Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là ${Q_1},{Q_2}$, ${Q_3}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:
A. $2{Q_2}$.
B. ${Q_1} – {Q_3}$.
C. ${Q_3} – {Q_1}$.
D. ${Q_3} + {Q_1} – {Q_2}$.
Lời giải
Theo định nghĩa khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$
Chọn C
Câu 2. Bảng 22, Bảng 23 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (đơn vị: độ C).
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
| [16,8;19,8) | 18,3 | 2 |
| [19,8;22,8) | 21,3 | 3 |
| [22,8;25,8) | 24,3 | 2 |
| [25,8;28,8) | 27,3 | 1 |
| [28,8;31,8) | 30,3 | 4 |
| n = 12 |
Bảng 22
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
| [16,8;19,8) | 18,3 | 1 |
| [19,8;22,8) | 21,3 | 2 |
| [22,8;25,8) | 24,3 | 3 |
| [25,8;28,8) | 27,3 | 2 |
| [28,8;31,8) | 30,3 | 4 |
| n = 12 |
Bảng 23
(Nguồn: Niên giám Thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022)
a) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Hà Nội và Huế.
b) Trong hai thành phố Hà Nội và Huế, thành phố nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Lời giải
Tại Hà Nội
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 22 là:
$R = {a_6} – {a_1} = 31,8 – 16,8 = 15$ (độ C)
Từ Bảng 22 ta có bảng thống kê sau:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
| [16,8; 19,8) | 2 | 2 |
| [19,8; 22,8) | 3 | 5 |
| [22,8; 25,8) | 2 | 7 |
| [25,8; 28,8) | 1 | 8 |
| [28,8; 31,8) | 4 | 12 |
| n = 12 |
* Tính ${Q_1}$.
Số phần tử của mẫu là $n = 12$.
Ta có $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $2 < 3 < 5$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3.
Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {19,8;22,8} \right.$ ) có $s = 19,8;h = 3;{n_2} = 3$ và nhóm 1 là nhóm $[16,8;19,8)$ có $c{f_1} = 2$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
${Q_1} = 19,8 + \left( {\frac{{3 – 2}}{3}} \right) \cdot 3 = 20,8$ (độ C)
* Tính ${Q_3}$.
Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9 > $ mà $8 < 9 < 12$. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bầng 9.
Xét nhóm 5 là nhóm $[28,8;31,8)$ có $t = 28,8;I = 3;{n_5} = 4$ và nhóm 4 là nhóm $[25,8;28,8)$ có $c{f_4} = 8$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
${Q_3} = 28,8 + \left( {\frac{{9 – 8}}{4}} \right) \cdot 3 = 29,55$(độ C)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẩu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 22 là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 29,55 – 20,8 = 8,75((C\quad C).$
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 22 là:
$\overline x = \frac{{2 \cdot 18,3 + 3 \cdot 21,3 + 2 \cdot 24,3 + 1 \cdot 27,3 + 4 \cdot 30,3}}{{12}} = \frac{{297,6}}{{12}} = 24,8$ (độ C)
Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 22 là:
${s^2} = \frac{1}{{12}}$$ \cdot \left[ {2 \cdot {{(18,3 – 24,8)}^2} + 3 \cdot {{(21,3 – 24,8)}^2} + 2 \cdot {{(24,3 – 24,8)}^2}} \right.\left. { + 1 \cdot {{(27,3 – 24,8)}^2} + 4 \cdot {{(30,3 – 24,8)}^2}} \right]$
$ = \frac{{249}}{{12}} = 20,75$
Độ lệch chuấn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s = \sqrt {20,75} \approx 4,56$ (độ C).
Tại Huế
Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 23 , ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 16,8$; đầu mút phải của nhóm 5 là ${a_6} = 31,8$.
