Câu 1. Tâm của mặt cầu $\left( S \right):{(x – 2)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 4)^2} = 16$ có tọa độ là:
A. $\left( { – 2; – 3;4} \right)$.
B. $\left( {2;3; – 4} \right)$.
C. $\left( {2; – 3; – 4} \right)$.
D. $\left( {2; – 3;4} \right)$.
Lời giải
Câu 2. Bán kính của mặt cầu $\left( S \right):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 9$ bằng:
A. 3
B. 9 .
C. 81 .
D. $\sqrt 3 $.
Lời giải
Câu 3. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( { – 5; – 2;3} \right)$ bán kính 4 có phương trình là:
A. ${(x – 5)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 3)^2} = 4$.
B. ${(x – 5)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 3)^2} = 16$.
C. ${(x + 5)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 3)^2} = 4$.
D. ${(x + 5)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 3)^2} = 16$.
Lời giải
Câu 4. Cho mặt cầu có phương trình ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 7)^2} = 100$.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b) Mỗi điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( {9;4;7} \right),C\left( {9;9;10} \right)$ nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Lời giải
Câu 5. Cho phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y – 10z + 2 = 0$.
Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải
Câu 6. Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3; – 7;1} \right)$ và bán kính $R = 2$;
b) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 1;4; – 5} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {3;1;2} \right)$;
c) $\left( S \right)$ có đường kính là đoạn thẳng $CD$ với $C\left( {1; – 3; – 1} \right)$ và $D\left( { – 3;1;2} \right)$.
Lời giải
Câu 7. Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42).
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định
Ảnh: Vệ tinh GPS đang bay trên quỹ đạo quanh Trái Đất.
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)
Hình 42
được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm $M$ là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn vệ tinh $A\left( {3; – 1;6} \right),B\left( {1;4;8} \right)$, $C\left( {7;9;6} \right),D\left( {7; – 15;18} \right)$. Tìm toạ độ của điểm $M$ trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm $M$ lần lượt là $MA = 6,MB = 7,MC = 12,MD = 24$.
Lời giải
