[Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 8 Kết nối tri thức] Trắc nghiệm Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số Toán 8 Kết nối tri thức
Bài học này tập trung vào việc củng cố kiến thức về phép cộng và phép trừ phân thức đại số cho học sinh lớp 8. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các quy tắc, kỹ thuật thực hiện phép cộng và phép trừ phân thức đại số, từ đó giải quyết được các bài tập trắc nghiệm liên quan. Bài học giúp học sinh tự tin hơn trong việc vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.
2. Kiến thức và kỹ năng Nắm vững quy tắc cộng, trừ phân thức đại số: Học sinh sẽ làm quen với các quy tắc cộng, trừ phân thức có cùng mẫu số và khác mẫu số. Phân tích đa thức thành nhân tử: Kỹ năng này đóng vai trò quan trọng trong việc rút gọn và quy đồng mẫu số các phân thức. Quy đồng mẫu thức: Học sinh sẽ học cách quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức khác nhau để thực hiện phép cộng, trừ. Thực hiện phép cộng, trừ phân thức: Học sinh sẽ thực hành các bước để thực hiện phép cộng và phép trừ phân thức. Giải quyết các bài toán trắc nghiệm: Qua bài học, học sinh sẽ được luyện tập giải các dạng bài tập trắc nghiệm liên quan đến phép cộng và phép trừ phân thức đại số. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được tổ chức theo phương pháp tích cực, kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
Giải thích rõ ràng các quy tắc:
Giáo viên sẽ trình bày chi tiết các quy tắc cộng, trừ phân thức, kèm theo các ví dụ minh họa.
Thảo luận nhóm:
Học sinh sẽ được chia nhóm để thảo luận và giải quyết các bài tập vận dụng.
Luyện tập bài tập trắc nghiệm:
Bài học sẽ tập trung vào việc giải các bài tập trắc nghiệm để học sinh làm quen với các dạng câu hỏi và rèn luyện kỹ năng làm bài.
Đánh giá và phản hồi:
Giáo viên sẽ chấm bài, phân tích lỗi sai và hướng dẫn cách khắc phục cho học sinh.
Kiến thức về phép cộng và phép trừ phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong đời sống, ví dụ:
Tính toán vật lý:
Trong một số bài toán vật lý, việc tính toán vận tốc, quãng đường, thời gian thường liên quan đến các phép tính với phân thức.
Tính toán hóa học:
Trong một số bài toán hóa học, các phép tính với phân thức đại số cũng được sử dụng để tính toán tỷ lệ mol, nồng độ dung dịch.
Mô hình toán học trong các lĩnh vực khác:
Kiến thức về phân thức đại số là nền tảng cho nhiều mô hình toán học trong các lĩnh vực khác như kinh tế, xã hội.
Bài học này là một phần quan trọng của chương trình đại số lớp 8, kết nối với các bài học trước về phân thức đại số và các phép toán đại số cơ bản. Nắm vững kiến thức trong bài học này sẽ giúp học sinh chuẩn bị cho việc học các bài học nâng cao về phương trình, bất phương trình và các ứng dụng của đại số.
6. Hướng dẫn học tập Tập trung nghe giảng và ghi chép: Lưu ý các quy tắc và ví dụ được trình bày trong bài giảng. Làm bài tập đều đặn: Thực hành giải các bài tập trắc nghiệm để củng cố kiến thức. Tìm hiểu các ví dụ minh họa: Phân tích các ví dụ cụ thể để nắm rõ cách áp dụng các quy tắc vào bài toán. Thảo luận với bạn bè: Chia sẻ và giải đáp các thắc mắc cùng nhau trong nhóm. Sử dụng tài liệu tham khảo: Tham khảo thêm các tài liệu, sách bài tập để mở rộng kiến thức. Đọc kỹ hướng dẫn giải: Phân tích cách giải của các bài tập trắc nghiệm để rút ra kinh nghiệm. 40 Keywords:Phép cộng, phép trừ, phân thức đại số, Toán 8, Kết nối tri thức, Trắc nghiệm, Bài tập, Quy tắc, Quy đồng mẫu thức, Phân tích đa thức, Nhân tử, Vận dụng, Đại số, Kỹ năng, Học tập, Học sinh, Giáo dục, Bài giảng, Thực hành, Ví dụ, Luyện tập, Củng cố, Đánh giá, Phản hồi, Bài toán, Trắc nghiệm, Phương pháp, Tích cực, Thảo luận nhóm, Ứng dụng, Vật lý, Hóa học, Mô hình toán học, Chương trình học, Kiến thức, Kỹ năng giải quyết vấn đề, Đề kiểm tra, Tài liệu tham khảo, Phương pháp học tập hiệu quả, Đề thi, Điểm số, Nâng cao.
