Câu 1. Hàm số $F\left( x \right) = {x^3} + 5$ là nguyên hàm của hàm số:
A. $f\left( x \right) = 3{x^2}$.
B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x + C$.
C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x$.
D. $f\left( x \right) = 3{x^2} + 5x$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $F\left( x \right) = {\left( {{x^3} + 5} \right)^\prime } = 3{x^2}$ nên $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$.
Câu 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = 3{x^2} + x$;
b) $f\left( x \right) = 9{x^2} – 2x + 7$;
c) $f\left( x \right) = \left( {4x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)$.
Lời giải
a) $\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {3{x^2} + x} \right)dx$
$ = \smallint 3{x^2}dx + \smallint xdx = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.
b) $\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {9{x^2} – 2x + 7} \right)dx$
$ = \smallint 9{x^2}dx – \smallint 2xdx + \smallint 7dx$$ = 3{x^3} – {x^2} + 7x + C$
c) Ta có $f\left( x \right) = \left( {4x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)$$ = 4{x^3} – 3{x^2} + 12x – 9$.
$\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {4{x^3} – 3{x^2} + 12x – 9} \right)dx$
$ = \smallint 4{x^3}dx – \smallint 3{x^2}dx + \smallint 12xdx – \smallint 9dx$
$ = {x^4} – {x^3} + 6{x^2} – 9x + C$
Câu 3. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 6{x^5} + 2x – 3$, biết $F\left( { – 1} \right) = – 5$.
Lời giải
Ta có $\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {6{x^5} + 2x – 3} \right)dx$
$ = \smallint 6{x^5}dx + \smallint 2xdx – \smallint 3dx$$ = {x^6} + {x^2} – 3x + C$.
Theo giả thuyết $F\left( { – 1} \right) = – 5$ nên ${( – 1)^6} + {( – 1)^2} – 3 \cdot \left( { – 1} \right) + C = – 5$,
$ \Leftrightarrow C = – 10$.
Vậy $F\left( x \right) = {x^6} + {x^2} – 3x – 10$.
Câu 4. Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức $h’\left( t \right) = 1,5t + 5$, trong đó $h\left( t \right)\left( {cm} \right)$ là chiều cao của cây khi kết thúc $t$ (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Cây con khi được trồng cao $12\;cm$.
a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau $t$ năm.
b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
Lời giải
a) Công thức chiều cao $h\left( t \right)$ của cây sau $t$ năm là một nguyên hàm của hàm số $h’\left( t \right)$.
Ta có $\smallint h’\left( t \right)dt = \smallint \left( {1,5t + 5} \right)dt$$ = \smallint 1,5tdt + \smallint 5dt$.$ = 0,75{t^2} + 5t + C$
Suy ra $h\left( t \right) = 0,75{t^2} + 5t + C$.
Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên $h\left( 0 \right) = 12$.
Do đó $0,75 \cdot {0^2} + 5 \cdot 0 + C = 12$, suy ra $C = 12$.
Vậy công thức tính chiều cao của cây sau $t$ năm là $h\left( t \right) = 0,75{t^2} + 5t + 12$.
b) Khi cây được bán, tức là $t = 6$, ta có $h\left( 6 \right) = 0,75 \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69$.
Vậy khi được bán, cây cao 69 cm .
Câu 5. Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số $B’\left( t \right) = 20{t^3} – 300{t^2} + 1000t,$
trong đó $t$ tính bằng giờ $\left( {0 \leqslant t \leqslant 15} \right),B’\left( t \right)$ tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số $B\left( t \right)$ biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với $0 \leqslant t \leqslant 15$.
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Lời giải
a) Hàm số $B\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $B’\left( t \right)$.
Ta có $\smallint B’\left( t \right)dt = \smallint \left( {20{t^3} – 300{t^2} + 1000t} \right)dt$
$ = \smallint 20{t^3}dt – \smallint 300{t^2}dt + \smallint 1000tdt$
Suy ra $B\left( t \right) = 5{t^4} – 100{t^3} + 500{t^2} + C$.
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên $B\left( 1 \right) = 500$.
Do đó, $5 \cdot {1^4} – 100 \cdot {1^3} + 500 \cdot {1^2} + C = 500$, suy ra $C = 95$.
Vậy công thức của hàm số $B\left( t \right)$ biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là
$B\left( t \right) = 5{t^4} – 100{t^3} + 500{t^2} + 95\left( {0 \leqslant t \leqslant 15} \right)$.
b) Ta có $B\left( 3 \right) = 5 \cdot {3^4} – 100 \cdot {3^3} + 500 \cdot {3^2} + 95 = 2300$.
Vậy sau 3 giờ có 2300 khách tham dự lễ hội.
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số $B\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;15} \right]$
Ta có $B’\left( t \right) = 20{t^3} – 300{t^2} + 1000t$.
Trên khoảng $\left( {0;15} \right)$, $B’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 5 \hfill \\
t = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$B\left( 0 \right) = 95$;$B\left( 5 \right) = 3220;$$B\left( {10} \right) = 95$; $B\left( {15} \right) = 28220$.
Do đó, tại $t = 15$.
Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số $B\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;15} \right]$
Ta có $B”\left( t \right) = {\left( {20{t^3} – 300{t^2} + 1000t} \right)’} = 60{t^2} – 600t + 1000$.
Trên khoảng $\left( {0;15} \right)$, $B”\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = \frac{{15 – 5\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
t = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
$B\left( 0 \right) = 0$; $B\left( {\frac{{15 – 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx 962,25$; $B\left( {\frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx – 962,25$; $B\left( {15} \right) = 15000$.
Do đó, $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;15} \right]} B’\left( t \right) = 15000$ tại $t = 15$.
Câu 6. Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi $m\left( t \right)$ là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công dự án). Gọi $M\left( t \right)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng $M’\left( t \right) = m\left( t \right)$.
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
$m\left( t \right) = 800 – 2t,$
trong đó $t$ tính theo ngày $\left( {0 \leqslant t \leqslant 400} \right),m\left( t \right)$ tính theo người (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Lời giải
Hàm số $M\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $m\left( t \right)$.
Ta có $\smallint m\left( t \right)dt = \smallint \left( {800 – 2t} \right)dt$$ = \smallint 800dt – \smallint 2tdt$
$ = 800t – {t^2} + C$.
Suy ra $M\left( t \right) = 800t – {t^2} + C$.
Tại $t = 0$ thì $M\left( t \right) = M\left( 0 \right) = 0$.
Do đó $800 \cdot 0 – {0^2} + C = 0$, suy ra $C = 0$.
Khi đó, $M\left( t \right) = 800t – {t^2}\left( {0 \leqslant t \leqslant 400} \right)$.
Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là $M\left( {400} \right) = 800 \cdot 400 – {400^2} = 160000$ (ngày công).
Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành dự án) là
$160000 \cdot 400000 = 6,4 \cdot {10^{10}}$ ( tồng) $ = 64$ (tỷ đồng).
