I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Chọn phương án đúng.
Câu 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = {x^4}$ ?
A. $ – \frac{{{x^5}}}{5}$.
B. $4{x^3}$.
C. $\frac{{{x^5}}}{5} + 1$.
D. $ – 4{x^3} – 1$.
Lời giải
Ta có $\int y dx = \int {{x^4}} dx = \frac{{{x^5}}}{5} + C$
nên hàm số $y = \frac{{{x^5}}}{5} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $y = {x^4}$
Câu 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ ?
A. $\frac{1}{{{x^3}}}$.
B. $ – \frac{1}{x}$.
C. $\frac{1}{x}$.
D. $ – \frac{1}{{{x^3}}}$.
Lời giải
Ta có $\int y dx = \int {\frac{1}{{{x^2}}}} dx = – \frac{1}{x} + C$ nên hàm số $y = – \frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$.
Chọn B
Câu 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = sinx + 2cosx + C$.
B. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = – sinx + 2cosx + C$.
C. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = sinx – 2cosx + C$.
D. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = – sinx – 2cosx + C$.
Lời giải
$\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = \smallint cosxdx – \smallint 2sinxdx$
$ = \smallint cosxdx – 2\smallint sinxdx = sinx – 2( – cosx) + C$
$ = sinx + 2cosx + C$
Chọn A
Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{{{x^3}}}{3} – 2x – \frac{1}{x} + C$.
B. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{{{x^3}}}{3} – 2x + \frac{1}{x} + C$.
C. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{1}{3}{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^3} + C$.
D. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{1}{3}{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$.
Lời giải
Ta có $\int {{{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{x^2} – 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx$
$ = \frac{{{x^3}}}{3} – 2x – \frac{1}{x} + C$
Chọn A
Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint {3^{2x}}\;dx = \frac{{{9^x}}}{{ln9}} + C$.
B. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {9^x} \cdot ln9 + C$.
C. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{ln3}}} \right)^2} + C$.
D. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {3^x} \cdot ln3 + C$.
Lời giải
Ta có $\int {{3^{2x}}} dx = \int {{9^x}} dx = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C$.
Câu 6. Giá trị của $\int_{ – 2}^1 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx$ bằng
A. 16 .
B. -16 .
C. 52 .
D. 0 .
Lời giải
Ta có
$\int_{ – 2}^1 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx$
$ = \int_{ – 2}^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx$
$ = \left. {\left( {{x^4} + {x^3} + 4{x^2}} \right)} \right|_{ – 2}^2 = 40 – 24 = 16$
Chọn A
Câu 7. Biết rằng $\int_0^2 f (x)dx = – 4$ .
Giá trị của $\int_0^2 {\left[ {3x – 2f(x)} \right]} dx$ bằng
A. -2 .
B. 12 .
C. 14 .
D. 22 .
Lời giải
Ta có
Ta có $\int\limits_0^2 {\left[ {3x – 2f(x)} \right]} dx$$ = 3\int_0^2 x dx – 2\int_0^2 f (x)dx$
$ = \left. {\frac{{3{x^2}}}{2}} \right|_0^2 – 2 \cdot ( – 4) = 14$.
Chọn C
Câu 8. Giá trị của $\int_{0}^{2}[3 x-2 f(x)] \mathrm{d} x$ bằng
A. $\frac{2}{3}$.
B. 1 .
C. $\frac{1}{3}$.
D. 2 .
Lời giải
Ta có ${x^2} – x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$.
Như vậy $\int_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx$
$ = \int_0^1 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx$
$ = \left| {\int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} dx} \right| + \left| {\int_1^2 {\left( {{x^2} – x} \right)} dx} \right|$
$ = \left. {\left. {\left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1| + |\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|_1^2$
$ = \left| {\frac{{ – 1}}{6} – 0} \right| + \left| {\frac{2}{3} – \left( {\frac{{ – 1}}{6}} \right)} \right| = 1$
Chọn B
Câu 9. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3},y = x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ bằng
A. 2 .
B. $\frac{5}{2}$.
C. $\frac{9}{4}$.
D. $\frac{1}{4}$.
Lời giải
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3},y = x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$
là $S = \int_0^2 {\left| {{x^3} – x} \right|} dx$.
Ta có ${x^3} – x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = \pm 1}
\end{array}} \right.$.
