Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {1; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – 1;0} \right)$.
C. $\left( { – 1;1} \right)$.
D. $\left( {0;1} \right)$.
Lời giải
Phương pháp:
+ Nếu đồ thị hàm số “đi lên” từ trái sang phải trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
+ Nếu đồ thị hàm số “đi xuống” từ trái sang phải trên khoảng (a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Chọn D
Câu 2. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. -4 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn C
Câu 3. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) $y = – {x^3} + 2{x^2} – 3$;
b) $y = {x^4} + 2{x^2} + 5$;
c) $y = \frac{{3x + 1}}{{2 – x}}$;
d) $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{x + 1}}$.
Lời giải
a) $y = – {x^3} + 2{x^2} – 3$
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = – 3{x^2} + 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{4}{3} \hfill \\
x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{4}{3}} \right)$.
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$
b) $y = {x^4} + 2{x^2} + 5$;
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = 4{x^3} + 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng$\left( { – \infty ;0} \right)$.
c) $y = \frac{{3x + 1}}{{2 – x}} = \frac{{3x + 1}}{{ – x + 2}}$;
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$
Áp dụng công thức tính đạo hàm: ${\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{a.d – c.b}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
$y’ = \frac{{3.2 – ( – 1).1}}{{{{( – x + 2)}^2}}} = \frac{7}{{{{( – x + 2)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;2)$ và $(2; + \infty )$
d) $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{x + 1}}$.
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$
Áp dụng công thức tính đạo hàm: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u’.v – u.v’}}{{{v^2}}}$
$y’ = \frac{{({x^2} – 2x)'(x + 1) – ({x^2} – 2x)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
$ = \frac{{(2x – 2).(x + 1) – ({x^2} – 2x).1}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
$ = \frac{{2{x^2} + 2x – 2x – 2 – {x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
$ = \frac{{{x^2} + 2x – 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
$y’ = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 + \sqrt 3 \hfill \\
x = – 1 – \sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1 – \sqrt 3 } \right)$ và $\left( { – 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – 1 – \sqrt 3 ; – 1} \right)$ và $\left( { – 1; – 1 + \sqrt 3 } \right)$
Câu 4. Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} – 36x – 10$;
b) $y = – {x^4} – 2{x^2} + 9$;
c) $y = x – \frac{1}{x}$.
Lời giải
a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} – 36x – 10$;
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = 6{x^2} + 6x – 36$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x – 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = – 3$ và ${y_{CĐ}} = y( – 3) = 71$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = y(2) = – 54$.
b) $y = – {x^4} – 2{x^2} + 9$;
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = – 4{x^3} – 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CĐ}} = y(0) = 9$.
+ Hàm số không có cực tiểu.
c) $y = x – \frac{1}{x}$.
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
$y’ = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0,\,\forall x \in D$.
Bảng biến thiên
Vậy,
Hàm số không có cực trị.
Câu 5. Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đồ thị lần lượt được cho ở Hình $6a$, Hình $6b$. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.
Lời giải
a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ở hình 6a ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$, $\left( {0;1} \right)$và $\left( {2; + \infty } \right)$.
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$ và ${y_{CĐ}} = y( – 1) = 1$.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${y_{CĐ}} = y(1) = 2$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = y(0) = 0$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = y(2) = 0$.
b) Dựa vào đồ thị hàm số $y = g(x)$ ở hình 6b ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 2;0} \right)$và $\left( {1; + \infty } \right)$.
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CĐ}} = y(0) = 0$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = – 2$ và ${y_{CT}} = y( – 2) = – 8$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = y(1) = – \frac{5}{4}$.
Câu 6. Thể tích $V$ (đơn vị: centimét khối) của $1\;kg$ nước tại nhiệt độ $T\left( {0{\;^ \circ }C \leqslant T \leqslant {{30}^ \circ }C} \right)$ được tính bởi công thức sau:
$V\left( T \right) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043{T^2} – 0,0000679{T^3}$
(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)
Hỏi thể tích $V\left( T \right),{0^ \circ }C \leqslant T \leqslant {30^ \circ }C$, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Lời giải
Câu 7. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t = 0\left( s \right)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t = 126\left( s \right)$, cho bởi hàm số sau:
$v\left( t \right) = 0,001302{t^3} – 0,09029{t^2} + 23,$( $v$ được tính bằng $ft/s,1$ feet $ = 0,3048\;m$ ) (Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012).
(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/ Hubble_Space_Telescope)
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Lời giải
