Đề thi học kỳ 2 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\frac{5}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}$ là:
A. ${a^{\frac{4}{3}}}$. B. ${a^{\frac{5}{9}}}$. C. ${a^3}$. D. ${a^5}$.
Câu 2. Cho $a > 0$ và $a \ne 1,x$ và $y$ là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. $lo{g_a}\frac{x}{y} = \frac{{lo{g_a}x}}{{lo{g_a}y}}$ B. $lo{g_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{lo{g_a}x}}$.
C. $lo{g_a}\left( {x + y} \right) = lo{g_a}x + lo{g_a}y$. D. $lo{g_b}x = lo{g_b}a \cdot lo{g_a}x$.
Câu 3. Cho $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_8}7 = b,lo{g_2}3 = c$. Tính $lo{g_{12}}35$ bằng:
A. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}$ B. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}$. C. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}$. D. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}$.
Câu 4. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$. B. $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$. C. $y = {(\sqrt 2 )^x}$. D. $y = {(0,5)^x}$.
Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 9x + 20} $
A. $\left( {4;5} \right)$. B. $\left( { – \infty ;4\left] \cup \right[5; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$. D. $\left[ {4;5} \right]$.
Câu 6. Phương trình ${3^{{x^2} – 5x + 5}} = 3$ có nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$. B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$. C. $x = 4$. D. $x = 1$.
Câu 7. Phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1$ có tập nghiệm là:
A. $S = \left\{ {1;3} \right\}$. B. $S = \left\{ 1 \right\}$. C. $S = \left\{ 2 \right\}$. D. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Câu 8. Trong hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $A’B \bot DC’$. B. $A’C’ \bot BD$. C. $BC’ \bot A’D$. D. $BB’ \bot BD$.
Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABB’A’} \right)$ ?
A. $AD$. B. $BB’$. C. $CC’$. D. $BD$.
Câu 10. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a.\;SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $SI$. Tìm mệnh đề sai.
A. $BI \bot \left( {SAI} \right)$. B. $BC \bot $ (SIA). C. $AJ \bot $ (SBC). D. $AI \bot \left( {SBC} \right)$.
Câu 11. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
D. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Câu 12. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$. B. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$. C. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$. D. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 13. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Khi đó khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là
A. SO. B. SA. C. SB. D. SD.
Câu 14. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),SA = AB = 2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng:
A. $a\sqrt 2 $. B. $2a$. C. $a$. D. $a\sqrt 3 $.
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = 1,BC = 2,AA’ = 2$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $DC’$ bằng
A. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$. B. $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$. C. $\sqrt 2 $. D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 16. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng góc nào sau đây?
A. $SAB$. B. $ASB$. C. $SBC$. D. $SBA$.
Câu 17. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh a. $SA = a\sqrt 2 $ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
A. ${30^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 18. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Thể tích $V$ của khối trụ đã cho được tính theo công thức nào sau đây?
A. $V = \frac{1}{3}Bh$. B. $V = Bh$. C. $V = 6Bh$. D. $V = \frac{4}{3}Bh$. .
Câu 19. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có chiều cao bằng 3 , đáy $ABC$ có diện tích bằng 10 . Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:
A. 2 . B. 30 . C. 10 . D. 15 .
Câu 20. Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh $6\;cm$, đáy nhỏ là hình vuông cạnh $3\;cm$ và chiều cao hình chóp cụt là $4\;cm$ :
A. 12 . B. 96 . C. 84 . D. 32 .
Câu 21. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn”.
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”.
C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nhỏ hơn 4 “.
D: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lớn hơn 2 ” .
Chọn mệnh đề đúng
A. $A$ và $B$ xung khắc. B. $C$ và $B$ xung khắc.
C. $D$ và $B$ xung khắc. D. $C$ và $D$ xung khắc.
Câu 22. Nhân ngày 8/3, GVCN lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Hiền chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp để tặng quà. Xét hai biến cố $A$ : “Học sinh đó là một học sinh nữ”, biến cố $B$ : “Học sinh đó có tên bắt đầu bằng chữ $Q$ “. Khi đó nội dung của biến cố $A \cap B$ là
A. Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
B. Học sinh đó là học sinh nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
C. Học sinh đó là học sinh nam và có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
D. Học sinh đó là học sinh nam hoặc có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
Câu 23. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Khi đó
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$. B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$. D. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( B \right) – P\left( A \right)$.
Câu 24. Cho $A,\bar A$ là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố $A$ là $\frac{1}{3}$. Xác suất để xảy ra biến cố $\bar A$ là
A. $P\left( {\bar A} \right) = 1$. B. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{2}$. C. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}$. D. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{2}{3}$.
