tử chỉ có thắng và thua, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 .
Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95 .
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn C.
Gọi $n$ ( $n$ là số nguyên dương) là số trận An chơi.
Gọi $A$ là biến cố “An thắng ít nhất 1 trận trong loạt chơi $n$ trận”. Suy ra $\overline A $ là biến cố: “An thua tất cả $n$ trận”.
Ta có: $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – {(0,6)^n}$.
Theo giả thiết:
$P\left( A \right) > 0,95 \Leftrightarrow 1 – {(0,6)^n} > 0,95$$ \Rightarrow {(0,6)^n} < 0,05 \Rightarrow n > lo{g_{0,6}}0,05 \approx 5,86$.
Số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thoả mãn là 6 (An chơi tối thiểu 6 trận).
Câu 10. Có 10 bạn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 của một trường phổ thông gồm 2 bạn đến từ lớp $12A1,3$ bạn đến từ lớp $12A2,5$ bạn còn lại đến từ các lớp khác nhau. Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn đó vào ngồi một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất sao cho không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau.
A. $\frac{{73}}{{126}}$.
B. $\frac{{53}}{{126}}$.
C. $\frac{5}{9}$.
D. $\frac{{38}}{{63}}$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi các biến cố $A$ : “Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;
$\overline A $ : “Không có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;
${A_1}$ : “Có học sinh lớp 12A1 ngồi đối diện nhau”;
${A_2}$ : “Có học sinh lớp $12A2$ ngồi đối diện nhau”.
Khi đó ${A_1}{A_2}$ là biến cố: “Học sinh $12A1$ ngồi đối diện nhau và học sinh $12A2$ ngồi đối diện nhau”.
Ta có: $P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{5 \cdot 2 \cdot 8!}}{{10!}} = \frac{1}{9};P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{5A_3^2 \cdot 8!}}{{10!}} = \frac{1}{3};P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{{5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot A_3^2 \cdot 6!}}{{10!}} = \frac{1}{{21}}$.
Suy ra: $P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) – P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} – \frac{1}{{21}} = \frac{{25}}{{63}}$.
Vậy xác suất để xếp được hàng mà không có học sinh cùng lớp nào ngồi đối diện nhau là:
$P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – \frac{{25}}{{63}} = \frac{{38}}{{63}}$
Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 3x + 1} $ là
A. $y’ = 12x + 3$.
B. $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$.
C. $y’ = \frac{{8x + 3}}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$.
D. $y’ = \frac{{8x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$.
Lời giải
Ta có $y’ = \frac{{{{\left( {4{x^2} + 3x + 1} \right)}’}}}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }} = \frac{{8x + 3}}{{2\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} }}$.
Câu 12. Một vật chuyển động với vận tốc $v\left( t \right)\left( {m/s} \right)$ có gia tốc $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = – 2t + 10\left( {\;m/{s^2}} \right)$. Vận tốc ban đầu của vật là $5\;m/s$. Tính vận tốc của vật sau 5 giây.
A. $30\;m/s$.
B. $25\;m/s$.
C. $20\;m/s$.
D. $15\;m/s$.
Lời giải
Có $v\left( t \right) = \smallint a\left( t \right)dt = \smallint \left( { – 2t + 10} \right)dt = 10t – {t^2} + C$.
Lại có $v\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow C = 5$. Vậy $v\left( t \right) = 10t – {t^2} + 5$.
Khi đó vận tốc của vật sau 5 giây là $v\left( 5 \right) = 10.5 – {5^2} + 5 = 30\left( {\;m/s} \right)$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặ sai
Câu 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi biến cố $A$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc là số lẻ” và biến cố $B$ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ hai lớn hơn 3 “.
a) Biến cố xung khắc với biến cố $A$ là biến cố $\overline A $ được phát biểu như sau: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ nhất là số chẵn”
b) $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{2}$
c) $P\left( {\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)$
d) $P\left( {\overline {AB} } \right) = \frac{{n\left( {\overline {AB} } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{3}$
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
a) Biến cố $\overline A $ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ nhất là số chã̃n”.
Biến cố $\overline B $ là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc ở lần thứ hai nhỏ hơn hoặc bằng 3 “.
b) $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2}$.
c) $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2}$.
d) $P\left( {\overline {AB} } \right) = \frac{{n\left( {\overline {AB} } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}$.
Câu 2. Cho hình tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $b\left( {a \ne b} \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đoạn thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $SC$ ( $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$ ).
b) Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
c) Hình chiếu vuông góc của $S$ lên trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
d) $SA$ vuông góc với $BC$.
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
$\vartriangle SAG = \vartriangle SBG = \vartriangle SCG$. Suy ra góc giữa các cạnh bên và đáy bằng nhau.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA = SB = SC} \\
{AB = AC = BC}
\end{array}} \right.$, suy ra hình chiếu vuông góc của $S$ lên trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
$BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SA$.