Vậy khoảng biến thiên của mẩu số liệu ghép nhóm được cho bới Bảng 23 là:
${R^\prime } = {a_6} – {a_1} = 31,8 – 16,8 = 15$ $ = \frac{{309,6}}{{12}} = 25,8$
Từ Bảng 23 ta có bảng thống kê sau:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
| [16,8;19,8) | 1 | 1 |
| [19,8;22,8) | 2 | 3 |
| [22,8;25,8) | 3 | 6 |
| [25,8;28,8) | 2 | 8 |
| [28,8;31,8) | 4 | 12 |
| n = 12 |
* Tính ${Q’_1}$.
Số phần tử của mẫu là $n = 12$.
Ta có $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $1 < 3$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm $[19,8;22,8)$ có $s = 19,8;h = 3;{n_2} = 2$ và nhóm 1 là nhóm $[16,8;19,8)$ có $c{f_1} = 1$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
${Q’_1} = 19,8 + \left( {\frac{{3 – 1}}{2}} \right) \cdot 3 = 22,8$ (độ C)
* Tính ${Q’_3}$.
Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9$ mà $8 < 9 < 12$. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9 . Xét nhóm 5 là nhóm $[28,8;31,8)$ có $t = 28,8;I = 3;{n_5} = 4$ và nhóm 4 là nhóm $[25,8;28,8)$ có cf $_4 = 8$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
${Q’_3} = 28,8 + \left( {\frac{{9 – 8}}{4}} \right) \cdot 3 = 29,55$ (độ C)
Vậy khoång tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bới Bảng 23 là:
$\Delta _Q^\prime = Q_3^\prime – Q_1^\prime = 29,55 – 22,8 = 6,75$ (độ C)
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 23 là:
$\overline {x’} = $$\frac{{1 \cdot 18,3 + 2 \cdot 21,3 + 3 \cdot 24,3 + 2 \cdot 27,3 + 4 \cdot 30,3}}{{12}}$
$ = \frac{{309,6}}{{12}} = 25,8$ (độ C)
Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 23 là:
${s’^2} = \frac{1}{{12}} \cdot $$\left[ {1 \cdot {{(18,3 – 25,8)}^2} + 2 \cdot {{(21,3 – 25,8)}^2} + 3 \cdot {{(24,3 – 25,8)}^2}} \right.\left. { + 2 \cdot {{(27,3 – 25,8)}^2} + 4 \cdot {{(30,3 – 25,8)}^2}} \right]$
$ = \frac{{189}}{{12}} = 15,75$
Độ lệch chuấn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s’ = \sqrt {15,75} \approx 3,97$ (độ C ).
b) Vì $s’ \approx 3,97 < s \approx 4,56$ nên thành phố Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn thành phố Hà Nội.
Câu 3. Bảng 24 thống kê độ ẩm không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Đà Lạt và Vũng Tàu (đơn vị: %).
Bảng 24
(Nguồn: Niên giám Thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022)
a) Hãy lần lượt ghép các số liệu của Đà Lạt, Vũng Tàu thành năm nhóm sau:
[75;78,3), [78,3;81,6), [81,6;84,9), [84,9;88,2), [88,2;91,5).
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt và Vũng Tàu.
c) Trong hai thành phố Đà Lạt và Vũng Tàu, thành phố nào có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Lời giải
a) Từ Bảng 24, ta có các bảng thống kê tại Đà Lạt như sau:
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
| [75 ; 78,3) | 76,65 | 0 |
| [78,3 ; 81,6) | 79,95 | 2 |
| [81,6 ; 84,9) | 83,25 | 1 |
| [84,9 ; 88,2) | 86,55 | 7 |
| [88,2 ; 91,5) | 89,85 | 2 |
| n=12 |
Từ Bảng 24, ta có các bảng thống kê tại Vũng Tàu như sau:
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
| [75 ; 78,3) | 76,65 | 5 |
| [78,3 ; 81,6) | 79,95 | 6 |
| [81,6 ; 84,9) | 83,25 | 1 |
| [84,9 ; 88,2) | 86,55 | 0 |
| [88,2 ; 91,5) | 89,85 | 0 |
| n=12 |
Vũng Tàu
b)
Tại Đà Lạt
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt là:
$R = 91,5 – 78,3 = 13,2(\% )$
Từ bảng thống kê trên, ta có bảng thống kê của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
| [78,3 ; 81,6) | 2 | 2 |
| [81,6 ; 84,9) | 1 | 3 |
| [84,9 ; 88,2) | 7 | 10 |
| [88,2 ; 91,5) | 2 | 12 |
| n=12 |
Số phần tử của mẫu là $n = 12$.
Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $2 < 3$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm $[81,6;84,9)$ có $s = 81,6;h = 3,3;{n_2} = 1$ và nhóm 1 là nhóm
$[78,3;81,6) c\’o c{f_1} = 2$
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
${Q_1} = 81,6 + \left( {\frac{{3 – 2}}{1}} \right) \cdot 3,3 = 84,9(\% )$
Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9$ mà $3 < 9 < 10$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9 . Xét nhóm 3 là nhóm $[84,9;88,2)$ có $t = 84,9;1 = 3,3;{n_3} = 7$ và nhóm 2 là nhóm $[81,6;84,9)$ có $c{f_2} = 3$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
${Q_3} = 84,9 + \left( {\frac{{9 – 3}}{7}} \right) \cdot 3,3 \approx 87,7(\% )$
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 87,7 – 84,9 = 2,8(\% )$
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt là:
$\overline x = \frac{{2 \cdot 79,95 + 1 \cdot 83,25 + 7 \cdot 86,55 + 2 \cdot 89,85}}{{12}} = \frac{{1028,7}}{{12}} = 85,725(\% )$
Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt là:
${s^2} = \frac{1}{{12}}.$$\left[ {2 \cdot {{(79,95 – 85,725)}^2} + 1 \cdot {{(83,25 – 85,725)}^2} + 7 \cdot {{(86,55 – 85,725)}^2} + 2 \cdot {{(89,85 – 85,725)}^2}} \right]$
$ = \frac{{111,6225}}{{12}} \approx 9,3$
Độ lệch chuấn của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt là: $s \approx \sqrt {9,3} \approx 3,05(\% )$.
Tại Vũng Tàu
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu là:
$R’ = 84,9 – 75 = 9,9(\% )$
Từ bảng thống kê trên, ta có bảng thống kê của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
| [75 ; 78,3) | 5 | 5 |
| [78,3 ; 81,6) | 6 | 11 |
| [81,6 ; 84,9) | 1 | 12 |
| 12 |
Số phần tử của mẫu là $n = 12$.
Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $5 > 3$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 1 là nhóm $[75;78,3)$ có $s = 75;h = 3,3;{n_1} = 5$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
${Q’_1} = 75 + \frac{3}{5} \cdot 3,3 = 76,98(\% )$
Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9$ mà $5 < 9 < 11$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9 . Xét nhóm 2 là nhóm $[78,3;81,6)$ có $t = 78,3;1 = 3,3;{n_2} = 6$ và nhóm 1 là nhóm $\left[ {75;78,3} \right.$ ) có $c{f_1} = 5$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:
${Q’_3} = 78,3 + \left( {\frac{{9 – 5}}{6}} \right) \cdot 3,3 = 80,5(\% )$
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu là:
${\Delta ‘_Q} = {Q’_3} – {Q’_1} = 80,5 – 76,98 = 3,52(\% )$
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu là:
$\overline {x’} = \frac{{5 \cdot 76,65 + 6 \cdot 79,95 + 1 \cdot 83,25}}{{12}}$$ = \frac{{946,2}}{{12}} = 78,85(\% )$
Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu là:
${s’^2} = \frac{1}{{12}}$$ \cdot \left[ {5 \cdot {{(76,65 – 78,85)}^2}} \right.\left. { + 6 \cdot {{(79,95 – 78,85)}^2} + 1 \cdot {{(83,25 – 78,85)}^2}} \right]$
$ = \frac{{50,82}}{{12}} = 4,235$
Độ lệch chuấn của mẫu số liệu ghép nhóm của Vũng Tàu là: $s’ = \sqrt {4,235} \approx 2,06$ (\%).
c) Vi $s’ \approx 2,06 < s \approx 3,05$ nên thành phố Vũng Tàu có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn thành phố Đà Lạt.
