Đề thi HK2 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1. Cho $x,y$ là hai số thực dương và $m,n$ là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. ${x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}$. B. ${(xy)^n} = {x^n} \cdot {y^n}$. C. ${\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}$. D. ${x^m} \cdot {y^n} = {(xy)^{m + n}}$.
Câu 2. Cho hai số dương $a,b\left( {a \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A. ${log_a}{a^\alpha } = \alpha $. B. ${log_a}1 = 0$. C. ${log_a}a = 2a$. D. ${log_{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{log_a}b$
Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = {(\sqrt 2 )^x}$. B. $y = x$. C. $y = {2^x}$. D. $y = {(\sqrt 2 )^{ – x}}$.
Câu 4. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {log_{\frac{2}{3}}}x$. B. $y = {log_{0,9}}x$. C. $y = {log_{\sqrt {0,9} }}x$. D. $y = {log_{\sqrt 2 }}x$.
Câu 5. Nếu ${log_a}x = \frac{1}{2}{log_a}9 – {log_a}5 + {log_a}2(a > 0,a \ne 1)$ thì $x$ bằng:
A. $\frac{2}{5}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $\frac{6}{5}$. D. 3 .
Câu 6. Tập xác định của hàm số $y = {log_7}\left( {x – 3} \right)$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 3 \right\}$. B. $\left[ {3; + \infty } \right)$. C. $\mathbb{R}$. D. $\left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 7. Số nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} – x}} = 9$ là
A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .
Câu 8. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc $S$ của lên $BC$. Hãy chọn khẳng định đúng?
A. $BC \bot AC$. B. $BC \bot AB$. C. $BC \bot SC$. D. $BC \bot AH$.
Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ như hình vẽ bên
Hình chiếu $A$ trên mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ là
A. $A’$. B. $B’$. C. $C’$. D. $D’$.
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ ?
A. $\left( {BCD’A’} \right)$. B. $\left( {ADC’B’} \right)$. C. $\left( {A’B’C’D’} \right)$. D. $\left( {ADD’A’} \right)$.
Câu 11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $SD$.
B. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $SA$.
C. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $AD$.
D. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $SD$.
Câu 12. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SC$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Góc giữa $SA$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa
A. $SA$ và $AB$. B. $SA$ và $SC$. C. $SB$ và $BC$. D. $SA$ và $AC$.
Câu 13. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ là
A. $\widehat {SBA}$. B. $\widehat {SCA}$. C. $\widehat {ASC}$. D. $\widehat {ASB}$.
Câu 14. Cho hình chóp cụt đều $ABCD$. MNPQ. Cặp đường thẳng nào sau đây song song?
A. $AB$ và $PQ$. B. $AM$ và $CP$. C. $AM$ và $BC$. D. $AB$ và $AC$.
Câu 15. Thể tích của khối chóp cụt đều có chiều cao $h$ và $S,S’$ lần lượt là diện tích đáy lớn và đáy nhỏ là
A. $V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right)$. B. $V = \frac{1}{6}Sh$.
C. $V = S’h$. D. $V = \frac{1}{3}h\left( {S + SS’ + S’} \right)$.
Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Hãy chọn khẳng định đúng.
A. $CD \bot \left( {SAB} \right)$. B. $BC \bot \left( {SAC} \right)$. C. $AC \bot \left( {SBD} \right)$. D. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 17. Cho hình hộp đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ đáy $ABCD$ là hình thoi. Chọn khẳng định sai.
A. $AC \bot B’D’$. B. (ACC’ $\left. {A’} \right) \bot \left( {BD{D’}B’} \right)$.
C. $\left( {A{A’}B’B} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. D. (AA’B’B) $ \bot \left( {BC{C’}B’} \right)$.
Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB = a$ và $SB = \sqrt 2 a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $a$. B. $\sqrt 2 a$. C. $2a$. D. $\sqrt 3 a$.
