Cách tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ: Hàm bậc nhất trên bậc nhất; hàm bậc hai trên bậc nhất; hàm bậc hai trên bậc hai giúp các bạn học tập một cách hiệu quả nhất.
1. Hàm bậc nhất trên bậc nhất: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$. Ta có:
$y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = \frac{{4x + 5}}{{3x – 2}}$ b) $y = \frac{{7x – 2}}{{5 – 3x}}$
Lời giải
a) $y = \frac{{4x + 5}}{{3x – 2}}$
$ \Rightarrow y’ = \frac{{4.( – 2) – 5.3}}{{{{\left( {3x – 2} \right)}^2}}} = \frac{{ – 23}}{{{{\left( {3x – 2} \right)}^2}}}$
b) Biến đổi $y = \frac{{7x – 2}}{{5 – 3x}} = \frac{{7x – 2}}{{ – 3x + 5}}$
$ \Rightarrow y’ = \frac{{7.5 – ( – 2).( – 3)}}{{{{\left( { – 3x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{29}}{{{{\left( { – 3x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{29}}{{{{\left( {5 – 3x} \right)}^2}}}$
2. Hàm bậc hai trên bậc nhất: $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$. Ta có:
$y’ = \frac{{ad{x^2} + 2aex + be – cd}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = \frac{{3{x^2} + 5x – 6}}{{x – 1}}$ b) $y = \frac{{ – {x^2} + 4x – 5}}{{3x – 2}}$
Lời giải
a) $y = \frac{{3{x^2} + 5x – 6}}{{x – 1}}$
$y’ = \frac{{3.1{x^2} + 2.3.( – 1)x + 5.( – 1) – ( – 6).1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \frac{{3{x^2} – 6x + 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
b) $y = \frac{{ – {x^2} + 4x – 5}}{{3x – 2}}$
$y’ = \frac{{ – 1.3{x^2} + 2.( – 1).( – 2)x + 4.( – 2) – ( – 5).3}}{{{{(3x – 2)}^2}}}$
$ = \frac{{ – 3{x^2} + 4x + 7}}{{{{(3x – 2)}^2}}}$.
3. Hàm bậc hai trên bậc hai: $y = \frac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}$. Ta có:
$y’ = \frac{{\left| \begin{gathered}
{a_1}\,\,{b_1} \hfill \\
{a_2}\,\,{b_2} \hfill \\
\end{gathered} \right|{x^2} + 2\left| \begin{gathered}
{a_1}\,\,{c_1} \hfill \\
{a_2}\,\,{c_2} \hfill \\
\end{gathered} \right| + \left| \begin{gathered}
{b_1}\,\,{c_1} \hfill \\
{b_2}\,\,{c_2} \hfill \\
\end{gathered} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}}$
Chú ý: Cột định thức $\left| \begin{gathered}
a\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right| = ad – bc$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y = \frac{{2{x^2} + 3x – 1}}{{{x^2} – 2x + 4}}$ b) $y = \frac{{ – {x^2} + x + 5}}{{2{x^2} + 3x – 4}}$
Lời giải
a) $y = \frac{{2{x^2} + 3x – 1}}{{{x^2} – 2x + 4}}$
$y’ = \frac{{\left| \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
1\,\,\, – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right|{x^2} + 2\left| \begin{gathered}
2\,\,\,\, – 1 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right|x + \left| \begin{gathered}
\,\,\,3\,\,\,\, – 1 \hfill \\
– 2\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right|}}{{{{\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( {2.( – 2) – 3.1} \right){x^2} + 2.\left( {2.4 – ( – 1).1} \right)x + 3.4 – ( – 1).( – 2)}}{{{{\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – 7{x^2} + 18x + 10}}{{{{\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)}^2}}}$
b) $y = \frac{{ – {x^2} + x + 5}}{{2{x^2} + 3x – 4}}$
$y’ = \frac{{\left| \begin{gathered}
– 1\,\,\,\,1 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right|{x^2} + 2.\left| \begin{gathered}
– 1\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\, – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right|x + \left| \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
3\,\,\,\, – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right|}}{{{{\left( {2{x^2} + 3x – 4} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – 5{x^2} – 12x – 19}}{{{{\left( {2{x^2} + 3x – 4} \right)}^2}}}$
