Câu 1. Tích phân $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} $ có giá trị bằng:
A. $\frac{1}{6}$.
B. $ – \frac{1}{6}$.
C. $\frac{{19}}{{648}}$.
D. $ – \frac{{19}}{{648}}$.
Lời giải
Ta có $\int_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx = \int_2^3 {{x^{ – 2}}} dx = \left. {\frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_2^3$
$ = – \left. {\frac{1}{x}} \right|_2^3 = – \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{6}$
Chọn A
Câu 2. Tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx} $ có giá trị bằng:
A. $sin\frac{\pi }{5} – sin\frac{\pi }{7}$.
B. $sin\frac{\pi }{7} – sin\frac{\pi }{5}$.
C. $cos\frac{\pi }{5} – cos\frac{\pi }{7}$.
D. $cos\frac{\pi }{7} – cos\frac{\pi }{5}$.
Lời giải
Ta có $\int_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin } xdx = – \left. {\cos x} \right|_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} = $
$ – \left( {\cos \frac{\pi }{5} – \cos \frac{\pi }{7}} \right) = \cos \frac{\pi }{7} – \cos \frac{\pi }{5}$
Chọn D
Câu 3. Tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} $ có giá trị bằng:
A. $ – \frac{1}{{ln3}}$.
B. $\frac{1}{{ln3}}$.
C. -1
D. 1 .
Lời giải
Ta có $\int_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 {{3^x}} dx = \left. {\frac{1}{2} \cdot \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} – \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}}} \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$
Chọn B
Câu 4. Cho $\int\limits_{ – 2}^3 {f(x)dx = – 10} $ , $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { – 2;3} \right]$, $F\left( 3 \right) = – 8$. Tính $F\left( { – 2} \right)$.
Lời giải
Ta có $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[ – 2;3]$ nên ta có:
$\int_{ – 2}^3 f (x)dx = \left. {F(x)} \right|_{ – 2}^3 = F(3) – F( – 2) = – 10$
Mà $F(3) = – 8$ nên $ – 8 – F( – 2) = – 10$.
Suy ra $F( – 2) = 2$
Câu 5. Cho $\int_0^4 f (x)dx = 4,\int_3^4 f (x)dx = 6$. Tính $\int_0^3 f (x)dx$.
Lời giải
Ta có $\int_0^4 f (x)dx = \int_0^3 f (x)dx + \int_3^4 f (x)dx$.
Suy ra $\int_0^3 f (x)dx = \int_0^4 f (x)dx – \int_3^4 f (x)dx = 4 – 6 = – 2$
Câu 6. Tính:
a) $\int_0^1 {\left( {{x^6} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)} dx$
b) $\int_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}} \;dx$;
c) $\int_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}} \;dx$;
d) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)} dx$;
e) $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} x\;dx$;
g) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} x\;dx$;
h) $\int_{ – 1}^0 {{e^{ – x}}} \;dx$;
i) $\int_{ – 2}^{ – 1} {{e^{x + 2}}} \;dx$
k) $\int_0^1 {\left( {{{3.4}^x} – 5{e^{ – x}}} \right)} dx$
Lời giải
a) $\int_0^1 {\left( {{x^6} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^7}}}{7} – {x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1$
$ = \left( {\frac{1}{7} – 1 + 1} \right) – 0 = \frac{1}{7}$.
b) $\int_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}} dx = \int_1^2 {{x^{ – 4}}} dx = \left. {\frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}}} \right|_1^2$
$ = – \left. {\frac{1}{{3{x^3}}}} \right|_1^2 = – \frac{1}{{3 \cdot {2^3}}} – \left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{7}{{24}}$.
c) $\int_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}} dx = \int_1^4 {{x^{ – \frac{3}{2}}}} dx = – \left. {2{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right|_1^4$
$ = – \left. {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right|_1^4 = – \frac{2}{{\sqrt 4 }} – \left( { – \frac{2}{{\sqrt 1 }}} \right) = 1$.
d) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)} dx$$ = 4\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx + 3\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx$
$ = – \left. {4\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {3\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$ = – 4\left( {\cos \frac{\pi }{2} – \cos 0} \right) + 3\left( {\sin \frac{\pi }{2} – \sin 0} \right) = 4 + 3 = 7$
e) $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} xdx = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) – 1} \right]} dx$
$ = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)} dx = ( – \cot x – x)_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$
$ = \left( { – \cot \frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{2}} \right) – \left( { – \cot \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{4}} \right) = 1 – \frac{\pi }{4}.$
g) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – 1} \right]} dx$
$ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)} dx$$ = \left. {(\tan x – x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$
$ = \left( {\tan \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{4}} \right) – \tan 0 = 1 – \frac{\pi }{4}$
h) $\int_{ – 1}^0 {{e^{ – x}}} dx = \int_{ – 1}^0 {{{\left( {{e^{ – 1}}} \right)}^x}} dx = \int_{ – 1}^0 {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} dx$
$ = \left. {\frac{1}{{\ln \frac{1}{e}}}{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} \right|_{ – 1}^0 = – \left. {{e^{ – x}}} \right|_{ – 1}^0$$ = – \left( {{e^0} – {e^{ – ( – 1)}}} \right) = e – 1$
i) $\int_{ – 2}^{ – 1} {{e^{x + 2}}} dx = \int_{ – 2}^{ – 1} {\left( {{e^2} \cdot {e^x}} \right)} dx$$ = {e^2}\int_{ – 2}^{ – 1} {{e^x}} dx = \left. {{e^2} \cdot {e^x}} \right|_{ – 2}^{ – 1}$
$ = {e^2}\left( {{e^{ – 1}} – {e^{ – 2}}} \right) = e – 1$
k) $\int_0^1 {\left( {3 \cdot {4^x} – 5{e^{ – x}}} \right)} dx = 3\int_0^1 {{4^x}} dx – 5\int_0^1 {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} dx$
$ = \left. {3 \cdot \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}}} \right|_0^1 – \left. {5 \cdot \left( { – {e^{ – x}}} \right)} \right|_0^1$
$ = \frac{3}{{\ln 4}}\left( {{4^1} – {4^0}} \right) + 5\left( {{e^{ – 1}} – {e^0}} \right) = \frac{9}{{\ln 4}} + \frac{5}{e} – 5$
Câu 7. a) Cho một vật chuyển động với vận tốc $y = v\left( t \right)\left( {m/s} \right)$. Cho $0 < a < b$ và $v\left( t \right) > 0$ với mọi $t \in \left[ {a;b} \right]$. Hãy giải thích vì sao biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ $a$ đến $b(a,b$ tính theo giây).
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc $v\left( t \right) = 2 – sint\left( {\;m/s} \right)$. Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0\left( {\;s} \right)$ đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}\left( {\;s} \right)$.
Lời giải
a) Gọi $s(t)$ là quãng đường đi được của chuyển động.
Ta có vận tốc là đạo của quãng đường: $s”(t) = v(t)$.
Do đó hàm $s(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$.
Khi đó ta có $\int_a^b v (t)dt = \left. {s(t)} \right|_a^b = s(b) – s(a)$.
Vậy $\int_a^b v (t)dt$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến $b$.
b) Quãng đường vật đó di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (giây) đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}$
(giây) là: $s = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {(2 – \sin t)} dt = \left. {(2t + \cos t)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}}$
$ = \left( {2 \cdot \frac{{3\pi }}{4} + \cos \frac{{3\pi }}{4}} \right) – \cos 0$$ = \frac{{3\pi }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – 1 \approx 3(\;m)$
Câu 8. Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.
a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.
Hình 9
Lời giải
Gọi phương trình đường thắng OA là $v(t) = $ at $(a \ne 0)$.
