Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;3; – 2} \right)$ và $\vec b = \left( {3;1; – 1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\vec a – \vec b$ là:
A. $\left( {1; – 2;1} \right)$.
B. $\left( {5;4; – 3} \right)$.
C. $\left( { – 1;2; – 1} \right)$.
D. $\left( { – 1;2; – 3} \right)$.
Lời giải
$\vec a – \vec b = \left( {2 – 3;3 – 1; – 2 – ( – 1)} \right)$$ = \left( { – 1;2; – 1} \right)$
Chọn C
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {0;1;1} \right)$ và $\vec b = \left( { – 1;1;0} \right)$. Góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ bằng:
A. ${60^ \circ }$.
B. ${120^ \circ }$.
C. ${150^ \circ }$.
D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
$cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{0.( – 1) + 1.1 + 1.0}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( – 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {60^0}$
Chọn A
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( { – 1;2;3} \right),\vec b = \left( {3;1; – 2} \right)$, $\vec c = \left( {4;2; – 3} \right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + \vec b – 3\vec c$.
b) Tìm toạ độ của vectơ $\vec v$ sao cho $\vec v + 2\vec b = \vec a + \vec c$.
Lời giải
a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + \vec b – 3\vec c$.
Ta có $\vec u = 2\vec a + \vec b – 3\vec c = 2.\left( { – 1;2;3} \right) + \left( {3;1; – 2} \right) – 3.\left( {4;2; – 3} \right)$
$ = \left( { – 2;4;6} \right) + \left( {3;1; – 2} \right) – \left( {12;6; – 9} \right)$
$ = \left( { – 2 + 3 – 12;4 + 1 – 6;6 – 2 + 9} \right)$
$ = \left( { – 11; – 1;13} \right)$.
b) Tìm toạ độ của vectơ $\vec v$ sao cho $\vec v + 2\vec b = \vec a + \vec c$.
Ta có $\vec v + 2\vec b = \vec a + \vec c$$ \Leftrightarrow \vec v = \vec a + \vec c – 2\vec b$ (*)
Ta có $\vec a + \vec c – 2\vec b = \left( { – 1;2;3} \right) + \left( {4;2; – 3} \right) – 2\left( {3;1; – 2} \right)$
$ = \left( { – 1;2;3} \right) + \left( {4;2; – 3} \right) – \left( {6;2; – 4} \right) = \left( { – 3;2;4} \right)$
Vậy $\overrightarrow v = \left( { – 3;2;4} \right)$
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 2;1} \right),\vec b = \left( {2;1;3} \right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec c$ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.
Lời giải
Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là $\vec c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{gathered}
– 2\,\,\,\,\,1 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
2\,\,\,\, – 2 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$
$ = \left( { – 2.3 – 1.1;1.2 – 2.3;2.1 – ( – 2).2} \right) = \left( { – 7; – 4;6} \right)$
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {3;2; – 1} \right),\vec b = \left( { – 2;1;2} \right)$. Tính côsin của góc $\left( {\vec a,\vec b} \right)$.
Lời giải
Ta có $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$$ = \frac{{3.( – 2) + 2.1 + ( – 1).2}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} .\sqrt {{{( – 2)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}$
$ = \frac{{ – 6}}{{\sqrt {14} .3}} = – \frac{2}{{\sqrt {14} }}$
Vậy $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = – \frac{2}{{\sqrt {14} }}$
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A\left( { – 2;3;0} \right),B\left( {4;0;5} \right),C\left( {0;2; – 3} \right)$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $ABC$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tính $cos\widehat {BAC}$.
Lời giải
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {6; – 3;5} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {2; – 1; – 3} \right)$
Mà $\frac{6}{2} = \frac{{ – 3}}{{ – 1}} \ne \frac{5}{{ – 3}}$
Nên $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ không cùng phương.
Do đó ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác $ABC$.
