Câu 1. Đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;2;5} \right)$ nhận $\vec u = \left( { – 2;8; – 7} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 8 + 2t} \\
{z = – 7 + 5t}
\end{array}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 – 2t} \\
{y = 2 – 8t} \\
{z = 5 – 7t}
\end{array}} \right.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 – 2t} \\
{y = 2 + 8t} \\
{z = 5 + 7t}
\end{array}} \right.$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 – 2t} \\
{y = 2 + 8t} \\
{z = 5 – 7t.}
\end{array}} \right.$
Lời giải
Câu 2. Đường thẳng đi qua điểm $B\left( { – 1;3;6} \right)$ nhận $\vec u = \left( {2; – 3;8} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
A. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 3}} = \frac{{z + 6}}{8}$.
B. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 3}} = \frac{{z – 6}}{8}$.
C. $\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y – 3}}{3} = \frac{{z – 6}}{8}$.
D. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{3} = \frac{{z – 6}}{8}$.
Lời giải
Câu 3. Mặt phẳng $\left( P \right):x – 2 = 0$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. $\left( {{P_1}} \right):x + 2 = 0$.
B. $\left( {{P_2}} \right):x + y – 2 = 0$.
C. $\left( {{P_3}} \right):z – 2 = 0$.
D. $\left( {{P_4}} \right):x + z – 2 = 0$.
Lời giải
Câu 4. Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t} \\
{y = 3 + 2t} \\
{z = – 1 + 3t}
\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).
a) Chỉ ra toạ độ hai điểm thuộc đường thẳng $\Delta $.
b) Điểm nào trong các điểm $C\left( {6; – 7; – 16} \right),D\left( { – 3;11; – 11} \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta $ ?
Lời giải
Câu 5. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\Delta $ đi qua điểm $A\left( { – 1;3;2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( { – 2;3;4} \right)$;
b) $\Delta $ đi qua hai điểm $M\left( {2; – 1;3} \right)$ và $N\left( {3;0;4} \right)$.
Lời giải
Câu 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 11 – 6t} \\
{y = – 6 – 3t} \\
{z = 10 + 3t}
\end{array}} \right.$ (t là tham số);
b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 3t} \\
{y = 2 + 4t} \\
{z = 3 + 5t}
\end{array}} \right.$ (tà tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z – 15}}{{ – 3}};$
c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{z}{1}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 3}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}$.
Lời giải
Câu 7. Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + {t_1}} \\
{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}} \\
{z = 0}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + \sqrt 3 {t_2}} \\
{y = 4 + {t_2}} \\
{z = 5}
\end{array}\;\left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số $)$;
b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = 3 + t} \\
{z = 4 – t}
\end{array}} \right.$ (t là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}$;
c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z – 4}}{1}$.
Lời giải
Câu 8. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + \sqrt 3 t} \\
{y = 2} \\
{z = 3 + t}
\end{array}\;(t} \right.$ là tham số) và $\left( P \right):\sqrt 3 x + z – 2 = 0;$
b) $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t} \\
{y = 2 – t} \\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.$ (t là tham số) và $\left( P \right):x + y + z – 4 = 0$.
Lời giải
Câu 9. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):x + y + 2z – 1 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):2x – y + z – 2 = 0$.
Lời giải
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có các đỉnh lần lượt là
$S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { – \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { – \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$
với $a > 0$ (Hình 36).
a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA} $, $\overrightarrow {CD} $. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Từ đó tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Lời giải
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A\left( {3,5; – 2;0,4} \right)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B\left( {3,5;5,5;0} \right)$ trên đường băng $EG$ (Hình 37 ).
a) Viết phương trình đường thẳng $AB$.
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay $AB$ và mặt phẳng nằm ngang $\left( {Oxy} \right))$ có nằm trong phạm vi cho phép từ $2,{5^ \circ }$ đến $3,{5^ \circ }$ hay không.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua ba điểm $M\left( {5;0;0} \right)$, $N\left( {0; – 5;0} \right),P\left( {0;0;0,5} \right)$. Tìm toạ độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
d) Tìm tọa độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng $AB$ là vị trí mà máy bay ở độ cao $120\;m$.
e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E\left( {3,5;6,5;0} \right)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là $120\;m$. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).
Lời giải
