Đề ôn thi học kỳ 2 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng
| Số tiền (nghìn đồng) | [0; 50) | [50; 100) | [100; 150) | [150; 200) | [200; 250) |
| Số sinh viên | 5 | 12 | 23 | 17 | 3 |
Có bao nhiêu sinh viên chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng cho việc thanh toán cước điện thoại trong tháng?
A. 5 . B. 23 . C. 12 . D. 17 .
Câu 2. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi $A$ là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và $B$ là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố $A \cup B$.
A. $A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,SNS,NNN} \right\}$. B. $A \cup B = \left\{ {SSS,NNN} \right\}$.
C. $A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,NNN} \right\}$. D. $A \cup B = \Omega $.
Câu 3. Cho $A,B$ là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$. B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) – P\left( B \right)$. D. $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
Câu 4. Thầy $X$ có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy $X$ chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy $X$ có đủ 3 môn.
A. $\frac{5}{6}$. B. $\frac{{661}}{{715}}$. C. $\frac{{660}}{{713}}$. D. $\frac{6}{7}$.
Câu 5. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{{x^5}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. $P = {x^{\frac{4}{5}}}$. B. $P = {x^9}$. C. $P = {x^{20}}$. D. $P = {x^{\frac{5}{4}}}$.
Câu 6. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Tính $I = lo{g_a}\sqrt[3]{a}$
A. $I = \frac{1}{3}$. B. $I = 3$. C. $I = 0$. D. $I = – 3$.
Câu 7. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = lo{g_2}x$. B. $y = {2^x}$. C. $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$. D. $y = {x^2}$.
Câu 8. Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
A. $y = {2023^x}$. B. $y = {(\sqrt {2024} )^x}$. C. $y = {2025^{ – x}}$. D. $y = {x^{ – 2024}}$.
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số $y = log\left[ {\left( {6 – x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]$ ?
A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 9 .
Câu 10. Trong hình dưới đây, điểm $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a + c = 2b$. B. $ac = {b^2}$. C. $ac = 2{b^2}$. D. $ac = b$.
Câu 11. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${2^x} = 4$.
A. $S = \left\{ 1 \right\}$. B. $S = \left\{ { – 1} \right\}$. C. $S = \left\{ 4 \right\}$. D. $S = \left\{ 2 \right\}$.
Câu 12. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3$ là:
A. $x = 9$. B. $x = 8$. C. $x = 10$. D. $x = 7$.
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$. B. $\left( { – \infty ;1} \right]$. C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$. D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Câu 14. Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ${9^x} – {4.3^x} + 3 < 0$.
A. 3 . B. 1 . C. 0 . D. 2 .
Câu 15. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$. Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ là
A. $f\left( {{x_0}} \right)$.
B. $\frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}.$
C. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$ (nếu tồn tại giới hạn).
D. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0} – \Delta x} \right)}}{{\Delta x}}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 16. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2$ là
A. 18 . B. 12 . C. 6 . D. 14 .
Câu 17. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}x$ là
A. $y’ = \frac{1}{{xln3}}$. B. $y’ = \frac{{ln3}}{x}$. C. $y’ = \frac{1}{x}$. D. $y’ = \frac{1}{{3x}}$.
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số $y = {2023^x}$ ?
A. $y’ = {2023^x}$. B. $y’ = {2023^{x – 1}}$. C. $y’ = {2023.2023^{x – 1}}$. D. $y’ = {2023^x}ln2023$.
Câu 19. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}$. Đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ là
A. $y’\left( 1 \right) = – 4$. B. $y’\left( 1 \right) = – 5$. C. $y’\left( 1 \right) = – 3$. D. $y’\left( 1 \right) = – 2$.
Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số $y = x{e^x}$.
A. $y’ = 2x$. B. $y’ = {e^x}$. C. $y’ = \left( {x + 1} \right){e^x}$. D. $y’ = \left( {x – 1} \right){e^x}$.
Câu 21. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = 10 + t + 9{t^2} – {t^3}$ trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là
A. $t = 6\,(s)$. B. $t = 3\,(s)$ C. $t = 2\,(s)$ D. $t = 5\,(s)$
Câu 22. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$, giá trị của $f”\left( 1 \right)$ bằng
A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 .
