Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Giải mục 1 trang 15, 16, 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Giải Mục 1 Toán 12 - Chuyên đề Ứng dụng Tối ưu Mô tả Meta: Học cách giải các bài toán tối ưu trong Toán 12 một cách hiệu quả. Bài viết chi tiết hướng dẫn giải mục 1 trang 15, 16, 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế. 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết mục 1 trong Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu của sách Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, trang 15, 16, 17, 18. Mục tiêu chính là cung cấp cho học sinh một phương pháp hệ thống và chi tiết để giải quyết các bài toán tối ưu, bao gồm việc xác định các hàm mục tiêu, điều kiện ràng buộc và tìm ra lời giải tối ưu. Bài học sẽ hướng dẫn học sinh cách vận dụng các kiến thức về đạo hàm, cực trị hàm số và các phương pháp giải toán khác để đạt được kết quả tốt nhất.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ:

Nắm vững khái niệm bài toán tối ưu: Hiểu được cấu trúc, các thành phần chính và cách xác định bài toán tối ưu. Xác định hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc: Phát triển kỹ năng phân tích bài toán để tách biệt các yếu tố cần tối ưu và các điều kiện giới hạn. Áp dụng các phương pháp giải bài toán tối ưu: Sử dụng các công cụ toán học như đạo hàm, tìm cực trị để tìm lời giải tối ưu. Phân tích và đánh giá kết quả: Hiểu cách kiểm tra tính hợp lý của lời giải, so sánh các phương án và lựa chọn lời giải tối ưu nhất. Vận dụng kiến thức vào các bài toán thực tế: Thực hành giải quyết các bài toán tối ưu trong nhiều tình huống khác nhau. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được tổ chức theo cấu trúc logic, từ dễ đến khó, với các bước sau:

1. Giới thiệu khái niệm bài toán tối ưu: Giải thích rõ ràng và minh họa bằng ví dụ.
2. Phân tích bài toán: Phân tích từng bài toán cụ thể, hướng dẫn cách xác định hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc.
3. Áp dụng phương pháp giải: Hướng dẫn chi tiết các bước sử dụng đạo hàm, tìm cực trị để tìm lời giải tối ưu.
4. Ví dụ minh họa: Cung cấp các ví dụ thực tế và giải chi tiết từng bước, giúp học sinh hình dung rõ ràng hơn.
5. Bài tập thực hành: Đưa ra các bài tập để học sinh tự luyện tập và vận dụng kiến thức đã học.
6. Thảo luận: Tạo không gian để học sinh thảo luận, trao đổi và giải quyết các vấn đề khó khăn.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về bài toán tối ưu được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

Kinh tế: Tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí sản xuất.
Kỹ thuật: Tối ưu hóa thiết kế, quy trình sản xuất.
Quản lý: Tối ưu hóa nguồn lực, quy trình làm việc.
Khoa học: Tối ưu hóa mô hình, phương pháp nghiên cứu.

5. Kết nối với chương trình học
Bài học này liên kết với các bài học về:

Đạo hàm và ứng dụng.
Cực trị của hàm số.
Phương trình, bất phương trình.
Các kiến thức toán học cơ bản khác.

Bài học sẽ giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức về các chủ đề trên.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tốt bài học này, học sinh cần:

Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và phương pháp giải.
Làm bài tập: Thực hành giải các bài tập để củng cố kiến thức.
Tìm kiếm thông tin: Tham khảo thêm các tài liệu khác để mở rộng hiểu biết.
Thảo luận: Trao đổi với bạn bè, giáo viên về các vấn đề khó khăn.
Luyện tập đều đặn: Củng cố kiến thức thông qua việc giải quyết các bài tập thực tế.

40 Keywords:

(Danh sách 40 từ khóa liên quan đến nội dung bài học, bao gồm từ khóa chung và cụ thể về các khái niệm, phương pháp giải, ví dụ, và sách giáo khoa)

Ví dụ: Bài toán tối ưu, hàm mục tiêu, điều kiện ràng buộc, đạo hàm, cực trị, Toán 12, Chuyên đề học tập Toán 12, Chân trời sáng tạo, trang 15, 16, 17, 18, phương pháp giải, ứng dụng thực tế, kinh tế, kỹ thuật, quản lý, khoa học, bài tập, giải bài tập, hướng dẫn học tập, luyện tập, củng cố kiến thức, phương pháp học hiệu quả, ...

hoạt động 1

trả lời câu hỏi hoạt động 1 trang 15 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là \(500d{m^3}\) (hình 1). biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ \(3dm\) đến \(10dm\).
a) nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu \(s\), có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?
b) có thể biểu thị tổng diện tích \(s\) theo \(x\) không? biến \(x\) nhận giá trị trong miền nào?
c) với giá trị nào của \(x\) thì \(s\) có giá trị nhỏ nhất?

phương pháp giải:

• biểu thị \(s\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

lời giải chi tiết:

a) gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\).

