Câu 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $a$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng $a$ đi qua điểm $M\left( {0; – 2; – 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = \left( {1; – 5;0} \right)$.
b) Đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A\left( {0;0;2} \right)$ và $B\left( {3; – 2;5} \right)$.
Lời giải
Câu 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $b$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng $b$ đi qua điểm $M\left( {1; – 2; – 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = \left( {5; – 3;2} \right)$.
b) Đường thẳng $b$ đi qua hai điểm $A\left( {4;7;1} \right)$ và $B\left( {6;1;5} \right)$.
Lời giải
Câu 3. Cho đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z – 2}}{7}$.
a) Tìm một vectơ chỉ phương của $d$ và một điểm trên $d$.
b) Viết phương trình tham số của $d$.
Lời giải
Câu 4. Trong trò chơi mô phỏng bắn súng $3D$ trong không gian $Oxyz$, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là $M\left( {3;3;1,5} \right),N\left( {3;4;1,5} \right)$. Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng $MN$ ).
Hình 19
Lời giải
Câu 5. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t} \\
{y = – 1 + 2t} \\
{z = – 2 + t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 2t’} \\
{y = 3 + 4t’} \\
{z = 2t’;}
\end{array}} \right.$
b) $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}$ và $d’:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{5} = \frac{{z – 1}}{1}$.
Lời giải
Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;0;1} \right)$ và song song với đường thẳng $d’:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{4}$.
Lời giải
Câu 7. Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian $Oxyz$, cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (Hình 20) lần lượt là:
$a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 2} \\
{z = 3t}
\end{array}} \right.$ và $b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 4t’} \\
{y = 2 + 2t’} \\
{z = 6.}
\end{array}} \right.$
a) Chứng minh $a,b$ vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm giao điểm của $a$ và $b$.
Hình 20
Lời giải
Câu 8. Tính góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z – 7}}{2}$ và $d’:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 7}}{3} = \frac{{z – 12}}{6}$.
Lời giải
Câu 9. Tính góc giữa đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):3y – 3z + 1 = 0$.
Lời giải
Câu 10. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):4y + 4z + 1 = 0$ và $\left( {P’} \right):7x + 7z + 2 = 0$.
Lời giải
Câu 11. Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ $Oxyz$. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0$ và $\left( {P’} \right):x + z + 7 = 0$.
a) Tính góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( {P’} \right)$.
b) Tính góc hợp bởi $\left( P \right)$ và $\left( {P’} \right)$ với mặt đất $\left( Q \right)$ có phương trình $z = 0$.
Hình 21
Lời giải
Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng $OBC \cdot O’B’C’$ có đáy là tam giác $OBC$ vuông tại $O$ và có $OB = 3a$, $OC = a,OO’ = 2a$. Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng $BO’$ và $B’C$;
b) hai mặt phẳng $\left( {O’BC} \right)$ và $\left( {OBC} \right)$;
c) đường thẳng $B’C$ và mặt phẳng $\left( {O’BC} \right)$.
Lời giải