Câu 23. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – \frac{1}{x}$. Xét hai mệnh đề:
(I) $y” = f”\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}$
$y’ = f’\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}}$
Mệnh đề nào đúng?
A. Cả hai đều đúng. B. Chỉ (I). C. Cả hai đều sai. D. Chỉ (II).
Câu 24. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D$ bằng
A. ${90^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${30^ \circ }$.
Câu 25. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Khi đó $\left( {\widehat {a;(P)}} \right)=$?
A. ${0^ \circ }$. B. ${180^ \circ }$. C. ${90^ \circ }$. D. ${45^ \circ }$.
Câu 26. Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu $b//a$ thì $b//\left( P \right)$. B. Nếu $b//a$ thì $b \bot \left( P \right)$.
C. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b//a$. D. Nếu $b//\left( P \right)$ thì $b \bot a$.
Câu 27. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA = SB = SC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Vẽ $SH \bot \left( {ABC} \right),H \in \left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $H$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$.
B. $H$ trùng với trực tâm tam giác $ABC$.
C. $H$ trùng với trung điểm của $AC$.
D. $H$ trùng với trung điểm của $BC$.
Câu 28. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình vuông, $SB$ vuông góc với đáy, gọi $O = BD \cap CA$. Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. $\widehat {SOB}$. B. $\widehat {SOA}$. C. $\widehat {SBO}$. D. $\widehat {OSB}$.
Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ cạnh $a$, SA vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. ${75^0}$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${30^ \circ }$.
Câu 30. Cho $a,b,c$ là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Cho $a \bot b$. Mọi mặt phẳng chứa $b$ đều vuông góc với $a$.
B. Nếu $a \bot b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $a$; mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.
C. Cho $a \bot b$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Mọi mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và vuông góc với $b$ thì $\left( \beta \right) \bot \left( \alpha \right)$.
D. Cho $a\not \equiv b$. Mọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $c$ trong đó $c \bot a$ và $c \bot b$ thì đều vuông góc với mặt phẳng $\left( {a,b} \right)$.
Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh bên $SA$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AC,H$ là hình chiếu của $I$ trên $SC$. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)$. B. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$. C. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$. D. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 32. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $BCC’B’$ bằng
A. $a$. B. $2a$. C. $3a$. D. $\frac{a}{2}$.
Câu 33. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. B. $a$. C. $a\sqrt 2 $. D. $2a$.
Câu 34. Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có 3 kích thước $a,7a,9a$ là
A. $63{a^3}$. B. $16{a^3}$. C. $21{a^3}$. D. $63{a^2}$.
Câu 35. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$. C. $V = {a^3}\sqrt 2 $. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm)
a) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a1) $y = {x^5} – cosx – 7$.
a2) $y = {(3x + 4)^{11}}$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 5$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$.
Bài 2. (0,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,BC = a\sqrt 3 $, $AC = 2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy.
Bài 3. (0,5 điểm) Kim tự tháp Giza là Kim tư tháp Ai Câp lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của pharaoh Khufu. Được xây dựng vào đầu thế kỷ 26 trước Công nguyên trong khoảng thời gian 27 năm, đây là kim tự tháp lâu đời nhất còn nằm trong Bảy kỳ quan của thế giới cổ đai, và là kim tự tháp duy nhất với phần lớn còn nguyên vẹn. Kim tự tháp này được xây dựng theo mô hình là hình chóp tứ giác đều với kích thước như sau: chiều cao xấp xỉ $138\;m$, độ dài đáy xấp xỉ $230\;m$ (theo số liệu mới nhất trên https://vi.wikipedia.org/wiki/). Tính khoảng cách từ tâm của đáy kim tự tháp đến mặt bên.