diện tích xung quang của thùng là: \(4{\rm{x}}{\rm{.h}}\left( {d{m^2}} \right)\).

diện tích đáy của thùng là: \({x^2}\left( {d{m^2}} \right)\).

tổng diện tích các mặt của thùng là: \(s = {x^2} + 4{\rm{x}}h\left( {d{m^2}} \right)\) với \(x > 0,3 \le h \le 10\).

b) từ giả thiết \(v = {x^2}h \leftrightarrow 500 = {x^2}h \leftrightarrow h = \frac{{500}}{{{x^2}}}\).

khi đó \(s = {x^2} + 4\,.\,\frac{{500}}{{{x^2}}}x = {x^2} + \frac{{2000}}{x}\left( {x > 0} \right)\).

c) ta có: \(s' = 2{\rm{x}} - \frac{{2000}}{{{x^2}}}\)

\(s' = 0 \leftrightarrow x = 10\).

bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} s = f\left( {10} \right) = 300\). khi đó \(h = \frac{{500}}{{{{10}^2}}} = 5\left( {dm} \right)\) thoả mãn điều kiện \(3 \le h \le 10\).

vậy với \(x = 10\left( {dm} \right)\) thì \(s\) có giá trị nhỏ nhất.

luyện tập 1

trả lời câu hỏi luyện tập 1 trang 17 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

hai nhà máy được đặt tại các vị trí \(a\) và \(b\) cách nhau 4 km. nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí \(c\) trên đường trung trực của đoạn thẳng \(ab\), cách trung điểm \(m\) của đoạn thẳng \(ab\) một khoảng là 3 km. người ta muốn làm đường ống dẫn nước thái từ hai nhà máy \(a,b\) đến nhà máy xử lí nước thải \(c\) gồm các đoạn thẳng \(ai,bi\) và \(ic\), với \(i\) là vị trí nằm giữa \(m\) và \(c\) (hình 4). cần chọn vị trí điểm \(i\) như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.

phương pháp giải:

• đặt \(im = x\), biểu thị \(ia + ib + ic\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

bước 1. tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

bước 2. tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).

bước 3. gọi \(m\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở bước 2. khi đó: \(m = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

lời giải chi tiết:

đặt \(im = x\left( {km} \right)\left( {0 \le x \le 3} \right)\).

ta có: \(ia = ib = \sqrt {i{m^2} + m{a^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} ;ic = mc - im = 3 - x\)

tổng độ dài đường ống là: \(ia + ib + ic = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\).

xét hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

ta có: \(f'\left( x \right) = 2.\frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1 = 2.\frac{{2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1 = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 1 \leftrightarrow 2{\rm{x}} = \sqrt {{x^2} + 4} \leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = {x^2} + 4 \leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) hoặc \(x = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) (loại).

\(f\left( 0 \right) = 7;f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 ;f\left( 3 \right) = 2\sqrt {13} \).

vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 \).

vậy \(im = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 1,155\left( {km} \right)\) thì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(3 + 2\sqrt 3 \approx 6,464\left( {km} \right)\).

luyện tập 2

trả lời câu hỏi luyện tập 2 trang 18 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng \(a\left( {cm} \right)\) không đổi (hình 5). gọi \(\alpha \) là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên \(\left( {\frac{\pi }{2} \le \alpha < \pi } \right)\). tìm \(\alpha \) để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

phương pháp giải:

• biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

lời giải chi tiết:

dựng \(ah \bot bc\). khi đó \(ah = h\) là chiều cao của mặt cắt ngang.

ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {abh} = \pi - \alpha \rightarrow h = ab.\sin \widehat {abh} = a\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = a\sin \alpha \\bh = ab.\cos \widehat {abh} = a\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - a\cos \alpha \\a{\rm{d}} = bc + 2bh = a - 2a\cos \alpha \end{array}\)

diện tích của mặt cắt ngang là:

\(s = \frac{1}{2}\left( {a{\rm{d}} + bc} \right).ah = \frac{1}{2}\left( {a + a - 2{\rm{a}}\cos \alpha } \right).a\sin \alpha = {a^2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\sin \alpha = {a^2}\left( {\sin \alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha } \right)\).

xét hàm số \(f\left( \alpha \right) = \sin \alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).

ta có: \(f'\left( \alpha \right) = \cos \alpha - \cos 2\alpha \)

\(\begin{array}{l}f'\left( \alpha \right) = 0 \leftrightarrow \cos \alpha - \cos 2\alpha = 0 \leftrightarrow \cos 2\alpha = \cos \alpha \\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\alpha = \alpha + k2\pi \\2\alpha = - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = k2\pi \\3\alpha = k2\pi \end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = k2\pi \\\alpha = k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right. \leftrightarrow \alpha = k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

do \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\alpha = \frac{{2\pi }}{3}\).

bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\):

từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)} f\left( \alpha \right) = f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

vậy diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước có giá trị lớn nhất bằng \({a^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) khi \(\alpha = \frac{{2\pi }}{3}\).