Do đó
$S = \int_0^1 {\left| {{x^3} – x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{x^3} – x} \right|} dx$
$ = \left| {\int_0^1 {\left( {{x^3} – x} \right)} dx} \right| + \left| {\int_1^2 {\left( {{x^3} – x} \right)} dx} \right|$
$ = \left. {\left| {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = – \frac{{ – 1}}{4} + \frac{9}{4} {\mkern 1mu} = \frac{5}{2}$
Chọn B
Câu 10. Tốc độ chuyển động $v\left( {\;m/s} \right)$ của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là
A. $400\;m$.
B. $350\;m$.
C. $310\;m$.
D. $200\;m$.
Hình 1
Lời giải
Dựa vào đồ thị Hình 1, ta có: $v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{10}}{8}t,}&{0 \leqslant t < 8} \\
{10,}&{8 \leqslant t < 30} \\
{ – t + 40,}&{30 \leqslant t \leqslant 40}
\end{array}} \right.$. Quãng đường ca nô đi được là:
$s = \int_0^{40} v (t)dt = \int_0^8 {\frac{{10}}{8}} t + \int_8^{30} 1 0dt + \int_{30}^{40} {( – t + 40)} dt$
$ = \left. {\frac{{10{t^2}}}{{16}}} \right|_0^8 + \left. {10t} \right|_8^{30} + \left. {\left( {\frac{{ – {t^2}}}{2} + 40} \right)} \right|_{30}^{40}$
$ = 40 + 300 – 80 + 800 – 750 = 310(\;m)$
Chọn C
Câu 11. Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {x + 1} $, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 2$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành bằng
A. $6\pi $.
B. $2\pi $.
C. $3\pi $.
D. $4\pi $.
Lời giải
Thể tích cần tìm là: $V = \pi \int_0^2 {(x + 1)} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4\pi $.
Chọn D
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị của đạo hàm $f’\left( x \right)$ là đường cong trong Hình 2. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là ${S_A} = 2$ và ${S_B} = 3$. Nếu $f\left( 0 \right) = 4$ thì giá trị của $f\left( 5 \right)$ bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 9 .
D. -1 .
Hình 2
Lời giải
Ta có ${S_A} = \int_0^2 {{f^\prime }} (x)dx = \left. {f(x)} \right|_0^2 = f(2) – f(0) = 2$
$ \Rightarrow f(2) = 2 + f(0) = 6$.
Mà ${S_B} = \int_2^5 {\left| {{f^\prime }(x)} \right|} dx = – \int_2^5 {{f^\prime }} (x)dx$
$ = – [f(5) – f(2)] = 3$
$ \Rightarrow f(5) = f(2) – 3 = 6 – 3 = 3$
Chọn A
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 13. Tìm:
а) $\smallint \left[ {4{{(2 – 3x)}^2} – 3cosx} \right]dx$;
b) $\smallint \left( {3{x^3} – \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx$;
c) $\smallint \left( {\frac{2}{{si{n^2}x}} – \frac{1}{{3co{s^2}x}}} \right)dx$;
d) $\smallint \left( {{3^{2x – 2}} + 4cosx} \right)dx$;
e) $\smallint \left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)dx$
g) $\smallint {\left( {sin\frac{x}{2} – cos\frac{x}{2}} \right)^2}\;dx$.
Lời giải
a) $\int {\left[ {4{{(2 – 3x)}^2} – 3\cos x} \right]} dx$$ = 4\int {{{(2 – 3x)}^2}} dx – 3\int {\cos } xdx$
$ = 4\int {\left( {4 – 12x + 9{x^2}} \right)} dx – 3\int {\cos } xdx$
$ = 4\left( {4x – 6{x^2} + 3{x^3}} \right) – 3\sin x + C$
$ = 16 – 24{x^2} + 12{x^3} – 3\sin x + C$
b) $\int {\left( {3{x^3} – \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)} dx = 3\int {{x^3}} dx – \frac{1}{2}\int {{x^{ – 3}}} dx$
$ = \frac{{3{x^4}}}{4} + \frac{1}{{4{x^2}}} + C$
c) $\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)} dx$$ = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx – \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx$
$ = – 2\cot x – \frac{1}{3}\tan x + C$
d) $\int {\left( {{3^{2x – 2}} + 4\cos x} \right)} dx$
$ = \frac{1}{9}\int {{9^x}} dx + 4\int {\cos } xdx$$ = \frac{1}{9} \cdot \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + 4\sin x + C$
e) $\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx = 4\int {{x^{\frac{4}{5}}}} dx + 3\int {{x^{\frac{{ – 3}}{2}}}} dx$
$ = \frac{{20}}{9}{x^{\frac{9}{5}}} – 6{x^{ – \frac{1}{2}}} + C$
g) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 – 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)} dx$
$ = \int {(1 – \sin x)} dx = \int d x – \int {\sin } xdx$$ = x + \cos x + C$
Câu 14. Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$.
Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
Lời giải
Ta có
${F^\prime }(x) = {\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}$
$ = \frac{{1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}$
$ = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
Do đó $\int f (x) = \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C$
Câu 15. Cho $f\left( x \right) = {x^2}lnx$ và $g\left( x \right) = xlnx$. Tính $f’\left( x \right)$ và $\smallint g\left( x \right)dx$.