Câu 19. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh a. $SA = a\sqrt 2 $ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
A. ${30^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 20. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = \frac{{3a}}{2}$ . Tính số đo góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$.
A. ${30^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.
Câu 21. Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi $A$ là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và $B$ là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
B. $A \cap B$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện của hai lần gieo bằng 12 ”
C. $A \cup B$ là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”
D. $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
Câu 22. Cho $P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {AB} \right) = 0,2$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hai biến cố $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra.
B. Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
C. Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
D. Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,9$.
Câu 23. Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi các số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét biến cố A “Số ghi trên tấm thẻ rút ra là số chẵn”. Chọn mệnh đề đúng?
A. $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$. B. $A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$.
C. $A = \left\{ {2;4;6;8} \right\}$. D. $A = \left\{ {1;9} \right\}$.
Câu 24. Bạn Minh gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Cho biết không gian mẫu $\Omega $ ?
A. $\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. B. $\Omega = \left\{ {1;6} \right\}$. C. $\Omega = \left\{ 1 \right\}$. D. $\Omega = \left\{ 6 \right\}$.
Câu 25. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Khi đó
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$. B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$. D. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( B \right) – P\left( A \right)$.
Câu 26. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi $X$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”. Tính xác suất của $X$.
A. $\frac{1}{3}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{1}{4}$. D. $\frac{1}{2}$.
Câu 27. Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ.
A. $\frac{{400}}{{501}}$. B. $\frac{{307}}{{506}}$. C. $\frac{{443}}{{501}}$. D. $\frac{{443}}{{506}}$.
Câu 28. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Biết $P\left( A \right) = 0,5;P\left( {AB} \right) = 0,15$. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$.
A. 0,65 . B. 0,3 . C. 0,15 . D. 0,45 .
Câu 29. Bạn Toàn gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Gọi biến cố $A$ “Số chấm trên mặt xuất hiện nhỏ hơn 3” và biến cố $B$ “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 3”. Chọn mệnh đề đúng?
$P\left( {A \cup B} \right) = \frac{5}{6}$.
A. $P\left( {A \cup B} \right) = 1$. B. $P\left( {A \cup B} \right) = 1$. C. $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{2}{3}$.
Câu 30. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là:
A. $\;0,4$. B. 0,6 . C. 0,48 . D. 0,24 .
Câu 31. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) – f(3)}}{{x – 3}} = 2$. Kết quả đúng là:
A. $f’\left( 2 \right) = 3$. B. $f’\left( x \right) = 2$. C. $f’\left( 3 \right) = 2$. D. $f’\left( x \right) = 3$.
Câu 32. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là
A. $f\left( {{x_0}} \right)$. B. $f’\left( {{x_0}} \right)$. C. $f\left( x \right)$. D. ${x_0}$.
Câu 33. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$, giá trị của $f”\left( 1 \right)$ bằng:
A. 8 . B. 2 . C. 6 . D. 3 .
Câu 34. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = {x^2} + 2x$ tại điểm ${x_0} = 1$ là :
A. $y = 4x + 2$. B. $y = 4x$. C. $y = 4x – 4$. D. $y = 4x – 1$.
Câu 35. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x + x$ tại điểm ${x_0} = 4$ là:
A. $y’\left( 4 \right) = \frac{3}{2}$ B. $y’\left( 4 \right) = \frac{9}{2}$. C. $y’\left( 4 \right) = \frac{5}{4}$. D. $y’\left( 4 \right) = 6$.
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Tính xác suất để thầy giáo để sau khi tặng số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Bài 2. (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy; $SA = a\sqrt 3 $. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính khoảng cách $SB$ và $CI$ với $I$ là trung điểm của $AB$.
