Câu 1. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Vectơ $\vec u = \overrightarrow {A’A} + \overrightarrow {A’B’} + \overrightarrow {A’D’} $ bằng vectơ nào dưới đây?
A. $\overrightarrow {A’C} $.
B. $\overrightarrow {CA} $.
C. $\overrightarrow {AC} $.
D. $\overrightarrow {C’A} $.
Lời giải
Theo quy tắc hình hộp ta có $\vec u = \overrightarrow {{A’ }A} + \overrightarrow {{A’ }{B’ }} + \overrightarrow {{A’ }{D’ }} = \overrightarrow {{A’ }C} $.
Chọn A
Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $
b) $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} $
Lời giải
a) Ta có $VT = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {BD} $
$ = \overrightarrow {AD} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} ) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = VP$
b)Ta có $VT = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + ( – \overrightarrow {CD} )$
$ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {DC} $
$ = \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} ) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = VP$
Câu 3. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính:
a) $\overrightarrow {A’B} \cdot \overrightarrow {D’C} ;\overrightarrow {D’A} \cdot \overrightarrow {BC} $;
b) Các góc $\left( {\overrightarrow {A’D} ,\overrightarrow {B’C’} } \right);\left( {\overrightarrow {AD’} ,\overrightarrow {BD} } \right)$.
Lời giải
a) * Tính $\overrightarrow {A’B} \cdot \overrightarrow {D’C} $
Ta có $\overline {A’B} \cdot \overline {D’C’} = \left| {\overrightarrow {A’B} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {D’C’} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {A’B} \cdot \overline {D’C’} } \right)$
+ $\left| {\overrightarrow {{A’ }B} } \right| = {A’ }B = \sqrt {A{A^{\prime 2}} + A{B^2}} $$ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $;
+ $\left| {\overrightarrow {{D’ }{C’ }} } \right| = {D’ }{C’ } = a$.
+ Ta có $\overline {{A’ }B} = \overline {{D’ }C} $.
Do đó $\left( {\overline {{A’ }B} ,\overline {{D’ }{C’ }} } \right) = \left( {\overline {{D’ }C} ,\overline {{D’ }{C’ }} } \right) = \widehat {C{D’ }{C’ }} = {45^0}$ (Do $CD{D’ }{C’ }$ là hình vuông).
Vậy $\overline {{A’ }B} \cdot \overline {{D’ }{C’ }} = \left| {\overrightarrow {{A’ }B} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{D’ }{C’ }} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{A’ }B} \cdot \overline {{D’ }{C’ }} } \right)$$ = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {45^\circ } = {a^2}$
* Tính $\overrightarrow {D’A} \cdot \overrightarrow {BC} $
Ta có $\overrightarrow {{D’ }A} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {{D’ }A} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{D’ }A} ,\overrightarrow {BC} } \right)$
+ $\left| {\overrightarrow {{D’ }A} } \right| = {D’ }A = \sqrt {D{D^{\prime 2}} + D{A^2}} $$ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $.
+ $|\overrightarrow {BC} | = BC = a$
+ Ta có $\overrightarrow {{D’ }A} = \overrightarrow {{C’ }B} $.
Do đó $\left( {\overrightarrow {{D’ }A} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {{C’ }B} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {CB{C’ }} = {45^0}$ (Do $CB{B’ }{C’ }$ là hình vuông).
Vậy $\overrightarrow {{D’ }A} \cdot \overrightarrow {BC} = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {45^\circ } = {a^2}$.
b) * Tính $\left( {\overrightarrow {A’D} ,\overrightarrow {B’C’} } \right)$.
Ta có $\overrightarrow {{A’ }D} = \overrightarrow {{B’ }C} $.
Do đó $\left( {\overrightarrow {{A’ }D} ,\overrightarrow {{B’ }C} } \right) = \left( {\overrightarrow {{B’ }C} ,\overrightarrow {{B’ }{C’ }} } \right) = \widehat {C{B’ }{C’ }} = {45^0}$(Do $CB{B’ }{C’ }$ là hình vuông).
Vậy $\left( {\overrightarrow {A’D} ,\overrightarrow {B’C’} } \right) = {45^0}$
* Tính $\left( {\overrightarrow {AD’} ,\overrightarrow {BD} } \right)$.
Ta có $\overrightarrow {A{D’ }} = \overrightarrow {B{C’ }} $.
Do đó $\left( {\overrightarrow {A{D’ }} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {B{C’ }} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {{C’ }BD} = {60^0}$ (Do tam giác ${C’ }BD$ là tam giác đều)
Vậy $\left( {\overrightarrow {A{D’ }} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {60^\circ }$.
Câu 4. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $AB’D’$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {A’C} = 3\overrightarrow {A’G} $.
Lời giải
Ta có $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B’ }{D’ }$ nên với điểm ${A’ }$ ta có:
$\overrightarrow {{A’ }G} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A{A’ }} + \overrightarrow {{A’ }{B’ }} + \overrightarrow {{A’ }{D’ }} } \right)$ (1).
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {A{A’ }} + \overrightarrow {{A’ }{B’ }} + \overrightarrow {{A’ }{D’ }} = \overrightarrow {{A’ }C} $ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {{A’ }G} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{A’ }C} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {{A’ }G} = \overrightarrow {{A’ }C} $.
Vậy $\overrightarrow {A’C} = 3\overrightarrow {A’G} $.
Câu 5. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc bằng ${60^ \circ }$ (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng ${\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $, $\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;N$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\;N$.
Hình 16
Lời giải
Gọi ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ;\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} $.
Ta có $E A, E B, E C, E D$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng ${60^\circ }$ nên $E{A_1},E{B_1},E{C_1},E{D_1}$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ một góc bằng ${60^\circ }$.
Ta có $A B C D$ là hình chữ nhật nên ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ cũng là hình chữ nhật.
Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.
Ta suy ra $EO \bot \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$.
Do đó, góc giữa đường thẳng $E{A_1}$ và mặt phẳng ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ bằng góc $\widehat {E{A_1}O}$.
Suy ra $\widehat {E{A_1}O} = {60^\circ }$.
Ta có $\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| {{{\vec F}_4}} \right| = 4700\;N$ nên $E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4700$.
Tam giác $EO{A_1}$ vuông tại $O$ nên $EO = E{A_1} \cdot \sin \widehat {E{A_1}O} = 4700 \cdot \sin {60^\circ } = 2350\sqrt 3 $.
Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} $; $\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{B_1}} $; $\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{C_1}} $; $\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{D_1}} $.
Do $O$ là trung điểm của ${A_1}{C_1}$ và ${B_1}{D_1}$ nên $\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \vec 0;\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = \vec 0$.
Từ đó suy ra $\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} $.
Do đó, ${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO} $.
Do chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên ${\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec P$, ở đó $\vec P$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là $|\vec P| = 4|\overrightarrow {EO} | = 4.2350\sqrt 3 = 9400\sqrt 3 (N)$.
Do trọng lượng của khung sắt là 3000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là $9400\sqrt 3 – 3000 \approx 13281(N)$