Đề bài
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
-
A.
\(\frac{{A.C}}{B}\)
-
B.
\(\frac{{A + C}}{B}\)
-
C.
\(\frac{{A + C}}{{2B}}\)
-
D.
\(\frac{{A + C}}{{{B^2}}}\)
Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{B - D}}\)
-
B.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BC}}\)
-
C.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
-
D.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{BD}}\)
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
-
A.
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(\frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\)
-
C.
\(\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\)
-
D.
\(\frac{{x + 1}}{{1 - 2x}}\)
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
-
A.
\(x + 2\)
-
B.
\(2x\)
-
C.
\(x\)
-
D.
\(x - 2\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
-
A.
\(\frac{{ - 3{x^2} - 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{{3{x^2} - 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{{3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
-
A.
\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
-
B.
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
-
C.
\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
-
D.
\(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
-
A.
\(\frac{{ - 2}}{{x - 3}}\)
-
B.
\(\frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{2}{{x + 3}}\)
-
D.
\(\frac{2}{{x - 3}}\)
Chọn câu đúng?
-
A.
\(\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}\)
-
B.
\(\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3x + 4}}{{18}}\)
-
D.
\(\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
-
A.
\(A = \frac{{ - 6{x^2} + 2x - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
B.
\(A = \frac{{6{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
C.
\(A = \frac{{6{x^2} + 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
D.
\(A = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
-
A.
\(A = \frac{{11}}{2}\)
-
B.
\(A = \frac{{13}}{2}\)
-
C.
\(A = \frac{{15}}{2}\)
-
D.
\(A = \frac{{17}}{2}\)
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
-
A.
\(B = \frac{1}{{2020}}\)
-
B.
\(B = \frac{1}{{202000}}\)
-
C.
\(B = \frac{1}{{200200}}\)
-
D.
\(B = \frac{1}{{20200}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = \frac{1}{2}\)
-
C.
\(x = 1\)
-
D.
\(x = \frac{3}{2}\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
-
A.
\(A = 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = \frac{1}{2}\)
-
D.
\(A = \frac{{99}}{{100}}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
-
A.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
-
A.
\(A = 30;\,B = 15;\,C = - 2\)
-
B.
\(A = 39;\,B = - 15;\,C = 2\)
-
C.
\(A = 49;\,B = - 14;\,C = 2\)
-
D.
\(A = 39;\,B = - 14;\,C = - 2\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
4
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
-
A.
\(0 < A < 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = \frac{7}{4}\)
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
-
A.
\(A = - 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = 2\)
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = \pm 1\)
-
D.
\(x \in \left\{ {0;2} \right\}\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
4
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
-
A.
\(\frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{1}{{2x\left( {x + 1} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
-1
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
-
A.
16
-
B.
8
-
C.
4
-
D.
20
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
-
A.
\(A = - 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = 2\)
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \le 0\)
-
B.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 1\)
-
C.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \ge 2\)
-
D.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} > 4\)
Lời giải và đáp án
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
-
A.
\(\frac{{A.C}}{B}\)
-
B.
\(\frac{{A + C}}{B}\)
-
C.
\(\frac{{A + C}}{{2B}}\)
-
D.
\(\frac{{A + C}}{{{B^2}}}\)
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\)
Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{B - D}}\)
-
B.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BC}}\)
-
C.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
-
D.
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{BD}}\)
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Quy đồng mẫu thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\):
\(\frac{A}{B} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\frac{C}{D} = \frac{{BC}}{{BD}}\)
Do đó \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BD}} - \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
-
A.
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(\frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\)
-
C.
\(\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\)
-
D.
\(\frac{{x + 1}}{{1 - 2x}}\)
Đáp án : B
Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \( - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\).
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
-
A.
\(x + 2\)
-
B.
\(2x\)
-
C.
\(x\)
-
D.
\(x - 2\)
Đáp án : D
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{1} = x - 2\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
-
A.