Câu 25. Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi các số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét biến cố $A$ “Số ghi trên tấm thẻ rút ra là số lẻ”. Chọn mệnh đề đúng?
A. $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$. B. $A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$.
C. $A = \left\{ {2;4;6;8} \right\}$. D. $A = \left\{ {1;9} \right\}$.
Câu 26. Gọi $X = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Tính xác suất để số được chọn là số lẻ.
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{1}{3}$. C. $\frac{1}{4}$. D. $\frac{1}{5}$.
Câu 27. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Biết $P\left( A \right) = 0,4$ và $P\left( {\;B} \right) = 0,45$. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$.
A. 0,05 . B. 0,85 . C. 0,5 . D. 0,67 .
Câu 28. Có 7 viên bi xanh khác nhau và 3 viên bi đỏ khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất của biến cố $A$ sao cho chọn đúng 3 viên bi xanh là
A. $\frac{7}{{12}}$. B. $\frac{{11}}{{12}}$. C. $\frac{1}{{12}}$. D. $\frac{5}{{12}}$.
Câu 29. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Xác suất để hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm là:
A. $\frac{1}{6}$. B. $\frac{1}{{36}}$. C. $\frac{1}{4}$. D. $\frac{1}{{12}}$.
Câu 30. Có hai xạ thủ cùng thi bắn một mục tiêu. Xác suất để xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu là 0,5 . Xác suất để xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu là 0,7 . Xác suất để cả 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu là
A. 0,35 . B. 0,5 . C. 0,7 . D. 0,65 .
Câu 31. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = 2$. Kết quả đúng là:
A. $f’\left( 2 \right) = 3$. B. $f’\left( x \right) = 2$. C. $f’\left( 2 \right) = 2$. D. $f’\left( x \right) = 3$.
Câu 32. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $y = {x^5} \Rightarrow y’ = 5x$. B. $y = {x^3} \Rightarrow y’ = 3{x^2}$. C. $y = x \Rightarrow y’ = 1$. D. $y = {x^4} \Rightarrow y’ = 4{x^3}$.
Câu 33. Đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right) = \frac{4}{5}{x^5} – 3{x^2} – x + 4$ là:
A. $16{x^3} – 6x$. B. $4{x^3} – 6$. C. $16{x^3} – 6$. D. $16{x^2} – 6$.
Câu 34. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. Hàm số có đạo hàm $f’\left( x \right)$ bằng:
A. $\frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$. B. $\frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$. C. $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$. D. $\frac{{ – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Câu 35. Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} + 1$ Giá trị $f”\left( { – 1} \right)$ bằng:
A. 6 . B. 3 . C. -12 . D. 12 .
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${45^ \circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Bài 2. (1 điểm) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{3x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = 7x + 3$.
Bài 3. (1 điểm) Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, người nghiên cứu điều tra xem họ có hút thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi | |
| Nghiện thuốc lá | 752 người | 1236 người |
| Không nghiện thuốc lá | 575 người | 2437 người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. Đáp án trắc nghiệm
| 1. C | 2. D | 3. A | 4. C | 5. C | 6. A | 7. C |
| 8. D | 9. A | 10. D | 11. C | 12. C | 13. A | 14. B |
| 15. A | 16. D | 17. B | 18. B | 19. C | 20. C | 21. A |
| 22. A | 23. B | 24. D | 25. B | 26. A | 27. D | 28. D |
| 29. C | 30. A | 31. C | 32. A | 33. C | 34. B | 35. C |
II. Lời giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\frac{5}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}$ là:
A. ${a^{\frac{5}{4}}}$.
B. ${a^2}$.
C. ${a^3}$.
D. ${a^5}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có ${a^{\frac{5}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}}} = {a^3}$.
Câu 2. Cho $a > 0$ và $a \ne 1,x$ và $y$ là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. $lo{g_a}\frac{x}{y} = \frac{{lo{g_a}x}}{{lo{g_a}y}}$
B. $lo{g_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{lo{g_a}x}}$
C. $lo{g_a}\left( {x + y} \right) = lo{g_a}x + lo{g_a}y$.
D. $lo{g_b}x = lo{g_b}a \cdot lo{g_a}x$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
$lo{g_b}x = lo{g_b}a \cdot lo{g_a}x$.
Câu 3. Cho $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_8}7 = b,lo{g_2}3 = c$. Tính $lo{g_{12}}35$ bằng:
A. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}$
B. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}$.
C. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}$.
D. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $lo{g_{27}}5 = a \Rightarrow lo{g_3}5 = 3a,lo{g_8}7 = b \Rightarrow lo{g_2}7 = 3b$.
Có $lo{g_{12}}35 = \frac{{lo{g_2}35}}{{lo{g_2}12}} = \frac{{lo{g_2}5 + lo{g_2}7}}{{lo{g_2}4 + lo{g_2}3}} = \frac{{lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5 + lo{g_2}7}}{{lo{g_2}4 + lo{g_2}3}}$
Do đó $lo{g_{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}.$
Câu 4. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$.
B. $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$.
C. ${\;^{y = {{(\sqrt 2 )}^x}}}$.
D. $y = {(0,5)^x}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến khi $a > 1$.
Mà $\sqrt 2 > 1$ nên $y = {(\sqrt 2 )^x}$ là hàm đồng biến.
Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 9x + 20} $
A. $\left( {4;5} \right)$.
B. $\left( { – \infty ;4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$
C. $\left( { – \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
D. $\left[ {4;5} \right]$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện ${x^2} – 9x + 20 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 4} \\
{x > 5}
\end{array}} \right.$.
Do đó tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Câu 6. Phương trình ${3^{{x^2} – 5x + 5}} = 3$ có nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$.
C. $x = 4$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có ${3^{{x^2} – 5x + 5}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 5 = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$
Câu 7. Phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1$ có tập nghiệm là:
A. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ 1 \right\}$.
C. $S = \left\{ 2 \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: $x > 1$.
$lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$.
Kết hợp điều kiện, ta có $x = 2$ là nghiệm của phương trình.
Câu 8. Trong hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $A’B \bot DC’$.
B. $A’C’ \bot BD$.
C. $BC’ \bot A’D$.
D. $BB’ \bot BD$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $ABCD \cdot A’B’C’D’$ là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên $ABCD,ABB’A’,BCC’B’$ đều là hình thoi.
$A’B \bot AB’$ mà $AB’//DC’$. Do đó $A’B \bot DC’$.
$AC \bot BD$ mà $AC//A’C’$. Do đó $A’C’ \bot BD$.
$B’C \bot BC’$ mà $B’C//A’D$. Do đó $BC’ \bot A’D$.
Do đó đáp án $D$ sai.
Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABB’A’} \right)$ ?
A. $AD$.
B. $BB’$.
C. $CC’$.
D. $BD$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $AD \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).
Vì $AA’ \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA’ \bot AD$ mà $AD \bot AB$ nên $AD \bot \left( {ABB’A’} \right)$.
Câu 10. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. $SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $SI$. Tìm mệnh đề sai.
A. $BI \bot \left( {SAI} \right)$.
B. $BC \bot $ (SIA).
C. $AJ \bot $ (SBC).
D. $AI \bot \left( {SBC} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: ${\mathbf{D}}$
+) Vì $\vartriangle ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI \bot BC$ (1).
Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$
Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAI} \right)$. Do đó $A,B$ đúng.
+) Vì $BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ$ (3).
Vì $AI$ là đường cao tam giác $ABC$ đều cạnh a nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA$.
Do đó $\vartriangle SAI$ cân tại A mà $J$ là trung điểm $SI$ nên $AJ \bot SI$ (4).
Từ (3) và (4), suy ra $AJ \bot \left( {SBC} \right)$.
Câu 11. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
D. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Câu 12. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$.
B. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$.
C. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
D. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$
Gọi $I = AC \cap BD$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BD \bot AI} \\
{BD \bot AA’}
\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {AIA’} \right);\;BD = \left( {BDA’} \right) \cap \left( {ABCD} \right)} \right.$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BDA’} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là $AIA’$.
Ta có: $\vartriangle AA’I$ vuông tại $A$, có:
$AA’ = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A’I = \sqrt {A{A^{‘2}} + A{I^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow sinAIA’ = \frac{{AA’}}{{A’I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 13. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Khi đó khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là
A. SO.
B. SA.
C. SB.
D. SD.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO$.
Câu 14. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),SA = AB = 2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng
A. $a\sqrt 2 $.
B. $2a$.
C. $a$.
D. $a\sqrt 3 $.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a$.
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = 1,BC = 2,AA’ = 2$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $DC’$ bằng
A. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$.
C. $\sqrt 2 $.
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có $AB//D’C’$ và $AB = D’C’$ (cùng song song và bằng $CD$ ).
Do đó $ABC’D’$ là hình bình hành. Suy ra $AD’//BC’ \Rightarrow AD’//\left( {BC’D} \right)$.
Do đó $d\left( {AD’,DC’} \right) = d\left( {AD’,\left( {BC’D} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BC’D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC’D} \right)} \right) = h$.