Bài 3. (1 điểm) Cho hàm số $y = – {x^3} + 2x – 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta :y = – x – 4$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
I. Bảng đáp án trắc nghiệm
| 1. D | 2. C | 3. A | 4. D | 5. C | 6. D | 7. A |
| 8. D | 9. A | 10. D | 11. A | 12. D | 13. A | 14. A |
| 15. A | 16. D | 17. D | 18. A | 19. B | 20. C | 21. D |
| 22. B | 23. C | 24. A | 25. B | 26. C | 27. D | 28. A |
| 29. A | 30. C | 31. C | 32. B | 33. C | 34. D | 35. C |
II. Lời giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1. Cho $\;x,\,y$ là hai số thực dương và $m,n$ là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. ${x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}$.
B. ${(xy)^n} = {x^n} \cdot {y^n}$.
C. ${\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}$.
D. ${x^m} \cdot {y^n} = {(xy)^{m + n}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đẳng thức sai là ${x^m} \cdot {y^n} = {(xy)^{m + n}}$.
Câu 2. Cho hai số dương $a,b\left( {a \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A. ${log_a}{a^\alpha } = \alpha $.
B. ${log_a}1 = 0$.
C. ${log_a}a = 2a$.
D. ${log_{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{log_a}b$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
${log_a}a = 1$.
Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = {(\sqrt 2 )^x}$.
B. $y = x$.
C. $y = {2^x}$.
D. $y = {(\sqrt 2 )^{ – x}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đây là dạng đồ thị hàm số mũ $y = {a^x}$. Hàm số này có $a > 1$.
Mà đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2;2} \right)$ nên chọn $A$.
Câu 4. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {log_{\frac{2}{3}}}x$.
B. $y = {log_{0,9}}x$.
C. $y = {log_{\sqrt {0,9} }}x$.
D. $y = {log_{\sqrt 2 }}x$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số $y = {log_a}x$ đồng biến khi $a > 1$. Do đó chọn đáp án D.
Câu 5. Nếu ${log_a}x = \frac{1}{2}{log_a}9 – {log_a}5 + {log_a}2(a > 0,a \ne 1)$ thì $x$ bằng:
A. $\frac{2}{5}$.
B. $\frac{3}{5}$.
C. $\frac{6}{5}$.
D. 3 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
${log_a}x = \frac{1}{2}{log_a}9 – {log_a}5 + {log_a}2$
$ = {log_a}3 – {log_a}5 + {log_a}2 = {log_a}\frac{3}{5} + {log_a}2 = {log_a}\frac{6}{5}$.
$ \Rightarrow x = \frac{6}{5}$.
Câu 6. Tập xác định của hàm số $y = {log_7}\left( {x – 3} \right)$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 3 \right\}$.
B. $\left[ {3; + \infty } \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left( {3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi $x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$.
Do đó chọn D.
Câu 7. Số nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} – x}} = 9$ là
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Lời giải
Đáp án đúng là: A
${3^{{x^2} – x}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} – x}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} – x = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Câu 8. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc $S$ của lên $BC$. Hãy chọn khẳng định đúng?
A. $BC \bot AC$.
B. $BC \bot AB$.
C. $BC \bot SC$.
D. $BC \bot AH$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì H là hình chiếu vuông góc $S$ của lên $BC$ nên $SH \bot BC$ (1).
Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).
Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH$.
Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ như hình vẽ bên
Hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ là
A. $A’$.
B. $B’$.
C. $C’$.
D. $D’$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $AA’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right)$ nên hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ là $A’$.
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ ?
A. $\;\left( {BCD’A’} \right)$.
B. $\left( {ADC’B’} \right)$.
C. $\left( {A’B’C’D’} \right)$.
D. ${\;^{\left( {ADD’A’} \right).\;}}$
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $ABCD \cdot A’B’C’D’$ là hình hộp chữ nhật nên $\left( {ADD’A’} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Câu 11. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $SD$.
B. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $SA$.
C. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $AD$.
D. $CD$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $SD$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $BC \bot CD$ và $CD \bot AD$ ( $ABCD$ là hình chữ nhật).