Ta có
$\overrightarrow {AB} = \left( {6; – 3;5} \right)$$ \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {{( – 3)}^2} + {5^2}} = \sqrt {70} $
$\overrightarrow {AC} = \left( {2; – 1; – 3} \right)$$ \Rightarrow AC = \sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {14} $
$\overrightarrow {BC} = ( – 4;2; – 8)$$ \Rightarrow BC = \sqrt {{{( – 4)}^2} + {2^2} + {{( – 8)}^2}} = 2\sqrt {21} $
Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $AB + AC + BC = \sqrt {70} + \sqrt {14} + 2\sqrt {21} $.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Gọi $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ – 2 + 4 + 0}}{3} = \frac{2}{3} \hfill \\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 0 + 2}}{3} = \frac{5}{3} \hfill \\
{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{0 + 5 + ( – 3)}}{3} = \frac{2}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $G\left( {\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
d) Tính $cos\widehat {BAC}$.
Ta có $cos\widehat {BAC} = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$ = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = $
$\frac{{6.2 + ( – 3).( – 1) + 5.( – 3)}}{{\sqrt {70} .\sqrt {14} }} = 0$.
Vậy $cos\widehat {BAC} = 0$.
Câu 7. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$, biết $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; – 1;1} \right),C’\left( {4;5; – 5} \right)$. Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {B’D’} $;
b) $\overrightarrow {AC’} $ và $\overrightarrow {BD} $.
Lời giải
a) Tìm tọa độ điểm $C$.
Gọi $C({x_C};{y_C};{z_C})$. Ta có
$\overrightarrow {BC} = \left( {{x_C} – 2;{y_C} – 1;{z_C} – 2} \right)$
$\overrightarrow {AD} = (0; – 1;0)$
mà $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_C} – 2 = 0 \hfill \\
{y_C} – 1 = – 1 \hfill \\
{z_C} – 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_C} = 2 \hfill \\
{y_C} = 0 \hfill \\
{z_C} = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $C(2;0;2)$.
Tìm tọa độ điểm $D’$.
Gọi $D’\left( {{x_{D’}};{y_{D’}};{z_{D’}}} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {DD’} = ({x_{D’}} – 1;{y_{D’}} + 1;{z_{D’}} – 1)$
$\overrightarrow {CC’} = (2;5; – 7)$
Mà $CDD’C’$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {DD’} = \overrightarrow {CC’} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{D’}} – 1 = 2 \hfill \\
{y_{D’}} + 1 = 5 \hfill \\
{z_{D’}} – 1 = – 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{D’}} = 3 \hfill \\
{y_{D’}} = 4 \hfill \\
{z_{D’}} = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $D'(3;4; – 6)$.
Tìm tọa độ điểm $B’$.
Gọi $B’\left( {{x_{B’}};{y_{B’}};{z_{B’}}} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {BB’} = ({x_{B’}} – 2;{y_{B’}} – 1;{z_{B’}} – 2)$
$\overrightarrow {CC’} = (2;5; – 7)$
Mà $BCC’B’$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {CC’} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{B’}} – 2 = 2 \hfill \\
{y_{B’}} – 1 = 5 \hfill \\
{z_{B’}} – 2 = – 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{B’}} = 4 \hfill \\
{y_{B’}} = 6 \hfill \\
{z_{B’}} = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $B'(4;6; – 5)$.
Ta có: $\overrightarrow {AC} = (1;0;1)$;
$\overrightarrow {B’D’} = ( – 1; – 2; – 1)$
Vậy một vectơ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {B’D’} $ là
$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B’D’} } \right]$$ = \left( {\left| \begin{gathered}
\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
– 2\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
– 1\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
– 1\,\,\, – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$$ = \left( {2;0; – 2} \right)$
b) Ta có
$\overrightarrow {AC’} = (3;5; – 6)$;
$\overrightarrow {BD} = ( – 1; – 2; – 1)$
Vậy một vectơ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow {AC’} $ và $\overrightarrow {BD} $ là
$\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} } \right]$$ = \left( {\left| \begin{gathered}
\,\,\,5\,\,\,\,\, – 6 \hfill \\
– 2\,\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
– 6\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
– 1\,\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
– 1\,\,\,\,\, – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$$ = \left( { – 17;9; – 1} \right)$
Câu 8. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ dều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$. Trọng lượng của chiếc đèn là $24\;N$ và bán kính của chiếc đèn là 18 in ( 1 inch $ = 2,54\;cm)$. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F = F\left( L \right)$ là một hàm số với biến số là $L$.
a) Xác định công thức tính hàm số $F = F\left( L \right)$.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $F = F\left( L \right)$.
Hình 38
c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $10\;N$.
Lời giải