Lời giải
Ta có ${f^\prime }(x) = {\left( {{x^2}\ln x} \right)^\prime } = 2x\ln x + x = 2g(x) + x$.
Suy ra $g(x) = \frac{{{f^\prime }(x)}}{2} – \frac{x}{2}$.
Ta có $\int g (x)dx = \int {\left( {\frac{{{f^\prime }(x)}}{2} – \frac{x}{2}} \right)} dx$
$ = \frac{1}{2}\int {{f^\prime }} (x)dx – \frac{1}{2}\int x dx$
$ = \frac{1}{2} \cdot f(x) – \frac{{{x^2}}}{4} + C = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + C$
Câu 16. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{1}\left(4 x^{3}+x\right) d x$
b) $\int_{1}^{2} \frac{x-2}{x^{2}} d x$;
c) $\int_{0}^{4} 2^{2 x} \mathrm{~d} x$
d) $\int_{1}^{2}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right) \mathrm{d} x$.
Lời giải
a) $\int_0^1 {\left( {4{x^3} + x} \right)} dx = 4\int_0^1 {{x^3}} dx + \int_0^1 x dx$
$ = \left. {\left( {{x^4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}$
b) $\int_1^2 {\frac{{x – 2}}{{{x^2}}}} dx = \int_1^2 {\frac{1}{x}} dx – 2\int_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx$
$ = \left. {\left( {\ln |x| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + 1 – 2 = \ln 2 – 1$
c) $\int_0^4 {{2^{2x}}} dx = \int_0^4 {{4^x}} dx = \left. {\left( {\frac{4}{{\ln 4}}} \right)} \right|_0^4$
$ = \frac{{256}}{{\ln 4}} – \frac{1}{{\ln 4}} = \frac{{255}}{{\ln 4}}$
d) $\int_1^2 {\left( {{e^{x – 1}} + {2^{x + 1}}} \right)} dx = \frac{1}{e}\int_1^2 {{e^x}} dx + 2\int_1^2 {{2^x}} dx$
$ = \left. {\left( {\frac{1}{e} \cdot {e^x} + 2 \cdot \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_1^2 = e + \frac{4}{{\ln 2}} – 1$
Câu 17. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin ^{2} x} d x$
b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan x) \cos x d x$.
Lời giải
a) $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = – \left. {\cot x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = – 1 + \sqrt 3 $
b) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \tan x)} \cos xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\cos x + \sin x)} dx$
$ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos } xdx + \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin } xdx = \left. {(\sin x – \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1$
Câu 18. Một vật chuyển động với tốc độ $v\left( t \right) = 3t + 4\left( {\;m/s} \right)$, với thời gian $t$ tính theo giây, $t \in \left[ {0;5} \right]$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$.
Lời giải
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ là
$s = \int_0^5 v (t)dt = \int_0^5 {(3t + 4)} dt$
$ = \left. {\left( {3\frac{{{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = 57,5(\;m)$
Câu 19. Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 1\;m/s$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 3\;m/{s^2}$. Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc?
Lời giải
Tốc độ của chất điểm tại thời điểm $t$ kể từ khi bắt đầu tăng tốc là: $v(t) = \int a (t)dt = \int 3 dt = 3t + C$.
Do $v(0) = 1$ nên $C = 1$.
Do đó $v(t) = 3t + 1$.
Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là $v(10) = 3 \cdot 10 + 1 = 31\;m/s$.
Câu 20. Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức $P’\left( t \right) = 20.{(1,106)^t}\;$với $0 \leqslant t \leqslant 7,$
trong đó $t$ là thời gian tính theo năm và $t = 0$ ứng với đầu năm 2015, $P\left( t \right)$ là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.
a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).
b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.
Lời giải
a) Dân số của thành phố vào năm thứ $t$ là $P(t) = \int {P’} (t)dt = \int 2 0 \cdot {(1,106)^t}dt$
$ = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}} + C$.
Vì $P(0) = 1008$ nên $20 \cdot \frac{1}{{\ln 1,106}} + C = 1008$$ \Rightarrow C \approx 809$.
Do đó $P(t) = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}} + 809$.
Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là $P(5) = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^5}}}{{\ln 1,106}} + 809 \approx 1137$ nghìn người.
b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là $\frac{1}{5}\int_0^5 {{P^\prime }} (t)dt = \frac{1}{5}\int_0^5 2 0 \cdot {(1,106)^t}dt$
$ = \left. {4 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}}} \right|_0^5 = 4 \cdot \left( {\frac{{{{(1,106)}^5}}}{{\ln 1,106}} – \frac{1}{{\ln 1,106}}} \right) \approx 26$ nghìn người/ năm.