Áp dụng kết quả bài 7.7 SBT tập 2. Ta có:
$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{C^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.
Câu 16. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng góc nào sau đây?
A. $SAB$.
B. ASB.
C. $SBC$.
D. $BA$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $AB$.
Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $SBA$.
Câu 17. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh a. $SA = a\sqrt 2 $ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Do đó góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $SCA$.
Vì . $ABCD$. là hình vuông cạnh a nên $AC = a\sqrt 2 $.
Xét $\vartriangle SAC$ vuông tại $A$, có $tanSCA = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow SCA = {45^ \circ }$.
Câu 18. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Thể tích $V$ của khối trụ đã cho được tính theo công thức nào sau đây?
A. $V = \frac{1}{3}Bh$.
B. $V = Bh$.
C. $V = 6Bh$.
D. $V = \frac{4}{3}Bh$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có $V = B.h$.
Câu 19. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có chiều cao bằng 3 , đáy $ABC$ có diện tích bằng 10 . Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:
A. 2 .
B. 30 .
C. 10 .
D. 15 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 3 = 10$
Câu 20. Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh $6\;cm$, đáy nhỏ là hình vuông cạnh $3\;cm$ và chiều cao hình chóp cụt là $4\;cm$ :
A. 12 .
B. 96 .
C. 84 .
D. 32 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Diện tích đáy lớn là: ${6^2} = 36\left( {\;c{m^2}} \right)$.
Diện tích đáy nhỏ là: ${3^2} = 9\left( {\;c{m^2}} \right)$.
Thể tích hình chóp cụt là $V = \frac{1}{3}\left( {36 + \sqrt {36.9} + 9} \right) \cdot 4 = 84\left( {\;c{m^3}} \right)$.
Câu 21. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn”.
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”.
C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nhỏ hơn 4 “.
D: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lớn hơn 2 “.
Chọn mệnh đề đúng
A. $A$ và $B$ xung khắc.
B. $C$ và $B$ xung khắc.
C. $D$ và $B$ xung khắc.
D. $C$ và $D$ xung khắc.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
Câu 22. Nhân ngày 8/3, GVCN lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Hiền chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp để tặng quà. Xét hai biến cố $A$ : “Học sinh đó là một học sinh nữ”, biến cố $B$ : “Học sinh đó có tên bắt đầu bằng chữ $Q$ “. Khi đó nội dung của biến cố $A \cap B$ là
A. Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
B. Học sinh đó là học sinh nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
C. Học sinh đó là học sinh nam và có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
D. Học sinh đó là học sinh nam hoặc có tên bắt đầu bằng chữ $Q$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$A \cap B$ : “Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ $Q$ “.
Câu 23. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Khi đó
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.
D. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( B \right) – P\left( A \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: $B$
$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
Câu 24. Cho $A,\overline A $ là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố $A$ là $\frac{1}{3}$. Xác suất để xảy ra biến cố $\bar A$ là
A. $P\left( {\bar A} \right) = 1$.
B. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{2}$.
C. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}$.
D. $P\left( {\bar A} \right) = \frac{2}{3}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Có $P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Câu 25. Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi các số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét biến cố $A$ “Số ghi trên tấm thẻ rút ra là số lẻ”. Chọn mệnh đề đúng?
A. $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$.
B. $A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$.
C. $A = \left\{ {2;4;6;8} \right\}$.
D. $A = \left\{ {1;9} \right\}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
$A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$
Câu 26. Gọi $X = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Tính xác suất để số được chọn là số lẻ.
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $\frac{1}{5}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số lẻ”.
Khi đó
$P\left( A \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\;$
Câu 27. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Biết $P\left( A \right) = 0,4$ và $P\left( {\;B} \right) = 0,45$. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$.
A. 0,05 .
B. 0,85 .
C. 0,5 .
D. 0,67 .
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,45 = 0,18$.
Do đó $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,45 – 0,18 = 0,67$.
Câu 28. Có 7 viên bi xanh khác nhau và 3 viên bi đỏ khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất của biến cố $A$ sao cho chọn đúng 3 viên bi xanh là
A. $\frac{7}{{12}}$.
B. $\frac{{11}}{{12}}$.
C. $\frac{1}{{12}}$.
D. $\frac{5}{{12}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{10}^5 = 252$.
Gọi A là biến cố: “Chọn đúng 3 viên bi xanh”.
Suy ra $n\left( A \right) = C_7^3 \cdot C_3^2 = 105$.
