Câu 1. Mặt phẳng $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
A. ${\vec n_1} = \left( {3;4;5} \right)$.
B. ${\vec n_2} = \left( {3; – 4;5} \right)$.
C. ${\vec n_3} = \left( { – 3;4;5} \right)$.
D. ${\vec n_4} = \left( {3;4; – 5} \right)$.
Lời giải
Câu 2. Đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 3}}{6} = \frac{{z – 1}}{9}$ có một vectơ chỉ phương là:
A. ${\vec u_1} = \left( {2;3;1} \right)$.
B. ${\vec u_2} = \left( {6;3;9} \right)$.
C. ${\vec u_3} = \left( {3;9;6} \right)$.
D. ${\vec u_4} = \left( {1;2;3} \right)$.
Lời giải
Câu 3. a) Mặt cầu $\left( S \right):{(x – 11)^2} + {(y – 12)^2} + {(z – 13)^2} = 100$ có bán kính là:
A. 10 .
B. 11 .
C. 12 .
D. 13.
Lời giải
b) Toạ độ tâm của mặt cầu $\left( S \right):{(x – 5)^2} + {(y + 6)^2} + {(z – 7)^2} = 8$ là:
A. $\left( {5;6;7} \right)$.
B. $\left( {5;6; – 7} \right)$.
C. $\left( {5; – 6;7} \right)$.
D. $\left( { – 5;6;7} \right)$.
Lời giải
Câu 4. Khoảng cách từ điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ đến mặt phẳng $x – a – b – c = 0$ là:
A. $\left| {a + b} \right|$.
B. $\left| {b + c} \right|$.
C. $\left| {c + a} \right|$.
D. $\frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.
Lời giải
Câu 5. Cho bốn điểm $A\left( {0;1;3} \right),B\left( { – 1;0;5} \right),C\left( {2;0;2} \right)$ và $D\left( {1;1; – 2} \right)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của các đường thẳng $AB$ và $AC$.
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
d) Chứng minh rằng bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Lời giải
Câu 6. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { – 3;1;4} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2; – 4;1} \right)$;
b) $\left( P \right)$ đi qua điểm $N\left( {2; – 1;5} \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = \left( {1; – 3; – 2} \right)$ và ${\vec u_2} = \left( { – 3;4;1} \right)$;
c) $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {4;0; – 7} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y – z – 3 = 0$;
d) $\left( P \right)$ đi qua điểm $K\left( { – 4;9;2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 6}}{5}$.
Lời giải
Câu 7. Viết phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {4; – 2;1} \right)$ và bán kính $R = 9$;
b) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;0} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {2;4; – 1} \right)$;
c) $\left( S \right)$ có đường kính là đoạn thẳng $AB$ với $A\left( {1;2;0} \right)$ và $B\left( { – 1;0;4} \right)$.
Lời giải
Câu 8. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z – 5}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y – 5}}{{ – 2}} = \frac{{z + 17}}{7}$;
b) ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 4}}{{ – 7}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ – 6}} = \frac{{y + 19}}{{ – 9}} = \frac{{z – 45}}{{21}}$;
c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y – 5}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y – 9}}{{ – 2}} = \frac{{z + 13}}{7}$.
Lời giải
Câu 9. Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, biết ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + {t_1}} \\
{y = 2 – \sqrt 2 {t_1}} \\
{z = 3 + {t_1}}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3 + {t_2}} \\
{y = 1 + {t_2}} \\
{z = 5 – \sqrt 2 {t_2}}
\end{array}} \right.$ $\left( {{t_1},{t_2}} \right.$ là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Lời giải
Câu 10.Tính góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = 4 – 3t} \\
{z = – 1 + 4t}
\end{array}} \right.$ (t là tham số) và $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$.
Lời giải
Câu 11. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết $\left( {{P_1}} \right):2x + 2y – z – 1 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):x – 2y – 2z + 3 = 0$.
Lời giải
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình lập phương $OBCD.O’B’C’D’$ có $O\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;a;0} \right),O’\left( {0;0;a} \right)$ với $a > 0$.
a) Chứng minh rằng đường chéo $O’C$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {OB’D’} \right)$.
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo $O’C$ và mặt phẳng $\left( {OB’D’} \right)$ là trọng tâm của tam giác $OB’D’$.
c) Tính khoảng cách từ điểm $B’$ đến mặt phẳng $\left( {C’BD} \right)$.
d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {CO’D} \right)$ và $\left( {C’BD} \right)$.
Lời giải
Câu 13. Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng $H$ cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ là chân tháp điều khiển của sân bay; trục $Ox$ là hướng đông, trục $Oy$ là hướng bắc và trục $Oz$ là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.
Trực thăng cất cánh từ điểm $G$. Vectơ $\vec r$ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh $\left( {t \geqslant 0} \right)$ có toạ độ là: $\vec r = \left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \right)$.
a) Tìm góc $\theta $ mà đường bay tạo với phương ngang.
b) Lập phương trình đường thẳng $GF$, trong đó $F$ là hình chiếu của điểm $H$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.
Hình 43
c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao $2\;km$. Tìm toạ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.
d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm $M\left( {5;4,5;3} \right)$. Tìm giá trị của $t$ khi $HM$ vuông góc với đường bay $GH$. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.
Lời giải
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\;km$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\;km$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A\left( { – 688; – 185;8} \right)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {91;75;0} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).
a) Xác định tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.
b) Xác định tọa độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.
c) Xác định tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa.
Hình 44
Lời giải