Câu 21. Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao $100\;m$, một vật rơi xuống với tốc độ $v\left( t \right) = 10t\left( {\;m/s} \right)$, trong đó $t$ là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.
a) Tính quãng đường $s\left( t \right)$ vật di chuyển được sau thời gian $t$ giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).
b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.
Lời giải
a) Quãng đường $s(t)$ vật di chuyển được sau thời gian $t$ giây là $s(t) = \int v (t)dt = \int 1 0tdt = 5{t^2} + C$.
Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$.
Do đó $s(t) = 5{t^2}$.
b) Vật chạm đất khi $s(t) = 100 \Leftrightarrow 5{t^2} = 100 \Rightarrow t = 2\sqrt 5 $ (vì $t > 0$ ).
Vậy vật chạm đất sau $2\sqrt 5 \approx 4,47$ giây.
Tốc độ rơi trung bình là
$\frac{1}{{2\sqrt 5 }}\int_0^{2\sqrt 5 } 1 0tdt $
$= \left. {\frac{1}{{2\sqrt 5 }} \cdot 5{t^2}} \right|_0^{2\sqrt 5 } = 10\sqrt 5 (\;m/s)$
Câu 22. Cho ${S_1},{S_2}$ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong Hình 3. Tính $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$.
Hình 3
Lời giải
Diện tích ${S_1} + {S_2}$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 4x$ trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = 4$. Ta có
${S_1} = \int_0^3 {\left| { – {x^2} + 4x – x} \right|} dx = \int_0^3 {\left| { – {x^2} + 3x} \right|} dx$
$ = \int_0^3 {\left( { – {x^2} + 3x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{ – {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}$
${S_2} = \int_0^3 | x|dx + \int_3^4 {\left| { – {x^2} + 4x} \right|} dx$
$ = \int_0^3 x dx + \int_3^4 {\left( { – {x^2} + 4x} \right)} dx$
$ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 + \left. {\left( {\frac{{ – {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_3^4$
$ = \frac{9}{2} + \frac{{32}}{3} – 9 = \frac{{37}}{6}$
Do đó $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{37}}{6} = \frac{{27}}{{37}}$.
Câu 23. Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình 4 bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x\left( {\;cm} \right)\left( {0 \leqslant x \leqslant 16} \right)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)\left( {cm} \right)$. Tính dung tích của chậu. Sửa lại như sửa Hình 11
Hình 4
Lời giải
Chọn trục $O x$ sao cho $O$ trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy $x$ thì mặt phẳng đó cắt trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$. Mặt cắt là hình tròn có bán kính $(10 + \sqrt x )(cm)$.
Diện tích của mặt cắt là $S(x) = \pi {(10 + \sqrt x )^2}$. Dung tích của chậu là
$V = \int_0^{16} S (x)dx = \pi \int_0^{16} {{{(10 + \sqrt x )}^2}} dx$
$ = \pi \int_0^{16} {(100 + 20\sqrt x + x)} dx$
$ = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}$$ = \frac{{7744}}{3}\pi $
Câu 24. Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình 5. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x\left( {\;m} \right)\left( {0 \leqslant x \leqslant 3} \right)$ thì được hình vuông có cạnh $\sqrt {9 – {x^2}} \left( {\;m} \right)$. Tính thể tích của lều.
Hình 5
Lời giải
Chọn trục $O x$ sao cho $O$ trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Nếu cắt lều bởi một mặt phẳng cách mặt đáy $x(m)$ thì mặt phẳng đó cắt trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$. Mặt cắt là hình vuông có cạnh $\sqrt {9 – {x^2}} (m)$. Diện tích mặt cắt là $S(x) = \left( {\sqrt {9 – {x^2}} } \right) = \left( {9 – {x^2}} \right)(m)$.
Thể tích của lều là $V = \int_0^3 {\left( {9 – {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {9x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18$
Câu 25. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ nằm phía trên trục $Ox$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = – 1,x = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.
Hình 6
Lời giải
Phương trình đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ là ${x^2} + {y^2} = {2^2} = 4$.
Do nửa đường tròn nằm phía trên trục $O x$ nên ta có $y \geqslant 0$.
Suy ra phương trình nửa đường tròn là $y = \sqrt {4 – {x^2}} $.
Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {4 – {x^2}} $, trục hoành và các đường thẳng $x = – 1,x = 1$.
Do đó thể tích khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục hoành là $V = \pi \int_{ – 1}^1 {\left( {4 – {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {4x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^1$
$ = \pi \left( {\frac{{11}}{3} + \frac{{11}}{3}} \right) = \frac{{22\pi }}{3}$