Lại có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$ mà $CD \bot AD \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$.
Do đó $CD$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $BC,SD$.
Câu 12. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SC$ vuông góc với $\;(ABC)$. Góc giữa $SA$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa:
A. $SA$ và $AB$.
B. $SA$ và $SC$.
C. $SB$ và $BC$.
D. $SA$ và $AC$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $SC \bot \left( {ABC} \right)$ nên $CA$ là hình chiếu của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Do đó góc giữa $SA$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AC$.
Câu 13. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ là
A. $\widehat {SBA}$.
B. $\widehat {SCA}$.
C. $\;\widehat {ASC}$.
D. $\;\widehat {ASB}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.
Khi đó: $AB \bot BC$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC} \\
{SB \bot BC} \\
{AB \bot BC}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$
Câu 14. Cho hình chóp cụt đều $ABCD.MNPQ$. Cặp đường thẳng nào sau đây song song?
A. $AB$ và $PQ$.
B. $AM$ và $CP$.
C. $AM$ và $BC$.
D. $AB$ và $AC$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $AB//PQ$ vì cùng song song với $MN$.
Câu 15. Thể tích của khối chóp cụt đều có chiều cao $h$ và $S,S’$ lần lượt là diện tích đáy lớn và đáy nhỏ là
A. $V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right)$.
B. $V = \frac{1}{6}Sh$.
C. $V = S’h$.
$V = \frac{1}{3}h\left( {S + SS’ + S’} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right)$.
Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ (như hình vẽ minh hoạ). Hãy chọn khẳng định đúng.
A. $CD \bot \left( {SAB} \right)$.
B. $BC \bot \left( {SAC} \right)$.
C. $AC \bot \left( {SBD} \right)$.
D. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB\left( 1 \right)$.
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$.
Câu 17. Cho hình hộp đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ đáy $ABCD$ là hình thoi. Chọn khẳng định sai.
A. $AC \bot B’D’$.
B. (ACC’ $\left. {A’} \right) \bot \left( {BDD’B’} \right)$.
C. $\left( {A{A’}B’B} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
D. $\left( {A{A’}B’B} \right) \bot \left( {BC{C’}B’} \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì $AC \bot BD$ mà $BD//B’D’$ nên $AC \bot B’D’$.
Vì $BB’ \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB’ \bot AC$ mà $AC \bot BD$ nên $AC \bot \left( {BDD’B’} \right)$.
Suy ra $\left( {ACC’A’} \right) \bot \left( {BDD’B’} \right)$.
Vì $ABCD \cdot A’B’C’D’$ là hình hộp đứng nên $\left( {AA’B’B} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.
Do đó đáp án D sai.
Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB = a$ và $SB = \sqrt 2 a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. $a$.
B. $\sqrt 2 a$.
C. $2a$.
D. $\sqrt 3 a$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.
Xét $\vartriangle SAB$ vuông tại $A$, có $SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} – {a^2}} = a$.
Câu 19. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh a. $SA = a\sqrt 2 $ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Do đó góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $SCA$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh a nên $AC = a\sqrt 2 $.
Xét $\vartriangle SAC$ vuông tại $A$, có $tanSCA = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow SCA = {45^ \circ }$.
Câu 20. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = \frac{{3a}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$.
A. ${30^ \circ }$.
B. ${45^ \circ }$.
C. ${60^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC$ (vì $ABC$ là tam giác đều).
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AI} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI} \right.$
Khi đó:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC} \\
{SI \bot BC} \\
{AI \bot BC}
\end{array} \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \mathbb{S}A} \right.$
Mà $\vartriangle ABC$ đều cạnh $a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Xét $\vartriangle SAI$ vuông tại $A$, ta có: $tanSIA = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow SIA = {60^ \circ }$
Câu 21. Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi $A$ là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và $B$ là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
B. $A \cap B$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện của hai lần gieo bằng 12 ”
C. $A \cup B$ là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”
D. $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án sai là $D:A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
Câu 22. Cho $P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {AB} \right) = 0,2$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hai biến cố $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra.
B. Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
C. Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.
D. Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,9$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì $P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2 = P\left( {AB} \right)$ nên $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
Câu 23. Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi các số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét biến cố $A$ “Số ghi trên tấm thẻ rút ra là số chẵn”. Chọn mệnh đề đúng?
A. $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$.
B. $A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$.
C. $A = \left\{ {2;4;6;8} \right\}$.
D. $A = \left\{ {1;9} \right\}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$A = \left\{ {2;4;6;8} \right\}$.
Câu 24. Bạn Minh gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Cho biết không gian mẫu $\Omega $ ?
A. $\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.
B. $\Omega = \left\{ {1;6} \right\}$.
C. $\Omega = \left\{ 1 \right\}$.
D. $\Omega = \left\{ 6 \right\}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
$\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.
Câu 25. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Khi đó
A. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.
B. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.
D. $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( B \right) – P\left( A \right)$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)$.
Câu 26. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi $X$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”. Tính xác suất của X.
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ” $ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2}$.
B là biến cố: “Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ” $ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}$.
$C$ là biến cố: “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”.
Có $C = A \cdot B$ mà $A,B$ là hai biến cố độc lập nên
$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{1}{4}$.
Câu 27. Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ.
A. $\frac{{400}}{{501}}$.
B. $\frac{{307}}{{506}}$.
C. $\frac{{443}}{{501}}$.
D. $\frac{{443}}{{506}}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{25}^4 = 12650$.
Gọi A là biến cố: “4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ”.
TH1: Có 1 nam 3 nữ $ \Rightarrow C_{15}^1 \cdot C_{10}^3 = 1800$ cách
TH2: Có 2 nam 2 nữ $ \Rightarrow C_{15}^2 \cdot C_{10}^2 = 4725$ cách
TH3: Có 3 nam 1 nữ $ \Rightarrow C_{15}^3 \cdot C_{10}^1 = 4550$ cách.
Do đó $n\left( A \right) = 11075$ cách.
Vậy
$P\left( A \right) = \frac{{11075}}{{12650}} = \frac{{443}}{{506}}$
Câu 28. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Biết $P\left( A \right) = 0,5;P\left( {AB} \right) = 0,15$. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$.
A. 0,65 .
B. 0,3 .
C. 0,15 .
D. 0,45 .
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,3$.
Có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = 0,5 + 0,3 – 0,15 = 0,65$.
Câu 29. Bạn Toàn gieo một con xúc xắc cân đối, đồng nhất. Gọi biến cố $A$ “Số chấm trên mặt xuất hiện nhỏ hơn 3” và biến cố B “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 3”. Chọn mệnh đề đúng?
$P\left( {A \cup B} \right) = \frac{5}{6}$.
B. $P\left( {A \cup B} \right) = 1$.
C. $P\left( {A \cup B} \right) = 1$.
D. $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{2}{3}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có $A = \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}$;
$B = \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}$.
Vì $A,B$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
Câu 30. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là:
A. 0,4 .
B. 0,6 .
C. 0,48 .
D. 0,24 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “Viên 1 bắn trúng mục tiêu”.
$B$ là biến cố: “Viên 2 bắn trúng mục tiêu”.
$C$ là biến cố: “1 viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu”.
Khi đó, ta có $C = A\overline B \cup \overline A B$.
Theo đề có: $P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4$.
Có $P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)$
$ = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48$.
