Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như Hình 31 .
Hình 31
Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng:
A. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
B. $\left( {0;1} \right)$.
C. $\left( {0;2} \right)$.
D. $\left( {1;2} \right)$.
Lời giải
Câu 2. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ là:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Câu 3. Hàm số nào có đồ thị như Hình 32 ?
Hình 32
A. $y = – {x^3} + 3x – 2$.
B. $y = – {x^3} – 2$.
C. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 2$.
D. $y = {x^3} – 3x – 2$.
Lời giải
Câu 4. Đường cong ở Hình 33 là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$.
B. $y = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}$.
C. $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$.
D. $y = \frac{{ – x}}{{x + 1}}$.
Hình 33
Lời giải
Câu 5. Các đồ thị hàm số ở Hình $34a$, Hình $34b$ đều có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang (hoặc tiệm cận xiên). Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
Hình 34
a) $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}$;
b) $y = \frac{{2x – 5}}{{x – 1}}$;
c) $y = \frac{{2{x^2} + 3x}}{{x + 1}}$.
Lời giải
Câu 6. Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) $y = \frac{{5x + 1}}{{3x – 2}}$;
b) $y = \frac{{2{x^3} – 3x}}{{{x^3} + 1}}$;
c) $y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}$.
Lời giải
Câu 7. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) $y = x – 3 + \frac{1}{{{x^2}}}$;
b) $y = \frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}$;
c) $y = \frac{{2{x^2} – x + 3}}{{2x + 1}}$.
Lời giải
Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = 2{x^3} – 6x$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$;
b) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}$ trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$;
c) $f\left( x \right) = \frac{{ln\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$;
d) $f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.
Lời giải
Câu 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$
b) $y = – {x^3} + 3{x^2} – 6x$;
c) $y = \frac{{3x – 2}}{{x – 2}}$;
d) $y = \frac{x}{{2x + 3}}$;
e) $y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}$
g) $y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}$.
Lời giải
Câu 10. Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là $384\;c{m^2}$. Sau khi để lề trên và lề dưới đều là $3\;cm$, để lề trái và lề phải đều là $2\;cm$. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?
Lời giải
Câu 11. Một người nông dân có 15000000 đồng để làm một hàng rào hình chữ $E$ dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Hình 35
Lời giải
Câu 12. Một bác nông dân có ba tấm lưới thép $B40$, mỗi tấm dài $a\left( {\;m} \right)$ và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân $ABCD$ như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng $CD$ không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Hình 36
Lời giải
Câu 13. Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm $A,B$ của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $AA’ = 500\;m,BB’ = 600\;m$ và $A’B’ = 2200\;m$ (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A’B’$ sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí $A,B$ đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.
Hình 37
Lời giải
Câu 14. Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?
Lời giải
