Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.
Lời giải
a) Hình a.
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ {1;6} \right]} = y(1) = 6$
+ $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;6} \right]} = y\left( 5 \right) = 1$
a) Hình b.
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 3;3} \right]} = y(1) = 7$
+ $\mathop {\min y}\limits_{\left[ { – 3;3} \right]} = y\left( { – 3} \right) = y\left( { – 1} \right) = 1$
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = {x^3} – 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$;
b) $y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400$ trên đoạn $\left[ {3;11} \right]$;
c) $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}$ trên đoạn $\left[ {3;7} \right]$;
d) $y = sin2x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$.
Lời giải
a) $y = {x^3} – 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$;
$y’ = 3{x^2} – 12x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4\,(loại) \hfill \\
x = 0\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$y( – 1) = 12$; $y(3) = – 8$; $y(0) = 1$
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = y( – 1) = 12$
+ $\mathop {\min y}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = y\left( 3 \right) = – 8$
b) $y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400$ trên đoạn $\left[ {3;11} \right]$;
$y’ = – 3{x^2} + 48x – 180$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 48x – 180 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 10\,\,(nhận) \hfill \\
x = 6\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$y(3) = 49$; $y(11) = – 7$; $y(10) = 0$; $y(6) = – 32$.
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ {3;11} \right]} = y(3) = 49$
+ $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {3;11} \right]} = y\left( 6 \right) = – 32$
c) $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}$ trên đoạn $\left[ {3;7} \right]$;
$y’ = \frac{{ – 5}}{{{{(x – 2)}^2}}} < 0$
$y(3) = 7$; $y(7) = 3$
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ {3;7} \right]} = y(3) = 7$
+ $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {3;7} \right]} = y\left( 7 \right) = 3$
d) $y = sin2x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$.
$y’ = {\left( {2x} \right)^\prime }cos2x = 2cos2x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 2cos2x = 0 \Leftrightarrow cos2x = 0$
$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$
Do $x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$ nên $x = \frac{\pi }{4}$.
$y(0) = 0$; $y\left( {\frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = – 1$; $y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$.
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]} = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]} = y\left( {\frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = – 1$
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = {x^3} – 3x – 4$ trên nửa khoảng $\left[ { – 3;2} \right)$;
b) $y = \frac{{3{x^2} – 4x}}{{{x^2} – 1}}$ trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
Lời giải
a) $y = {x^3} – 3x – 4$ trên nửa khoảng $\left[ { – 3;2} \right)$;
$y’ = 3{x^2} – 3$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,\,(nhận) \hfill \\
x = – 1\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 3;2} \right)} = y\left( { – 1} \right) = – 2$
+ $\mathop {min}\limits_{\left[ { – 3;2} \right)} = y\left( { – 3} \right) = – 22$
b) $y = \frac{{3{x^2} – 4x}}{{{x^2} – 1}}$ trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
$y’ = \frac{{{{\left( {3{x^2} – 4x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} – 1} \right) – \left( {3{x^2} – 4x} \right){{\left( {{x^2} – 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( {6x – 4} \right)\left( {{x^2} – 1} \right) – \left( {3{x^2} – 4x} \right)\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{6{x^3} – 6x – 4{x^2} + 4 – 6{x^3} + 8{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{4{x^2} – 6x + 4}}{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne \pm 1$.
Bảng biến thiên trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$
Vậy, không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
Câu 4. Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng $4\;m$ (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
Hình 6
Lời giải
Gọi $x,\,y$ là độ dài các cạnh của hình chữ nhật ($x,y > 0$).
Ta có: Chu vi của hình chữ nhật là $2x + 2y = 4 \Rightarrow y = 2 – x$ và $0 < x,y < 2$
Diện tích hình chữ nhật là $S = x.y = x(2 – x) = – {x^2} + 2x$
Ta tìm GTLN của S trên $\left( {0;2} \right)$.
$S'(x) = – 2x + 2$
$S'(x) = 0 \Leftrightarrow – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Bảng biến thiên
Suy ra, $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} S = S(1) = 1$.
Vậy, diện tích cửa sổ lớn nhất khi các cạnh của cửa sổ bằng $1\,m$.
Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sqrt {1 – {x^2}} + {x^2}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \left[ { – 1;1} \right]$.
$y’ = \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + 2x = \frac{{ – 2x + 2x\sqrt {1 – {x^2}} }}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$
$y’ = 0 \Rightarrow – 2x + 2x\sqrt {1 – {x^2}} = 0$
$ \Rightarrow 2x\left( { – 1 + \sqrt {1 – {x^2}} } \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
– 1 + \sqrt {1 – {x^2}} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
\sqrt {1 – {x^2}} = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
1 – {x^2} = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x = 0$(nhận).
$y( – 1) = 1$; $y(1) = 1$; $y(0) = 2$
Vậy,
+ $\mathop {max}\limits_D = y\left( 0 \right) = 2$
+ $\mathop {\min y}\limits_D = y\left( { – 1} \right) = y(1) = 1$
Câu 6. Khối lượng $q\left( {\;kg} \right)$ của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng $/kg$ ) theo công thức $p = 15 – \frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R = pq$.
a) Viết công thức biểu diễn $R$ theo $p$.
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Lời giải
a) Ta có $p = 15 – \frac{1}{2}q \Leftrightarrow 2p = 30 – q$ $ \Leftrightarrow q = 30 – 2p$.
Khi đó $R = pq = p(30 – 2p) = – 2{p^2} + 30p$.
b) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $R = – 2{p^2} + 30p$
Tập xác định: $D = (0; + \infty )$
Ta có ${R^\prime } = – 4p + 30$
${R^\prime } = 0 \Leftrightarrow – 4p + 30 = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{15}}{2}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {max}\limits_D y = R\left( {\frac{{15}}{2}} \right) = \frac{{225}}{2} = 112,5$
Vậy bán mỗi sản phẩm giá 7,5 nghìn đồng thì đạt doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.
Câu 7. Hộp sữa $1l$ được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh $x\;cm$. Tìm $x$ để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi chiều cao của hộp là $h$
Thể tích của hộp là: $V = h \cdot {x^2} = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{{x^2}}}$
Diện tích toàn phần của hộp là: $y = {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = 4hx + 2{x^2}$
$ = 4 \cdot \frac{1}{{{x^2}}} \cdot x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{4}{x}$
Tập xác định: $D = (0; + \infty )$
${y^\prime } = 4x – \frac{4}{{{x^2}}};$${y^\prime } = 4x – \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_D y = y(1) = 6$
Vậy, $x = 1\;cm$ thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng $6\;c{m^2}$
