Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Giải mục 1 trang 6-10 Chuyên đề Toán 12 - Chân trời sáng tạo 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các mục 1 từ trang 6 đến 10 của Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu trong sách Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Mục tiêu chính là trang bị cho học sinh các kỹ năng cần thiết để phân tích, lập phương trình, và tìm lời giải tối ưu cho các bài toán thực tế liên quan đến tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một đại lượng. Bài học sẽ hướng dẫn cách vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm và bất đẳng thức đã học để giải quyết các vấn đề tối ưu.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ:

Hiểu rõ khái niệm bài toán tối ưu: Nhận diện các yếu tố cần tối ưu trong bài toán. Phân tích bài toán và lập phương trình: Đưa bài toán thực tế vào dạng toán học, thiết lập phương trình hoặc hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu. Vận dụng đạo hàm để tìm cực trị: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số, từ đó xác định giá trị tối ưu. Vận dụng các phương pháp khác để giải quyết bài toán tối ưu: Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm lời giải tối ưu. Giải thích kết quả và rút ra kết luận: Biểu đạt kết quả tìm được và giải thích ý nghĩa của nó trong bối cảnh bài toán thực tế. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được thiết kế theo phương pháp hướng dẫn - thực hành, kết hợp lý thuyết và bài tập.

Giải thích lý thuyết: Giải thích chi tiết các khái niệm, công thức và phương pháp cần thiết để giải quyết các bài toán tối ưu.
Ví dụ minh họa: Phân tích các ví dụ cụ thể, từ đơn giản đến phức tạp, để giúp học sinh nắm bắt cách áp dụng lý thuyết vào thực hành.
Bài tập thực hành: Cung cấp một loạt bài tập để học sinh tự luyện tập và rèn kỹ năng giải quyết các bài toán tối ưu khác nhau.
Thảo luận nhóm: Tạo điều kiện cho học sinh thảo luận nhóm, trao đổi ý tưởng và cùng nhau tìm ra lời giải.
Giải đáp thắc mắc: Cung cấp cơ hội cho học sinh đặt câu hỏi và được giải đáp thắc mắc kịp thời.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong đời sống, ví dụ như:

Quản lý nguồn lực: Tối ưu hóa chi phí sản xuất, tối đa hóa lợi nhuận. Thiết kế công trình: Tối ưu hóa hình dạng, kích thước để giảm chi phí vật liệu hoặc nâng cao hiệu quả. Kỹ thuật: Tối ưu hóa đường đi, thiết kế máy móc để đạt hiệu quả cao nhất. 5. Kết nối với chương trình học
Bài học này liên kết chặt chẽ với các bài học trước về hàm số, đạo hàm, bất đẳng thức và các kiến thức toán học cơ bản khác trong chương trình Toán 12. Nắm vững kiến thức trong bài học này là nền tảng để học sinh tiếp tục nghiên cứu các chuyên đề toán học nâng cao hơn.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tập hiệu quả, học sinh cần:

Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và công thức.
Làm bài tập thường xuyên: Thực hành giải các bài toán để rèn luyện kỹ năng.
Tìm hiểu các ví dụ: Phân tích các ví dụ để hiểu rõ cách vận dụng kiến thức.
Thảo luận với bạn bè: Trao đổi ý kiến và cùng nhau tìm lời giải.
Sử dụng tài liệu tham khảo: Tìm hiểu thêm các tài liệu khác để mở rộng kiến thức.
* Tự tin đặt câu hỏi: Không ngại đặt câu hỏi khi gặp khó khăn.

Keywords (40 từ khóa):

Giải toán, tối ưu hóa, hàm số, đạo hàm, cực trị, bất đẳng thức, bài toán thực tế, phương trình, phương pháp, chuyên đề, toán 12, Chân trời sáng tạo, ứng dụng toán học, quản lý nguồn lực, chi phí, lợi nhuận, thiết kế công trình, hình dạng, kích thước, hiệu quả, kỹ thuật, đường đi, máy móc, bài tập, ví dụ minh họa, lý thuyết, thực hành, thảo luận, nhóm, thắc mắc, tài liệu tham khảo, lời giải, kết quả, quy tắc, khảo sát hàm số, tối đa, tối thiểu, điểm cực trị, nguồn lực

Tiêu đề Meta: Giải bài tập Toán 12 Chuyên đề Ứng dụng Tối ưu - Chân trời sáng tạo Mô tả Meta: Học cách giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong Toán 12. Bài viết cung cấp lý thuyết, ví dụ, bài tập và hướng dẫn học hiệu quả để thành thạo các kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán tối ưu.

hoạt động 1

trả lời câu hỏi hoạt động 1 trang 6 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

xét bài toán: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (i)

miền nghiệm \({\omega }\) của hệ (i) là miền tứ giác \(oabc\) (được tô màu) trên hình 1. với giá trị \(f\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - f = 0\) hay \(y = - \frac{x}{2} + \frac{f}{2}\).

trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) với giá trị nào của \(f\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(o\), điểm \(b\)?

b) khi giá trị của \(f\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\) thay đổi như thế nào? khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?

c) với điều kiện nào của \(f\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\omega }\) có điểm chung?

d) từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\omega }\). biểu thức \(f\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?

phương pháp giải:

‒ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(m\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).

‒ tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(f\) tăng (hoặc giảm).