\(\frac{{ - 3{x^2} - 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{{3{x^2} - 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{{3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\)
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\\ \Rightarrow A = \frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{\left( {x + 2} \right)2}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{2x + 4}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{3{x^2} - 3x + 5x - 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} - 3x + 5x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{2x + 4 - 3{x^2} - 2x + 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\end{array}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
-
A.
\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
-
B.
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
-
C.
\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
-
D.
\(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 4x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - 2{x^2} - 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - 2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Vậy phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
-
A.
\(\frac{{ - 2}}{{x - 3}}\)
-
B.
\(\frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{2}{{x + 3}}\)
-
D.
\(\frac{2}{{x - 3}}\)
Đáp án : D
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{x + 3}} + \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\\ = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{ - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{3x + 21 + 2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x - 3}}\end{array}\)
Chọn câu đúng?
-
A.
\(\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}\)
-
B.
\(\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3x + 4}}{{18}}\)
-
D.
\(\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\)
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x - y}} \ne \frac{{x - y}}{{x + y}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{3x + 2 - 2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3\left( {2x + 3} \right)}}{{18}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{18}} = \frac{{6x + 9}}{{18}} + \frac{{2x + 2}}{{18}}\\ = \frac{{6x + 9 + 2x + 2}}{{18}} = \frac{{8x + 11}}{{18}} \ne \frac{{3x + 4}}{{18}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x + 3 + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{5x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
-
A.
\(A = \frac{{ - 6{x^2} + 2x - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
B.
\(A = \frac{{6{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
C.
\(A = \frac{{6{x^2} + 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
-
D.
\(A = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}} = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \left( {\frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{7}{{x - 1}}} \right)\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{{x^2} - 5x - x + 5}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} - 5x - x + 5 + 7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{8{x^2} + x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {2{x^2} + x - 3} \right) - \left( {8{x^2} + x + 12} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3 - 8{x^2} - x - 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
-
A.
\(A = \frac{{11}}{2}\)
-
B.
\(A = \frac{{13}}{2}\)
-
C.
\(A = \frac{{15}}{2}\)
-
D.
\(A = \frac{{17}}{2}\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}} = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{5.2\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4x\left( {2x - 3} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{8{x^2} - 12x}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10 + 8{x^2} - 12x + 4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{12{x^2} + 8x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{12{x^2} - 6x + 14x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x\left( {2x - 1} \right) + 7\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {6x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x + 7}}{{4x}}\end{array}\)
Với \(x = \frac{1}{4}\) ta có: \(A = \frac{{6 \cdot \frac{1}{4} + 7}}{{4 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{{\frac{3}{2} + 7}}{1} = \frac{3}{2} + 7 = \frac{3}{2} + \frac{{14}}{2} = \frac{{17}}{2}\)
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
-
A.
\(B = \frac{1}{{2020}}\)
-
B.
\(B = \frac{1}{{202000}}\)
-
C.
\(B = \frac{1}{{200200}}\)
-
D.
\(B = \frac{1}{{20200}}\)
Đáp án : B
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x - 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 23} \right)}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x - 3 - x + 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\end{array}\)
Với \(x = 2023\), ta có: \(B = \frac{{20}}{{\left( {2023 - 23} \right)\left( {2023 - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{2000.2020}} = \frac{{20}}{{20.100.2020}} = \frac{1}{{100.2020}} = \frac{1}{{202000}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = \frac{1}{2}\)
-
C.
\(x = 1\)
-
D.
\(x = \frac{3}{2}\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x - 3} \right) + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 6 + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
\(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
-
A.
\(A = 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = \frac{1}{2}\)
-
D.
\(A = \frac{{99}}{{100}}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\ = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\ = 1 - \frac{1}{{100}} = \frac{{99}}{{100}}\end{array}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
-
A.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Đáp án : C
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2} - {z^2} + {y^2}{z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x - x{y^2} - x{z^2} + x{y^2}{z^2} + y - {x^2}y - y{z^2} + {x^2}y{z^2} + z - {x^2}z - {y^2}z + {x^2}{y^2}z}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - {x^2}y - {x^2}z} \right) + \left( {y - x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {z - x{{\rm{z}}^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} + {x^2}{y^2}z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - xy - x{\rm{z}}} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - x{\rm{z}} - yz} \right) + xyz\left( {yz + x{\rm{z}} + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x.yz + y.x{\rm{z}} + z.xy + xyz.1}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\end{array}\)
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
-
A.
