Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. $ – {x^2} + 2y + 3z + 4 = 0$.
B. $2x – {y^2} + z + 5 = 0$.
C. $x + y – {z^2} + 6 = 0$.
D. $3x – 4y – 5z + 1 = 0$.
Lời giải
Câu 2. Mặt phẳng $x + 2y – 3z + 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
A. ${\vec n_1} = \left( {2; – 3;4} \right)$.
B. ${\vec n_2} = \left( {1;2;3} \right)$.
C. ${\vec n_3} = \left( {1;2; – 3} \right)$.
D. ${\vec n_4} = \left( {1;2;4} \right)$.
Lời giải
Câu 3. Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {3; – 4;5} \right)$ và nhận $\vec n = \left( {2;7; – 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải
Câu 4. Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $K\left( { – 1;2;3} \right)$ và nhận hai vectơ $\vec u = \left( {1;2;3} \right),\vec v = \left( {4;5;6} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Lời giải
Câu 5. Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua:
a) Điểm $I\left( {3; – 4;1} \right)$ và vuông góc với trục $Ox$;
b) Điểm $K\left( { – 2;4; – 1} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( {Ozx} \right)$;
c) Điểm $K\left( { – 2;4; – 1} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( Q \right):3x + 7y + 10z + 1 = 0$.
Lời giải
Câu 6. Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {2;2;0} \right)$.
Lời giải
Câu 7. Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng $\left( P \right)$, biết $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {5;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0;6} \right)$.
Lời giải
Câu 8. Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):4x – y – z + 1 = 0,\left( {{P_2}} \right):8x – 2y – 2z + 1 = 0$.
a) Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.
Lời giải
Câu 9.
a) Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):x + 2y + 3z + 4 = 0,\left( {{P_2}} \right):x + y – z + 5 = 0$. Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)$.
b) Cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y – 2z + 1 = 0$ và điểm $M\left( {1;1; – 6} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$.
Lời giải
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.OBCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $O\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;3;0} \right),S\left( {0;0;4} \right)$ (Hình 19).
a) Tìm tọa độ điểm $C$.
b) Viết phương trình mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.
Hình 19
Lời giải
Câu 11. Hình 20 minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết $A\left( {50;0;0} \right),D\left( {0;20;0} \right),B\left( {4k;3k;2k} \right)$ với $k > 0$ và mặt phẳng $\left( {CBEF} \right)$ có phương trình là $z = 3$.
a) Tìm toạ độ của điểm $B$.
b) Lập phương trình mặt phẳng $\left( {AOBC} \right)$.
c) Lập phương trình mặt phẳng $\left( {DOBE} \right)$.
d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $\left( {AOBC} \right)$ và (DOBE).
Hình 20
Lời giải
Câu 12. Hình 21 minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm $A\left( {2;1;3} \right),B\left( {4;3;3} \right),C\left( {6;3;2,5} \right)$, $D\left( {4;0;2,8} \right)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
b) Bốn điểm $A,B,C,D$ có đồng phẳng không?
Hình 21 (Nguồn: https://www.shutterstock.com)
Lời giải