Bài 4. (1 điểm) Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên hai bi, tính xác suất biến cố $A$ : “Hai viên bi cùng màu”.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. Bảng đáp án trắc nghiệm
| 1. B | 2. C | 3. A | 4. B | 5. D | 6. A | 7. B |
| 8. D | 9. A | 10. B | 11. D | 12. A | 13. A | 14. C |
| 15. C | 16. B | 17. A | 18. D | 19. B | 20. C | 21. B |
| 22. A | 23. C | 24. A | 25. C | 26. A | 27. C | 28. A |
| 29. C | 30. C | 31. B | 32. A | 33. B | 34. A | 35. D |
II. Lời giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng
| Số tiền (nghìn đồng) | [0; 50) | [50; 100) | [100; 150) | [150; 200) | [200; 250) |
| Số sinh viên | 5 | 12 | 23 | 17 | 3 |
Có bao nhiêu sinh viên chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng cho việc thanh toán cước điện thoại trong tháng?
A. 5 .
B. 23 .
C. 12 .
D. 17 .
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào mẫu số liệu ta thấy có 23 sinh viên chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng cho việc thanh toán cước điện thoại trong tháng.
Câu 2. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi $A$ là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và $B$ là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố $A \cup B$.
A. $A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,SNS,NNN} \right\}$.
B. $A \cup B = \left\{ {SSS,NNN} \right\}$.
C. $A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,NNN} \right\}$.
D. $A \cup B = \Omega $.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có $A = \left\{ {SSS,SSN,NSS} \right\};B = \left\{ {SSS,NNN} \right\}$.
Khi đó $A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,NNN} \right\}$.
Câu 3. Cho $A,B$ là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) – P\left( B \right)$.
D. $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$A,B$ là hai biến cố xung khắc thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
Câu 4. Thầy $X$ có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy $X$ chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy $X$ có đủ 3 môn.
A. $\frac{5}{6}$.
B. $\frac{{661}}{{715}}$.
C. $\frac{{660}}{{713}}$.
D. $\frac{6}{7}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.
Có 3 trường hợp :
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Lý có: $C_9^7$ cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Lý và Hóa có: $C_{11}^7$ cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Hóa có: $C_{10}^7$ cách.
Suy ra có $C_9^7 + C_{11}^7 + C_{10}^7 = 486$ cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là $C_{15}^7 – 486 = 5949$ cách.
Xác suất cần tìm là
$P = \frac{{5949}}{{C_{15}^7}} = \frac{{661}}{{715}}$
Câu 5. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{{x^5}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. $P = {x^{\frac{4}{5}}}$.
B. $P = {x^9}$.
C. $P = {x^{20}}$.
D. $P = {x^{\frac{5}{4}}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có $P = \sqrt[4]{{{x^5}}} = {x^{\frac{5}{4}}}$.
Câu 6. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Tính $I = lo{g_a}\sqrt[3]{a}$
A. $I = \frac{1}{3}$.
B. $I = 3$.
C. $I = 0$.
D. $I = – 3$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$I = lo{g_a}\sqrt[3]{a} = lo{g_a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.
Câu 7. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = lo{g_2}x$.
B. $y = {2^x}$.
C. $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$.
D. $y = {x^2}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Đây là hình dạng của hàm số mũ $y = {a^x}$ mà hàm số này đồng biến nên $a > 1$.
Do đó chọn B.
Câu 8. Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
A. $y = {2023^x}$.
B. ${{y = {{(\sqrt {2024} )}^x}}}$.
C. $y = {2025^{ – x}}$.
D. $y = {x^{ – 2024}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số không phải hàm số mũ là $y = {x^{ – 2024}}$.
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số $y = log\left[ {\left( {6 – x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]$ ?
A. 7 .
B. 8 .
C. Vô số.
D. 9 .
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: $\left( {6 – x} \right)\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow – 2 < x < 6$.
Mà $x \in \mathbb{V}$ nên $x \in \left\{ { – 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$.
Có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số.
Câu 10. Trong hình dưới đây, điểm $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a + c = 2b$.
B. $ac = {b^2}$.
C. $ac = 2{b^2}$.
D. $ac = b$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có $A\left( {0;lna} \right);B\left( {0;lnb} \right);C\left( {0;lnc} \right)$.
Mà $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ nên
$lna + lnc = 2lnb \Leftrightarrow lnac = ln{b^2} \Leftrightarrow ac = {b^2}$.
Câu 11. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${2^x} = 4$.
