Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = x{e^x}$, suy ra nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$.
Lời giải
Ta có ${F^\prime }(x) = {\left( {x{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}(x + 1) = f(x)$.
Suy ra $\int f (x)dx = \int {(x + 1)} {e^x}dx = x{e^x} + C$.
Câu 2. Tìm:
a) $\smallint {x^5}\;dx$
b) $\smallint \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\;dx(x > 0)$
c) $\smallint {7^x}\;dx$
d) $\smallint \frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}\;dx$.
Lời giải
a) $\int {{x^5}} dx = \frac{{{x^6}}}{6} + C$
b) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} dx = \int {{x^{\frac{{ – 2}}{3}}}} dx = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C$
c) $\int {{7^x}} dx = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C$
d) $\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}} + C$
Câu 3. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{si{n^2}x}}$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.
Lời giải
Ta có $F(x) = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = – \cot x + C$.
Ta lại có $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$ nên $ – \cot \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = – \cot x + 1$
Câu 4. Tìm:
a) $\smallint \left( {2{x^5} + 3} \right)dx$
b) $\smallint \left( {5cosx – 3sinx} \right)dx$;
c) $\smallint \left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)dx$
d) $\smallint \left( {{e^{x – 2}} – \frac{2}{{si{n^2}x}}} \right)dx$.
Lời giải
a) $\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)} dx = 2\int {{x^5}} dx + 3\int d x = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C$
b) $\int {(5\cos x – 3\sin x)} dx = 5\int {\cos } xdx – 3\int {\sin } xdx$
$ = 5\sin x + 3\cos x + C$
c) $\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)} dx = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx – 2\int {\frac{1}{x}} dx$
$ = \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} – 2\ln |x| + C = \frac{1}{3}x\sqrt x – 2\ln |x| + C$
d) $\int {\left( {{e^{x – 2}} – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}} dx – 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx$
$ = \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C = {e^{x – 2}} + 2\cot x + C$
Câu 5. Tìm:
a) $\smallint x{(2x – 3)^2}\;dx$
b) $\smallint si{n^2}\frac{x}{2}\;dx$;
c) $\smallint ta{n^2}x\;dx$;
d) $\smallint {2^{3x}} \cdot {3^x}\;dx$.
Lời giải
a) $\int x {(2x – 3)^2}dx = \int x \left( {4{x^2} – 12x + 9} \right)dx$
$ = \int {\left( {4{x^3} – 12{x^2} + 9x} \right)} dx = {x^4} – 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C$
b) $\int {{{\sin }^2}} \frac{x}{2}\;dx = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}} dx$
$ = \frac{1}{2}\int d x – \frac{1}{2}\int {\cos } xdx$$ = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\sin x + C$
c) $\int {{{\tan }^2}} x\;dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)} dx$
$ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx – \int d x$$ = \tan x – x + C$
d) $\int {{2^{3x}}} \cdot {3^x}\;dx = \int {{8^x}} \cdot {3^x}dx$
$ = \int 2 {4^x}dx = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C$
Câu 6. Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao $2\;m$. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ .
a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \leqslant x \leqslant 11} \right)$.
b) Sau bao nhiêu năm cây cao $3\;m$ ?
Lời giải
a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là: $h(x) = \int {{h^\prime }} (x)dx = \int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + C(1 \leqslant x \leqslant 11)$.
mà $h(1) = 2$ nên $\ln 1 + C = 2 \Rightarrow C = 2$.
Do đó $h(x) = \ln x + 2,(1 \leqslant x \leqslant 11)$.
b) Cây cao $3 m$ tức là $\ln x + 2 = 3 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \approx 2,72$.
Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m .
Câu 7. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 10\;m/s$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 2\;m/{s^2}$. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Lời giải
Ta có $v(t) = \int a (t)dt = \int 2 dt = 2t + C$.
Mà $v(0) = 10$ nên $C = 10$.
Do đó $v(t) = 2t + 10$
Ta có $s(t) = \int {(2t + 10)} dt = {t^2} + 10t + C$.
mà $s(0) = 0 \Rightarrow C = 0$.
Do đó $s(t) = {t^2} + 10t$.
Vậy quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là $s(3) = {3^2} + 10.3 = 39(\;m)$