Do đó
$P\left( A \right) = \frac{{105}}{{252}} = \frac{5}{{12}}$
Câu 29. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Xác suất để hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm là:
A. $\frac{1}{6}$.
B. $\frac{1}{{36}}$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $\frac{1}{{12}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có $n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36$.
Gọi A là biến cố: “Hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm”.
$ \Rightarrow A = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;6} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}$.
$ \Rightarrow n\left( A \right) = 9$
Do đó $P\left( A \right) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}$.
Câu 30. Có hai xạ thủ cùng thi bắn một mục tiêu. Xác suất để xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu là 0,5 . Xác suất để xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu là 0,7 . Xác suất để cả 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu là
A. 0,35 .
B. 0,5 .
C. 0,7 .
D. 0,65 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “Xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu”.
$B$ là biến cố: “Xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu”.
$C$ là biến cố: “Cả 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Khi đó $C = AB$.
Theo đề có $P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,7$.
Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập nên ta có
$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,5 \cdot 0,7 = 0,35$.
Câu 31. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = 2$. Kết quả đúng là:
A. $f’\left( 2 \right) = 3$.
B. $f’\left( x \right) = 2$.
C. $f’\left( 2 \right) = 2$.
D. $f’\left( x \right) = 3$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = 2$
Câu 32. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $y = {x^5} \Rightarrow y’ = 5x$.
B. $y = {x^3} \Rightarrow y’ = 3{x^2}$.
C. $y = x \Rightarrow y’ = 1$.
D. $y = {x^4} \Rightarrow y’ = 4{x^3}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$y = {x^5} \Rightarrow y’ = 5{x^4}$.
Câu 33. Đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right) = \frac{4}{5}{x^5} – 3{x^2} – x + 4$ là:
A. $16{x^3} – 6x$.
B. $4{x^3} – 6$.
C. $16{x^3} – 6$.
D. $16{x^2} – 6$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có $f’\left( x \right) = 4{x^4} – 6x – 1;f”\left( x \right) = 16{x^3} – 6$.
Câu 34. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. Hàm số có đạo hàm $f’\left( x \right)$ bằng:
A. $\frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
B. $\frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
C. $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
D. $\frac{{ – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
$f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}} \right)’} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) – \left( {2x – 1} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Câu 35. Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} + 1$. Giá trị $f”\left( { – 1} \right)$ bằng:
A. 6 .
B. 3 .
C. -12 .
D. 12 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có $f’\left( x \right) = 6{x^2};f”\left( x \right) = 12x$.
Do đó $f”\left( { – 1} \right) = 12 \cdot \left( { – 1} \right) = – 12$.
III. Lời giải tự luận
Bài 1. (1 điểm) Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${45^ \circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Lời giải
Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.
Vì $\vartriangle SAD$ đều nên $SH \bot AD$ mà $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BC$.
Lại có $BC \bot HM \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$.
Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $SM = {45^ \circ }$.
Vì $SH$ là đường cao của $\vartriangle SAD$ đều cạnh $2a$ nên $SH = a\sqrt 3 $.
Xét $\vartriangle SHM$, có $HM = \frac{{SH}}{{tan{{45}^ \circ }}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{1} = a\sqrt 3 $.
Do đó
${V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot AD \cdot HM = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot 2a \cdot a\sqrt 3 = 2{a^3}.$
Bài 2. (1 điểm) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{3x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = 7x + 3$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$.
$f’\left( x \right) = \frac{7}{{{{(x + 2)}^2}}}$.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm $\left( {{x_0} \ne – 2} \right)$.
Theo giả thuyết, ta có: $f’\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = – 1} \\
{{x_0} = – 3}
\end{array}} \right.$.
*TH1: ${x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 4$.
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y = 7\left( {x + 1} \right) – 4 = 7x + 3$ (loại).
*TH2: ${x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = 10$.
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y = 7\left( {x + 3} \right) + 10 = 7x + 31$.
Bài 3. (1 điểm) Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, người nghiên cứu điều tra xem họ có hút thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi | |
| Nghiện thuốc lá | 752 người | 1236 người |
| Không nghiện thuốc lá | 575 người | 2437 người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau?
Lời giải
Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”
B là biến cố “Người đó mắc bệnh phổi”
A.B là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi”
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là $P\left( A \right) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}$.
Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là
$P\left( {\;B} \right) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}.\;$
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là $P\left( {A \cdot B} \right) = \frac{{752}}{{5000}}$.
Nhận thấy:
$P\left( A \right) \cdot P\left( {\;B} \right) = \frac{{1988}}{{5000}} \cdot \frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P\left( {A \cdot B} \right)$
Vậy $A$ và $B$ không độc lập hay nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi có liên quan với nhau.