\(A = 30;\,B = 15;\,C = - 2\)
-
B.
\(A = 39;\,B = - 15;\,C = 2\)
-
C.
\(A = 49;\,B = - 14;\,C = 2\)
-
D.
\(A = 39;\,B = - 14;\,C = - 2\)
Đáp án : B
Tính tổng \(\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\) sau đó đồng nhất hệ số.
\(\begin{array}{l}\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + Bx + 3B + C{x^2} + 6Cx + 9C}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{C{x^2} + \left( {B + 6C} \right)x + \left( {A + 3B + 9C} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\end{array}\)
\(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 2\\B + 6C = - 3\\A + 3B + 9C = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 39\\B = - 15\\C = 2\end{array} \right.\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
4
Đáp án : D
Từ điều kiện \(3y - x = 6\) thay \(x = 3y - 6\) vào biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Ta có: \(3y - x = 6\) suy ra \(x = 3y - 6\)
Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) ta được:
\(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}} \\= \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}} \\= 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\)
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
-
A.
\(0 < A < 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = \frac{7}{4}\)
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12\left( {x + 2} \right) + \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12x + 24 + 3 - x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right) - \left( {11x + 27} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10x + 30 - 11x - 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{ - x + 3}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
Tại \(x = - \frac{3}{4}\) ta có \(A = \frac{1}{{\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4}}} = \frac{1}{{\frac{{45}}{{16}}}} = \frac{{16}}{{45}}\)
Vậy \(0 < A < 1\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
-
A.
\(A = - 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = 2\)
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = \pm 1\)
-
D.
\(x \in \left\{ {0;2} \right\}\)
Đáp án : D
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) sau đó tìm giá trị nguyên của \(x\) mẫu thức là ước của tử thức.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\left( {{\rm{t/m}}\,x \ne 1} \right)\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
4
Đáp án : C
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne \pm 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{4x - 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} - 4x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{3}{{x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 3} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = - 3\\x - 3 = - 1\\x - 3 = 1\\x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 2\,\left( {{\rm{ko}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\\x = 4\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 6\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)
Vậy có 3 giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
-
A.
\(\frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\)
-
B.
\(\frac{1}{{2x\left( {x + 1} \right)}}\)
-
C.
\(\frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
-
D.
\(\frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{2}{x}\\ = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 2x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x - 3 + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
-1
Đáp án : A
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = {x^2} + x + 1 - x + 1 = {x^2} + 2\end{array}\)
Ta có \({x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2\forall x\) hay \(A \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy \(MinA = 0\) khi \(x = 0\).
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
-
A.
16
-
B.
8
-
C.
4
-
D.
20
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\end{array}\)
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
-
A.
\(A = - 1\)
-
B.
\(A = 0\)
-
C.
\(A = 1\)
-
D.
\(A = 2\)
Đáp án : C
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {1 + ac + c} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {c + 1 + ac} \right)}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac}}{{1 + ac + c}} + \frac{1}{{c + 1 + ac}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}} = 1\end{array}\)
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : B
Từ điều kiện \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) dễ dàng có được \(x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\).
\(\begin{array}{l}x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\\ = \left( {x + \frac{{{x^2}}}{{y + z}}} \right) + \left( {y + \frac{{{y^2}}}{{x + z}}} \right) + \left( {z + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {1 + \frac{x}{{y + z}}} \right) + y\left( {1 + \frac{y}{{x + z}}} \right) + z\left( {1 + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {\frac{{x + y + z}}{{y + z}}} \right) + y\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + z}}} \right) + z\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + y}}} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow x + y + z = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right) = 1\end{array}\)
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \le 0\)
-
B.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 1\)
-
C.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} \ge 2\)
-
D.
\(\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} > 4\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} = - 1\).
\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{a - b}}} \right)^2}\\ = {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\end{array}\)
(Vì \({\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} \ge 0\forall a,\,b,\,c\) đôi một khác nhau)
Mà \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ = \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 2\end{array}\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 8
Môn Toán học Lớp 8
Môn Tiếng Anh Lớp 8
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 8
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 8
Lời giải và bài tập Lớp 8 đang được quan tâm
