Câu 1. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f’\left( x \right) = sinx – 2023,\forall x \in \mathbb{R}$ thì giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ bằng:
A. $f\left( 0 \right)$.
B. $f\left( 1 \right)$.
C. $f\left( {1,5} \right)$.
D. $f\left( 2 \right)$.
Lời giải
Phương pháp:
Nếu $f'(x) > 0,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ thì $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(a) \hfill \\
\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(b) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Nếu $f'(x) > 0,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ thì $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(b) \hfill \\
\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(a) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Ta có: $f’\left( x \right) = {\text{sin}}x – 2023 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f(x) = f(2)$; $\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ {1;2} \right]} f(x) = f(1)$
Vậy ta chọn B.
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = \frac{4}{{1 + {x^2}}}$;
b) $f\left( x \right) = x – \frac{3}{x}$ trên nửa khoảng $\left( {0;3} \right]$.
Lời giải
a) $f\left( x \right) = \frac{4}{{1 + {x^2}}}$;
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$y’ = – \frac{{4.(1 + {x^2})’}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}} = – \frac{{8x}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – \frac{{8x}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Bảng biến thiên
Vậy
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ không tồn tại.
+ $\mathop {max}\limits_\mathbb{R} f(x) = f(0) = 4$.
b) $f\left( x \right) = x – \frac{3}{x}$ trên nửa khoảng $\left( {0;3} \right]$.
$f’\left( x \right) = 1 + \frac{3}{{{x^2}}} > 0,\,\forall x \in \left( {0;3} \right]$
Bảng biến thiên trên $\left( {0;3} \right]$
Vậy
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left( {0;3} \right]$ không tồn tại.
+ $\mathop {max}\limits_{\left( {0;3} \right]} f(x) = f(3) = 2$.
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;
b) $f\left( x \right) = {x^3} – 12x + 1$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
a) $f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}$;
$y’ = 1 – \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{{x^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 4}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 2\,(loai) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f(x) = f(2) = 4$
b) $f\left( x \right) = {x^3} – 12x + 1$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
$y’ = 3{x^2} – 12$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 2\,(loai) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f(x) = f(2) = – 15$
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$;
b) $f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$;
c) $f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$;
d) $f\left( x \right) = cos2x + 2x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]$.
Lời giải
a) $f\left( x \right) = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$;
$f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3x$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,\,(nhận) \hfill \\
x = 0\,\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$f( – 1) = – \frac{5}{2}$; $f(2) = 2$; $f(1) = – \frac{1}{2}$; $f(0) = 0$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f(x) = f( – 1) = – \frac{5}{2}$; $\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f(x) = f(2) = 2$
b) $f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$;
$f’\left( x \right) = 4{x^3} – 6{x^2} + 2x$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 6{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,\,(nhận) \hfill \\
x = \frac{1}{2}\,\,\,(nhận) \hfill \\
x = 0\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$f( – 1) = 5$; $f(1) = 1$; $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}}$; $f(0) = 1$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f(x) = f(0) = f(1) = 1$; $\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f(x) = f( – 1) = 5$
c) $f\left( x \right) = {{\text{e}}^x}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$;
$f’\left( x \right) = {\left( {{e^x}} \right)^\prime }.\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) + {e^x}.{\left( {{x^2} – 5x + 7} \right)^\prime }$
$ = {e^x}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) + {e^x}.\left( {2x – 5} \right)$
$ = {e^x}\left[ {\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) + \left( {2x – 5} \right)} \right] = {e^x}\left[ {{x^2} – 3x + 2} \right]$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left[ {{x^2} – 3x + 2} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2\,(nhận) \hfill \\
x = 1\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$f(0) = 7$; $f(3) = {e^3}$; $f\left( 2 \right) = {e^2}$; $f(1) = 3e$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = f(0) = 7$; $\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = f(3) = {e^3}$
d) $f\left( x \right) = {\text{cos}}2x + 2x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]$.
$f'(x) = – 2\sin 2x + 2$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow – 2\sin 2x + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $
Do $x \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]\,$ nên $x = \frac{\pi }{4}$
$f\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = – \pi $; $f\left( \pi \right) = 2\pi + 2$; $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$
Vậy, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]} f(x) = f\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = – \pi $; $\mathop {\operatorname{m} ax}\limits_{\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]} f(x) = f\left( \pi \right) = 2\pi + 2\,$
Câu 5. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình
$s\left( t \right) = – {t^3} + 6{t^2} + t + 5,$
trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có yận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Lời giải
$s\left( t \right) = – {t^3} + 6{t^2} + t + 5,$
Vận tốc tức thời $v\left( t \right) = s'(t) = – 3{t^2} + 12t + 1$
Xét $v\left( t \right) = s'(t) = – 3{t^2} + 12t + 1$ trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$
Ta có: $v’\left( t \right) = – 6t + 12$
$v’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (nhận)
$v(0) = 1$; $v(5) = – 14$; $v(2) = 13$
Vậy, chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng $13m/s$ trong 5 giây đầu tiên.
Câu 6. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích $V$ (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức
$V\left( t \right) = 300\left( {{t^2} – {t^3}} \right) + 4$ với $0 \leqslant t \leqslant 0,5$
(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi $V’\left( t \right)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0 \leqslant t \leqslant 0,5$. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
Lời giải
Câu 7. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức
$V = k\left( {R – r} \right){r^2}\;$ với $0 \leqslant r < R,$
trong đó $k$ là hằng số, $R$ là bán kính bình thường của khí quản, $r$ là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?
Lời giải