Câu 31. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) – f(3)}}{{x – 3}} = 2$. Kết quả đúng là:
A. $f’\left( 2 \right) = 3$.
B. $f’\left( x \right) = 2$.
C. $f’\left( 3 \right) = 2$.
D. $f’\left( x \right) = 3$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) – f(3)}}{{x – 3}} = 2$.
Câu 32. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là
A. $f\left( {{x_0}} \right)$.
B. $f’\left( {{x_0}} \right)$.
C. $f\left( x \right)$.
D. ${x_0}$.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $f’\left( {{x_0}} \right)$.
Câu 33. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$, giá trị của $f”\left( 1 \right)$ bằng:
A. 8 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 3 .
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có $f’\left( x \right) = {\left( {{x^3} + 2x} \right)’} = 3{x^2} + 2;f”\left( x \right) = 6x$.
Do đó $f”\left( 1 \right) = 6.1 = 6$.
Câu 34. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = {x^2} + 2x$ tại điểm ${x_0} = 1$ là :
A. $y = 4x + 2$.
B. $y = 4x$.
C. $y = 4x – 4$.
D. $y = 4x – 1$.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Có $y’ = 2x + 2 \Rightarrow y’\left( 1 \right) = 4$.
Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: $y = 4\left( {x – 1} \right) + 3 = 4x – 1$.
Câu 35. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x + x$ tại điểm ${x_0} = 4$ là:
A. $y’\left( 4 \right) = \frac{3}{2}$.
B. $y’\left( 4 \right) = \frac{9}{2}$.
C. $y’\left( 4 \right) = \frac{5}{4}$.
D. $y’\left( 4 \right) = 6$.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có $y’ = {(\sqrt x + x)’} = \frac{1}{{2\sqrt x }} + 1$.
Có $y’\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} + 1 = \frac{5}{4}$.
III. Lời giải tự luận
Bài 1. (1 điểm) Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Tính xác suất để thầy giáo để sau khi tặng số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Lời giải
Số cách chọn 9 quyển sách bất kì từ 20 quyển sách bằng: $n\left( \Omega \right) = C_{20}^9 = 167960$.
Gọi A là biến cố sau khi tặng số sách còn lại của thầy giáo đủ ba môn
Suy ra $\overline A $ là biến cố sau khi tặng số sách còn lại không đủ cả 3 môn (đồng nghĩa thầy giáo tặng hết một loại sách)
$n\left( {\overline A } \right) = C_7^7 \cdot C_{13}^2 + C_5^5 \cdot C_{15}^4 + C_8^8 \cdot C_{12}^1 = 1455$.
Vậy $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$
$ = 1 – \frac{{1455}}{{167960}} = \frac{{33301}}{{33592}}.$
Bài 2. (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy; $SA = a\sqrt 3 $. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính khoảng cách $SB$ và $CI$ với $I$ là trung điểm của $AB$.
Lời giải
Vì $\vartriangle ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI \bot AB$.
Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI$.
Ta có: $CI \bot AB$ và $CI \bot SA$
$ \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)$.
Trong $\left( {SAB} \right)$ kẻ $IH \bot SB$ tại $H$.
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
IH \bot SB \hfill \\
IH \bot CI\;\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH$
Ta có $ = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a$
HB vuông tại nên: $I = IB \cdot sin\widehat {IBH} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}$
Bài 3. (1 điểm) Cho hàm số $y = – {x^3} + 2x – 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta :y = – x – 4$.
Lời giải
$y’ = f’\left( x \right) = – 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}$.
Giả sử $d$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì $d$ có hệ số góc là ${k_d} = f’\left( {{x_0}} \right) = – 3{x_0}{\;^2} + 2$.
$d//\Delta \Rightarrow {k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow – 3x_0^2 + 2 = – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 1} \\
{{x_0} = – 1}
\end{array}} \right.$.
${x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; – 1} \right) \Rightarrow d:y = – x$, thỏa mãn $d//\Delta $.
${x_0} = – 1 \Rightarrow M\left( { – 1; – 3} \right) \Rightarrow d:y = – x – 4$, trường hợp này $d \equiv \Delta $ nên không thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa đề bài là $d:y = – x$.