Vì OA đi qua điểm $A(1;2)$ nên với $t = 1$ thì $v = 2$, ta có $2 = a \cdot 1$, suy ra $a = 2$.
Do đó, $OA:v(t) = 2t$.
a) Trong 1 giây đầu tiên, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $v(t) = 2t(\;m/s)$.
Quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên là:
${s_1} = \int_0^1 2 tdt = \left. {{t^2}} \right|_0^1 = {1^2} – {0^2} = 1(\;m)$
b) Trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 1$ (giây) đến thời điểm $t = 2$ (giây), vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số hằng $v(t) = 2$.
Quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 1$ (giây) đến thời điểm $t = 2$ (giây) là: ${s_2} = \int_1^2 2 dt = \left. {2t} \right|_1^2 = 2(2 – 1) = 2(\;m)$
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên là $s = 1 + 2 = 3(\;m)$.
Câu 9. Ở nhiệt độ ${37^ \circ }C$, một phản ứng hoá học từ chất đầu $A$, chuyển hoá thành chất sản phẩm $B$ theo phương trình: $A \to B$. Giả sử $y\left( x \right)$ là nồng độ chất $A$ (đơn vị $mol{L^{ – 1}}$ ) tại thời gian $x$ (giây), $y\left( x \right) > 0$ với $x \geqslant 0$, thoả mãn hệ thức: $y’\left( x \right) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}y\left( x \right)$ với $x \geqslant 0$. Biết rằng tại $x = 0$, nồng độ (đầu) của $A$ là $0,05\;mol\;{L^{ – 1}}$.
a) Xét hàm số $f\left( x \right) = lny\left( x \right)$ với $x \geqslant 0$. Hãy tính $f’\left( x \right)$, từ đó hãy tìm hàm số $f\left( x \right)$.
b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất $A$ (đơn vị mol L ${\;^{ – 1}}$ ) từ thời điểm $a$ (giây) đến thời điểm $b$ (giây) với $0 < a < b$ theo công thức . Xác định nồng độ trung bình của chất $A$ từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.
Lời giải
a) Ta có $f(x) = \ln y(x)$. Lấy đạo hàm hai vế ta được: ${f^\prime }(x) = \frac{{{y^\prime }(x)}}{{y(x)}}$.
Mà $y'(x) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}y(x)$, suy ra $ = – 7 \cdot {10^{ – 4}}$.
Do đó, ${f^\prime }(x) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}$.
Hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f^\prime }(x)$.
Ta có $\int {{f^\prime }} (x)dx = \int {\left( { – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}} \right)} dx = – 7 \cdot {10^{ – 4}}x + C$.
Suy ra $f(x) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}x + C$.
Mà $f(x) = \ln y(x)$ nên $\ln y(x) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}x + C$.
Suy ra $y(x) = {e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}x + C}}$.
Do tại $x = 0$, nồng độ ban đầu của chất $A$ là $0,05mol{L^{ – 1}}$, tức là $y(0) = 0,05$ nên ${e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05$.
Vậy $f(x) = – 7 \cdot {10^{ – 4}}x + \ln 0,05$.
b) Từ câu a, ta có $y(x) = {e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}x + \ln 0,05}}$.
Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:
$\frac{1}{{30 – 15}}\int_{15}^{30} y (x)dx$$ = \frac{1}{{15}}\int_{15}^{30} {{e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}x + \ln 0,05}}} dx$
$ = \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}}}} \right)}^x}} dx = \left. {\frac{1}{{300}} \cdot \frac{{{{\left( {{e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}}}}}}} \right|_{15}^{30}$
$ = \frac{{ – 100}}{{21}}\left( {{e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}} \cdot 30}} – {e^{ – 7 \cdot {{10}^{ – 4}} \cdot 15}}} \right) \approx 0,049\left( {mol{L^{ – 1}}} \right)$