A. $S = \left\{ 1 \right\}$.
B. $S = \left\{ { – 1} \right\}$. .
C. $S = \left\{ 4 \right\}$.
D. $S = \left\{ 2 \right\}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có ${2^x} = 4 \Leftrightarrow {2^x} = {2^2} \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$.
Câu 12. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3$ là:
A. $x = 9$.
B. $x = 8$.
C. $x = 10$. .
D. $x = 7$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
$lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 9$.
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$.
B. $\left( { – \infty ;1} \right]$.
C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$.
D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27 \Leftrightarrow {3^{4 – {x^2}}} \geqslant {3^3} \Leftrightarrow 4 – {x^2} \geqslant 3$$ \Leftrightarrow {x^2} \leqslant 1 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant 1$.
Câu 14. Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ${9^x} – {4.3^x} + 3 < 0$.
A. 3 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Đáp án đúng là:C.
${9^x} – {4.3^x} + 3 < 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{3^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – 3} \right) < 0$
$ \Leftrightarrow 1 < {3^x} < 3$
$ \Leftrightarrow 0 < x < 1$.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left( {0;1} \right)$ nên không có nghiệm nguyên dương.
Câu 15. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$. Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ là
A. $f\left( {{x_0}} \right)$.
B. $\frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}.$
C. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$ (nếu tồn tại giới hạn).
D. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0} – \Delta x} \right)}}{{\Delta x}}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ là $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 16. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2$ là
A. 18 .
B. 12 .
C. 6 .
D. 14 .
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Có $y’ = 6{x^2} – 6x$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2$ là $y’\left( 2 \right) = {6.2^2} – 6.2 = 12$.
Câu 17. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}x$. là
A. $y’ = \frac{1}{{xln3}}$.
B. $y’ = \frac{{ln3}}{x}$.
C. $y’ = \frac{1}{x}$.
D. $y’ = \frac{1}{{3x}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$y’ = {\left( {lo{g_3}x} \right)’} = \frac{1}{{xln3}}$.
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số $\;y = {2023^x}$ ?
A. $y’ = {2023^x}$.
B. $y’ = {2023^{x – 1}}$.
C. $y’ = {2023.2023^{x – 1}}$.
D. $y’ = {2023^x}ln2023$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Có $y’ = {\left( {{{2023}^x}} \right)’} = {2023^x}ln2023$.
Câu 19. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}$. Đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ là
A. $y’\left( 1 \right) = – 4$.
B. $y’\left( 1 \right) = – 5$.
C. $y’\left( 1 \right) = – 3$.
D. $y’\left( 1 \right) = – 2$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
$y’ = {\left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}} \right)’} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{(x – 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 4x – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
$y’\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} – 4.1 – 2}}{{{{(1 – 2)}^2}}} = – 5$
Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số $y = x{e^x}$.
A. $y’ = 2x$.
B. $y’ = {e^x}$.
C. $y’ = \left( {x + 1} \right){e^x}$.
D. $y’ = \left( {x – 1} \right){e^x}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$y’ = {\left( {x{e^x}} \right)’} = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}$.
Câu 21. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = 10 + t + 9{t^2} – {t^3}$ trong đó $s$ tính bằng mét, $\;t$ tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là
A. $t = 6\,(s)$.
B. $t = 3\,(s)$
C. $t = 2\,(s)$
D. $t = 5\,(s)$
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – 3{t^2} + 18t + 1 = – 3\left( {{t^2} – 6t + 9 – 9} \right) + 1 = – 3{(t – 3)^2} + 28 \leqslant 28$.
Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc chất điểm là $28\;m/s$ đạt được khi $t = 3\left( {\;s} \right)$.
Câu 22. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$, giá trị của $f”\left( 1 \right)$ bằng
A. 6 .
B. 8 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2;f”\left( x \right) = 6x$.
Do đó $f”\left( 1 \right) = 6.1 = 6$.
Câu 23. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – \frac{1}{x}$. Xét hai mệnh đề:
(I) $y” = f”\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}$
(II) $y’ = f’\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}}$
Mệnh đề nào đúng?
