Câu 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ (Hình 7);
b) Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ (Hình 8 ).
Lời giải
a) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ là $S = \int_0^2 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}$
b) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ là $S = \int_1^3 {\frac{1}{x}} dx = \left. {\ln |x|} \right|_1^3 = \ln 3 – \ln 1 = \ln 3$
Câu 2. Tính các tích phân sau:
a) $\int_1^2 {{x^4}} \;dx$
b) $\int_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} \;dx$
c) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx$
d) $\int_0^2 {{3^x}} \;dx$.
Lời giải
a) $\int_1^2 {{x^4}} dx = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_1^2 = \frac{{32}}{5} – \frac{1}{5} = \frac{{31}}{5}$
b) $\int_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx = \int_1^2 {{x^{ – \frac{1}{2}}}} dx = \left. {2\sqrt x } \right|_1^2 = 2\sqrt 2 – 2$;
c) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1$
d) $\int_0^2 {{3^x}} dx = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^2 = \frac{9}{{\ln 3}} – \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{8}{{\ln 3}}$
Câu 3. Tính các tích phân sau
a) $\int_{ – 2}^4 {(x + 1)} (x – 1)dx$
b) $\int_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}} \;dx$
c) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x – 2)} dx$
d) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx$.
Lời giải
a) $\int_{ – 2}^4 {(x + 1)} (x – 1)dx = \int_{ – 2}^4 {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx$
$ = \int_{ – 2}^4 {{x^2}} dx – \int_{ – 2}^4 d x = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_{ – 2}^4 = \frac{{54}}{3} = 18$
b) $\int_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}} dx = \int_1^2 {\left( {x + \frac{1}{x} – 2} \right)} dx = $
$\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln |x| – 2x} \right)} \right|_1^2 = – 2 + \ln 2 + \frac{3}{2} – \ln 1$
$ = \ln 2 – \frac{1}{2}$
c) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x – 2)} dx = 3\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx – 2\int_0^{\frac{\pi }{2}} d x$
$ = \left. {( – 3\cos x – 2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = – \pi + 3$
d) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 – {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx$
$ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 – \cos x)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} d x – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx$
$ = \left. {(x – \sin x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} – 1$
Câu 4. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{ – 2}^1 | 2x + 2|dx$
b) $\int_0^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|} dx$;
c) $\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$.
Lời giải
a) $\int_{ – 2}^1 | 2x + 2|dx = \int_{ – 2}^{ – 1} | 2x + 2|dx + \int_{ – 1}^1 | 2x + 2|dx$
$ = – 2\int_{ – 2}^{ – 1} {(x + 1)} dx + 2\int_{ – 1}^1 {(x + 1)} dx$
$ = – \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1 = 1 + 3 + 1 = 5$
b) $\int_0^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|} dx = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4} \right|} dx + \int_2^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|} dx$
$ = \int_0^2 {\left( {4 – {x^2}} \right)} dx + \int_2^4 {\left( {{x^2} – 4} \right)} dx$
$ = \left. {\left( {4x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 4x} \right)} \right|_2^4$
$ = \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} = 16$
c) $\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^0 | \sin x|dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$
$ = – \int_{ – \frac{\pi }{2}}^0 {\sin } xdx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx$
$ = \left. {\cos x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^0 – \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 + 1 = 2$
Câu 5. Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở ${150^ \circ }C$. Biết rằng nhiệt độ $T\left( {{\;^ \circ }C} \right)$ tại điểm $A$ trên thành ống là hàm số của khoảng cách $x\left( {\;cm} \right)$ từ $A$ đến tâm của mặt cắt và
$T’\left( x \right) = – \frac{{30}}{x}\;\left( {6 \leqslant x \leqslant 8} \right).$
(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015)
Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Lời giải
Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở ${150^\circ }$ nên $T(6) = 150$.
Nhiệt độ mặt ngoài của ống là $T(8) = [T(8) – T(6)] + T(6)$
$ = \int_6^8 {{T^\prime }} (x)dx + T(6)$.
Ta có $\int_6^8 {{T^\prime }} (x)dx = \int_6^8 – \frac{{30}}{x}dx = – 30$;
$\int_6^8 {\frac{1}{x}} dx = – \left. {30 \cdot (\ln |x|)} \right|_6^8 = – 30\ln 8 + 30\ln 6$.
Vậy nhiệt độ bên ngoài mặt ống là $T(8) = – 30\ln 8 + 30\ln 6 + 150 \approx 141,{37^\circ }C$.
Câu 6. Tốc độ $v\left( {\;m/s} \right)$ của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức:
$v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}
{t,0 \leqslant t \leqslant 2} \\
{2,2 < t \leqslant 20} \\
{12 – 0,5t,20 < t \leqslant 24}
\end{array}} \right.$
Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
Lời giải
Gọi $s(t)$ là quãng đường thang máy di chuyển được đến thời gian $t$ (giây).
Quãng đường thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất là $s = \int_0^{20} v (t)dt$
$ = \int_0^2 v (t)dt + \int_2^{20} v (t)dt + \int_{20}^{24} v (t)dt$
$ = \int_0^2 t dt + \int_2^{20} 2 dt + \int_{20}^{24} {(12 – 0,5t)} dt$
$ = \left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {2(t)} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t – \frac{{0,5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_{20}^{24} = 42(\;m)$
Vận tốc trung bình của thang máy là ${v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{42}}{{24}} = 1,75(\;m/s)$.
