Câu 1. $\smallint \left( {2sinx – 3cosx} \right)dx$. bằng:
A. $2cosx – 3sinx + C$.
B. $2cosx + 3sinx + C$.
C. $ – 2cosx + 3sinx + C$.
D. $ – 2cosx – 3sinx + C$.
Lời giải
Ta có: $\smallint \left( {2sinx – 3cosx} \right)dx = $$2\smallint sinxdx – 3\smallint cosxdx$
Chọn D
Câu 2. $\smallint {7^x}\;dx$ bằng:
A. ${7^x} \cdot ln7 + C$.
B. $\frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$.
C. $\frac{{{7^x}}}{{ln7}} + C$.
D. ${7^x} + C$.
Lời giải
Ta có $\smallint {7^x}dx = \frac{{{7^x}}}{{ln7}} + C$
Chọn C
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{3x}}{{\sqrt x }}$ bằng:
A. $2\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$.
B. $\frac{{ – 6}}{{\sqrt x }} + C$.
C. $3\sqrt x + C$.
D. $2x\sqrt x + C$.
Lời giải
Ta có $\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \frac{{3x}}{{\sqrt x }}dx = \smallint 3\sqrt x dx$
$ = 3\smallint {x^{\frac{1}{2}}}dx = 3 \cdot \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = 2{x^{\frac{3}{2}}} + C$
$ = 2x\sqrt x + C$
Chọn D
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 1 – ta{n^2}x$ bằng:
A. $2 – tanx + C$.
B. $2x – tanx + C$.
C. $x – \frac{{ta{n^3}x}}{3} + C$.
D. $ – 2tanx + C$.
Lời giải
Ta có $\smallint \left( {1 – ta{n^2}x} \right)dx = \smallint \left[ {2 – \left( {1 + ta{n^2}x} \right)} \right]dx$
$ = \smallint \left( {2 – \frac{1}{{co{s^2}x}}} \right)dx = \smallint 2dx – \smallint \frac{1}{{co{s^2}x}}dx$
$ = 2x – tanx + C$
Chọn B
Câu 5. Tìm:
a) $\smallint \left( {7{x^6} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx$;
b) $\smallint \frac{{21}}{{8x}}\;dx$;
c) $\smallint \frac{1}{{{x^4}}}\;dx$;
d) $\smallint \frac{1}{{x\sqrt x }}\;dx$;
Lời giải
a) $\smallint \left( {7{x^6} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx$$ = 7\smallint {x^6}dx – 4\smallint {x^3}dx + 3\smallint {x^2}dx$
$ = 7 \cdot \frac{{{x^{6 + 1}}}}{{6 + 1}} – 4 \cdot \frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + 3 \cdot \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C$
$ = {x^7} – {x^4} + {x^3} + C$
b) $\smallint \frac{{21}}{{8x}}dx = \frac{{21}}{8}\smallint \frac{1}{x}dx = \frac{{21}}{8}ln\left| x \right| + $ C
c) $\smallint \frac{1}{{{x^4}}}dx = \smallint {x^{ – 4}}dx = \frac{{{x^{ – 4 + 1}}}}{{ – 4 + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + C = \frac{{ – 1}}{{3{x^3}}} + C$.
d) $\smallint \frac{1}{{x\sqrt x }}dx = \smallint \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}}dx = \smallint {x^{ – \frac{3}{2}}}dx$
$ = \frac{{{x^{\frac{{ – 3}}{2} + 1}}}}{{ – \frac{3}{2} + 1}} + C = – 2{x^{\frac{1}{2}}} + C = \frac{{ – 2}}{{\sqrt x }} + C$.
Câu 6. Tìm:
a) $\smallint \left( {5sinx + 6cosx} \right)dx$;
b) $\smallint \left( {2 + co{t^2}x} \right)dx$;
c) $\smallint {2^{3x}}\;dx$;
d) $\smallint \left( {{{2.3}^{2x}} – {e^{x + 1}}} \right)dx$.