A. Cả hai đều đúng.
B. Chỉ (I).
C. Cả hai đều sai.
D. Chi (II).
Lời giải
Đáp án đúng là: C.
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{y’ = f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}};} \\
{}&{y” = {{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}’} = – \frac{2}{{{x^3}}}.}
\end{array}$
Câu 24. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D$ bằng
A. ${90^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $ABCD \cdot A’B’C’D’$ là hình lập phương nên ta có $DD’ \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow DD’ \bot AC$.
Mà $AC \bot BD$ nên $AC \bot \left( {DBB’D’} \right) \Rightarrow AC \bot B’D$.
Câu 25. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Khi đó $\left( {\widehat {a;(P)}} \right)=$?
A. ${0^ \circ }$.
B. ${180^ \circ }$.
C. ${90^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó $\left( {a,\left( P \right)} \right) = {90^ \circ }$.
Câu 26. Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu $b//a$ thì $b//\left( P \right)$.
B. Nếu $b//a$ thì $b \bot \left( P \right)$.
C. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b//a$.
D. Nếu $b//\left( P \right)$ thì $b \bot a$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án A sai vì $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//b} \\
{a \bot \left( P \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow a \bot \left( P \right)$
Câu 27. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA = SB = SC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Vẽ $SH \bot \left( {ABC} \right),H \in \left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $H$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$.
B. $H$ trùng với trực tâm tam giác $ABC$.
C. $H$ trùng với trung điểm của $AC$.
D. $H$ trùng với trung điểm của $BC$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì $SA = SB = SC$ nên $HA = HB = HC$.
Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Mà $\vartriangle ABC$ vuông tại $B$, nên tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC$ là trung điểm của $AC$.
Do đó $H$ là trung điểm của $AC$.
Câu 28. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình vuông, $SB$ vuông góc với đáy, gọi $O = BD \cap CA$. Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là:
A. $\widehat {SOB}$. B. $\widehat {SOA}$. C. $\widehat {SBO}$. D. $\widehat {OSB}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SB \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $BO$ là hình chiếu của $SO$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Do đó góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $SOB$.
Câu 29. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ cạnh $a$, SA vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. ${70^0}$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Do đó góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $SDA$.
Xét $\vartriangle SDA$ vuông tại $A$, có $tanSDA = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow SDA = {60^ \circ }$.
Câu 30. Cho $a,b,c$ là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Cho $a \bot b$. Mọi mặt phẳng chứa $b$ đều vuông góc với $a$.
B. Nếu $a \bot b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $a$; mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.
C. Cho $a \bot b$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Mọi mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và vuông góc với $b$ thì $\left( \beta \right) \bot \left( \alpha \right)$.
D. Cho $a\not \equiv b$. Mọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $c$ trong đó $c \bot a$ và $c \bot b$ thì đều vuông góc với mặt phẳng $\left( {a,b} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Cho $a \bot b$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Mọi mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và vuông góc với $b$ thì $\left( \beta \right) \bot \left( \alpha \right)$.
Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh bên $SA$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AC,H$ là hình chiếu của $I$ trên $SC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {IHB} \right)$.
B. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
C. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
D. $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $AB \bot AC$.
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ mà $AB \bot AC$ nên $AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
Câu 32. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $BCC’B’$ bằng
A. $a$.
B. $2a$.
C. $3a$.
D. $\frac{a}{2}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Do $BB’ \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB’ \bot AB$ mà $AB \bot BC \Rightarrow AB \bot \left( {BCC’B’} \right)$.
Khi đó $d\left( {A,\left( {BCC’B’} \right)} \right) = AB = a$.
Câu 33. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $a$.
C. $a\sqrt 2 $.
D. $2a$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Có $\left( {ABB’A’} \right)//\left( {DCC’D’} \right)$.
Có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD’//\left( {ABB’A’} \right)} \\
{AB’ \subset \left( {ABB’A’} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow d\left( {AB’,CD’} \right) = d\left( {CD’,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = CB = a$
Câu 34. Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có 3 kích thước $a,7a,9a$ là
A. $63{a^3}$.
B. $16{a^3}$.
C. $21{a^3}$.
D. $63{a^2}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có $V = a.7a.9a = 63{a^3}$.
Câu 35. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.