Câu 3. Cho phương trình ${(\sqrt {2 – \sqrt 3 } )^x} + {(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} = 4$. Gọi ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm thực của phương trình. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) ${x_1} + {x_2} = 0$.
b) $2{x_1} – {x_2} = 1$.
c) ${x_1} – {x_2} = 2$.
d) ${x_1} + 2{x_2} = 0$.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai
Vì ${(\sqrt {2 – \sqrt 3 } )^x} \cdot {(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} = 1$. Đặt ${(\sqrt {2 – \sqrt 3 } )^x} = t,(t > 0)$
suy ra ${(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} = \frac{1}{t}$ Phương trình trở thành: $t + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} – 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2 + \sqrt 3 } \\
{t = 2 – \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$.
Với $t = 2 + \sqrt 3 \Rightarrow x = {x_1} = – 2$
Với $t = 2 – \sqrt 3 \Rightarrow x = {x_2} = 2$
Vậy ${x_1} + {x_2} = 0$
Câu 4. Cho $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2x$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $f’\left( x \right) = {x^2} + x – 2$
b) $f’\left( x \right) = 0$ có 1 nghiệm
c) $f’\left( x \right) = – 2$ có 2 nghiệm
d) $f’\left( x \right) = 10$ có 1 nghiệm
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có $f’\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) = {x^2} + x – 2$
b) $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = – 2$
c) $f’\left( x \right) = – 2 \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = – 2 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = – 1$
d) $f’\left( x \right) = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = – 4$
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Khi tung một đồng xu không cân đối thì người ta thấy rằng xác suất để đồng xu xuất hiện mặt sấp bằng $\frac{2}{3}$. Tung đồng xu này ba lần liên tiếp. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất 1 lần mặt ngửa.
Trả lời: $\frac{{19}}{{27}}$
Lời giải
Xác suất xuất hiện ít nhất 1 lần mặt ngửa: $1 – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{{19}}{{27}}$.
Câu 2. Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 20 học sinh thích môn Ngữ văn và 12 học sinh thích cả hai môn Ngữ văn và Toán. Tính xác suất để chọn được một học sinh thích môn Ngữ văn hoặc môn Toán.
Trả lời: $\frac{{33}}{{40}}$
Lời giải
Xác suất để chọn được một học sinh thích môn Ngữ văn hoặc môn Toán: $\frac{{25 + 20 – 12}}{{40}} = \frac{{33}}{{40}}$.
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat {BAD} = 120,SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = \sqrt 3 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ ?
Trả lời: $ \approx 64,{3^0}$
Lời giải
Xét $\vartriangle ADC$ cân tại $D$, có $\hat D = {60^ \circ }$ nên $\vartriangle ADC$ đều.
Kẻ $CI \bot AD$
Ta có: $CI \bot SA \Rightarrow CI \bot \left( {SAD} \right)$ tại $I$ và $SC$ cắt $mp\left( {SAD} \right)$ tại $S \Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SC$ trên $mp\left( {SAD} \right)$
$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SC,SI} \right) = \widehat {CSI}$
Ta có: $SI = \sqrt {S{A^2} + A{I^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}a$
Xét $\vartriangle SCI$ vuông tại $I:tan\widehat {CSI} = \frac{{SI}}{{IC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {13} }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{3} \Rightarrow \widehat {CSI} \approx 64,{3^0}$
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SC = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Trả lời: $\frac{1}{4}{a^3}$
Lời giải
${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA$
${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
$SA = \sqrt {S{C^2} – A{C^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} – {a^2}} = \sqrt 3 a$
$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt 3 a = \frac{1}{4}{a^3}$
Câu 5. Mức cường độ âm $P$ của một nguồn âm cho trước xác định bởi $P = 10log\frac{I}{{{I_0}}}$ được đo bằng Decibel $\left( {db} \right)$, trong đó $I$ là cường độ độ âm có đơn vị là $W$ và ${I_0} = {10^{ – 12}}\;W/{m^2}$ là cường độ âm chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm $I = {t^2} + t + 1\left( {\;W} \right)$ với $t$ là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường độ âm tại thời điểm $t = 3$ giây.
Trả lời: $2,3385db/s$.
Lời giải
Ta có $P = 10log\frac{I}{{{I_0}}} = 10logI – 10log{I_0} = 10log\left( {{t^2} + t + 1} \right) – 10log{I_0}$
Mức độ thay đổi cường độ âm được tính theo biểu thức : $P’\left( t \right) = 10 \cdot \frac{{2t + 1}}{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)ln10}}$
Suy ra $P’\left( 3 \right) = 10 \cdot \frac{7}{{13ln10}} \approx 2,3385db/s$.
Câu 6. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v\left( t \right) = 2t + {t^2}$, trong đó $t$ tính bằng giây $\left( s \right)$ và $t > 0,v\left( t \right)$ tính bằng mét/giây. Tại thời điểm nào sau đây chất điểm có gia tốc là $6\;m/{s^2}$ ?
Trả lời: $t = 2$.
Lời giải
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t$ là $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 2 + 2t$.
Theo giả thiết ta có $2 + 2t = 6 \Leftrightarrow t = 2$.