Lời giải
a) $\smallint \left( {5sinx + 6cosx} \right)dx$$ = 5\smallint sinxdx + 6\smallint cosxdx$
$ = – 5cosx + 6sinx + C$.
b) $\smallint \left( {2 + co{t^2}x} \right)dx = \smallint \left[ {1 + \left( {1 + co{t^2}x} \right)} \right]dx$
$ = \smallint \left( {1 + \frac{1}{{si{n^2}x}}} \right)dx$$ = \smallint 1dx + \smallint \frac{1}{{si{n^2}x}}dx = x – cotx + C$
c) $\smallint {2^{3x}}dx = \smallint {\left( {{2^3}} \right)^x}dx = \frac{{{{\left( {{2^3}} \right)}^x}}}{{ln{2^3}}} + C = \frac{{{2^{3x}}}}{{3ln2}} + C$.
d) $\smallint \left( {2 \cdot {3^{2x}} – {e^{x + 1}}} \right)dx = 2\smallint {3^{2x}}dx – \smallint {e^{x + 1}}dx$
$ = 2\smallint {\left( {{3^2}} \right)^x}dx – e\smallint {e^x}dx$
$ = 2 \cdot \frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x}}}{{ln{3^2}}} – e \cdot \frac{{{e^x}}}{{lne}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{ln3}} – {e^{x + 1}} + C$
Câu 7. Cây cà chua khi trồng có chiều cao $5\;cm$. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số
$v\left( t \right) = – 0,1{t^3} + {t^2}$
trong đó $t$ tính theo tuần, $v\left( t \right)$ tính bằng centimét/tuần. Gọi $h\left( t \right)$ (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ $t$ (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Viết công thức xác định hàm số $h\left( t \right)\left( {t \geqslant 0} \right)$.
b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?
c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?
Lời giải
a) Hàm số $h\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $v\left( t \right)$.
$\smallint v\left( t \right)dt = \smallint \left( { – 0,1{t^3} + {t^2}} \right)dt$
$ = – 0,1\smallint {t^3}dt + \smallint {t^2}dt$$ = – 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$.
Suy ra $h\left( t \right) = – 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$.
Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên $h\left( 0 \right) = 5 \Rightarrow C = 5$.
Vậy công thức xác định hàm số $h\left( t \right)$ là: $h\left( t \right) = – 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5\left( {t \geqslant 0} \right)$.
b) Xét hàm số $h\left( t \right) = – 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5\left( {t \geqslant 0} \right)$.
Ta có $h’\left( t \right) = v\left( t \right) = – 0,1{t^3} + {t^2}$
$h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 0 \hfill \\
t = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( t \right)$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.
c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\frac{{265}}{3}\;cm$.
d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: $v\left( t \right) = – 0,1{t^3} + {t^2}\left( {t \geqslant 0} \right)$.
Ta có $v’\left( t \right) = – 0,3{t^2} + 2t$;
$v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 0 \hfill \\
t = \frac{{20}}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $v\left( t \right)$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao $\frac{{400}}{{27}}\;cm$.
Câu 8. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày $\left( {0 \leqslant t \leqslant 10} \right)$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P’\left( t \right) = k\sqrt t $, trong đó $k$ là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Hàm số $P\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $P’\left( t \right)$.
Ta có $\smallint P’\left( t \right)dt = \smallint k\sqrt t dt = k\smallint {t^{\frac{1}{2}}}dt$
$ = \frac{{2k}}{3} \cdot {t^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + C$.
Suy ra $P\left( t \right) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + C$.
Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với $t = 0$ thì $P = 500$ hay $P\left( 0 \right) = 500$, suy ra $\frac{{2k}}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt 0 + C = 500$
Do đó $C = 500$. Suy ra $P\left( t \right) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t + 500$.
Vì sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi $t = 1$ thì $P = 600$, hay $P\left( 1 \right) = 600$, suy ra $\frac{{2k}}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1 + 500 = 600$, Do đó $k = 150$.
Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ là:
$P\left( t \right) = \frac{{2 \cdot 150}}{3}t\sqrt t + 500 = 100t\sqrt t + 500$ $\left( {0 \leqslant t \leqslant 10} \right)$
Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: $P\left( 7 \right) = 100 \cdot 7\sqrt 7 + 500 \approx 2352$ (vi khuẩn).