B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$.
C. $V = {a^3}\sqrt 2 $.
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.
III. Lời giải tự luận
Bài 1. (1 điểm)
a) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a1) $y = {x^5} – cosx – 7$.
a2) $y = {(3x + 4)^{11}}$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 5$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$.
Lời giải
a)
a1) $y’ = 5{x^4} + sinx$.
a2) $y’ = 33{(3x + 4)^{10}}$.
b) Có $y’ = 4{x^3} – 8x$. Có $y’\left( { – 1} \right) = 4.{( – 1)^3} – 8 \cdot \left( { – 1} \right) = 4$.
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ $x = – 1$ là $\left( { – 1;2} \right)$.
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: $y = 4\left( {x + 1} \right) + 2 = 4x + 6$.
Bài 2. (0,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,BC = a\sqrt 3 $, $AC = 2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy.
Lời giải
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Ta có: $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,BA} \right) = SBA = \varphi $.
Xét $\vartriangle ABC$ vuông tại $B$, có $AB = \sqrt {A{C^2} – B{C^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} – {{(a\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt {{a^2}} = a$
Xét $\vartriangle SAB$ vuông tại $A$, ta có $tan\varphi = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \varphi = {60^ \circ }$
Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng ${60^ \circ }$.
Bài 3. (0,5 điểm) Kim tự tháp Giza là Kim tự tháp Ai Câpp lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của pharaoh Khufu. Được xây dựng vào đầu thế kỷ 26 trước Công nguyên trong khoảng thời gian 27 năm, đây là kim tự tháp lâu đời nhất còn nằm trong Bảy kỳ quan của thế giới cổ đại, và là kim tự tháp duy nhất với phần lớn còn nguyên vẹn. Kim tự tháp này được xây dựng theo mô hình là hình chóp tứ giác đều với kích thước như sau: chiều cao xấp xỉ $138\;m$, độ dài đáy xấp xỉ $230\;m$ (theo số liệu mới nhất trên https://vi.wikipedia.org/wiki/). Tính khoảng cách từ tâm của đáy kim tự tháp đến mặt bên.
Lời giải
Ta có mô hình kim tự tháp như hình vẽ, là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Gọi $O = BD \cap AC \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $K$ là trung điểm $AB$.
Vì $O,K$ là trung điểm của $BD,AB \Rightarrow OK$ là đường trung bình của $\vartriangle BAD$.
Suy ra $OK//AD$ mà $AD \bot AB \Rightarrow OK \bot AB$.
Kẻ $OH \bot SK$ tại $H$.
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \bot OK} \\
{AB \bot SO\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}
\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow AB \bot OH} \right.$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OH \bot AB} \\
{OH \bot SK}
\end{array} \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH} \right.$
Theo đề, có $SO = 138\;m;AD = 230\;m \Rightarrow OK = 115\;m$
Xét $\vartriangle SOK$ vuông tại $O$, có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{{{138}^2}}} + \frac{1}{{{{115}^2}}} = \frac{{61}}{{476100}}$.
$ \Rightarrow OH \approx 88,35\;m$
Bài 4. (1 điểm) Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên hai bi, tính xác suất biến cố $A$ : “Hai viên bi cùng màu”.
Lời giải
Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{40}^2$
Gọi các biến cố:
$D$ : “Lấy được 2 bi viên đỏ” ta có: $n\left( D \right) = C_{20}^2 = 190$;
$X$ : “Lấy được 2 bi viên xanh” ta có: $n\left( X \right) = C_{10}^2 = 45$;
$V$ : “Lấy được 2 bi viên vàng” ta có: $n\left( V \right) = C_6^2 = 15$;
$T$ : “Láy được 2 bi màu trắng” ta có: $n\left( T \right) = C_4^2 = 6$.
Ta có $D,X,V,T$ là các biến cố đôi một xung khắc và $A = D \cup X \cup V \cup T$.
$P\left( A \right) = P\left( D \right) + P\left( X \right) + P\left( V \right) + P\left( T \right) = \frac{{256}}{{C_{40}^2}} = \frac{{64}}{{195}}$.