‒ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.

lời giải chi tiết:

a) đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(o\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - f = 0\) hay \(f = 0\).

đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(b\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - f = 0\) hay \(f = 8\).

b) tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\): \(y = - \frac{0}{2} + \frac{f}{2} = \frac{f}{2}\)

do đó, khi giá trị của f tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\) tăng (hoặc giảm) theo.

đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.

c) với điều kiện \(0 \le f \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\omega }\) có điểm chung.

d) ta có: \(o\left( {0;0} \right),a\left( {0;2} \right),b\left( {2;3} \right),c\left( {5;0} \right)\).

giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\):

\(f\left( {0;0} \right) = 0,f\left( {0;2} \right) = 4,f\left( {2;3} \right) = 8,f\left( {5;0} \right) = 5\)

do đó \(\mathop {\max }\limits_{\omega } f = 8\) tại điểm \(b\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\omega } f = 0\) tại điểm \(o\left( {0;0} \right)\).

hoạt động 2

trả lời câu hỏi hoạt động 2 trang 8 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

\(f = 2x + y \to \max ,\min \)

với ràng buộc

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (ii)

tập phương án \({\omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên hình 3. hai điểm \(a\left( {1;3} \right)\) và \(b\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\omega }\).

với giá trị \(f\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = f\) hay \(d:y = - 2x + f\).

trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) tìm giá trị của \(f\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(a\left( {1;3} \right)\). gọi giá trị tìm được là \({f_a}\).

c) nếu \(f < {f_a}\) thì \(d\) và \({\omega }\) có điểm chung không? từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(f = 2x + y\) trên \({\omega }\).

d) với giá trị nào của \(f\) thì \(d\) và \({\omega }\) có điểm chung? hàm mục tiêu \(f = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\omega }\) hay không?

phương pháp giải:

‒ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(m\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).

‒ tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(f\) tăng (hoặc giảm).

lời giải chi tiết:

a) đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(a\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = f\) hay \(f = 5\).

vậy \({f_a} = 5\).

b) tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\): \(y = - 2.0 + f = f\)

do đó, khi giá trị của f tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(oy\) tăng (hoặc giảm) theo.

đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.

c) nếu \(f < {f_a}\) thì \(d\) và \({\omega }\) không có điểm chung; suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\omega }\) f = 5\).

d) \(d\) và \({\omega }\) có điểm chung khi \(f \ge {f_a} = 5\).

do đó hàm mục tiêu \(f = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\omega }\).

luyện tập 1

trả lời câu hỏi luyện tập 1 trang 10 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

\(f = 4x + 3y \to \max ,\min \)

với ràng buộc

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)

phương pháp giải:

bước 1: biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(oxy\).

bước 2: tính giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\).

trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(f\) trên \({\omega }\).

trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(f\) trên \({\omega }\).

lời giải chi tiết:

tập phương án \({\omega }\) là miền tứ giác \(abcd\).

toạ độ \(a\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\). vậy \(a\left( {0;4} \right)\)

toạ độ \(b\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\). vậy \(b\left( {4;2} \right)\)

toạ độ \(c\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.\). vậy \(c\left( {3,5;1} \right)\)

toạ độ \(d\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\). vậy \(d\left( {0;1} \right)\)

giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\):

\(f\left( {0;4} \right) = 12;f\left( {4;2} \right) = 22;f\left( {3,5;1} \right) = 17;f\left( {0;1} \right) = 3\)

do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\omega } f = f\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\omega } f = f\left( {0;1} \right) = 3\).

luyện tập 2

trả lời câu hỏi luyện tập 2 trang 10 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

\(f = 25x + 10y \to \min \)

với ràng buộc

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.\)

phương pháp giải:

bước 1: biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(oxy\).

bước 2: tính giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\).

lời giải chi tiết:

viết lại ràng buộc của bài toán thành

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)

tập phương án \({\omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).

toạ độ \(a\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). vậy \(a\left( {2;2} \right)\).

toạ độ \(b\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\). vậy \(b\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

do \({\omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(f = 25x + 10y\) đều dương nên \(f\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\omega }\).

ta có \(f\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;f\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94\).

do đó \(f\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(a\left( {2;2} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\omega } f = f\left( {2;2} \right) = 70\).

vận dụng

trả lời câu hỏi vận dụng trang 10 chuyên đề học tập toán 12 chân trời sáng tạo

cho bài toán quy hoạch tuyến tính

\(f = 3x + 3y \to \max ,\min \)

có tập phương án \({\omega }\) là miền tứ giác \(abcd\) (được tô màu như hình 5) với các đỉnh là \(a\left( {0;5} \right),\)\(b\left( {4;1} \right),c\left( {2;1} \right)\) và \(d\left( {0;2} \right)\).

a) giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.

b) hàm mục tiêu \(f\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\omega }\) tại bao nhiêu điểm? giải thích.

phương pháp giải:

bước 1: biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(oxy\).

bước 2: tính giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\).

lời giải chi tiết:

a) giá trị của biểu thức \(f\) tại các đỉnh của \({\omega }\):

\(f\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;f\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;f\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;f\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)

do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\omega } f = f\left( {0;5} \right) = f\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\omega } f = f\left( {0;2} \right) = 6\).

b) tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(ab\) của miền \({\omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).

do đó \(f = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).

vậy hàm mục tiêu \(f\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(ab\) của miền \({\omega }\).