[SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều] Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Hướng dẫn học bài: Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Môn Toán học Lớp 7 Lớp 7. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều Lớp 7' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.
b) Dựa vào chứng minh các cặp tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.
Vậy các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân tại I.
b)
Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:
IC chung;
IN = IM.
Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra: CN = CM ( 2 cạnh tương ứng).
Vậy tam giác CMN có là tam giác cân.
Tương tự, ta có: AP = AN; BP = BM.
Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân.
Đề bài
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \);
b) \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào tính chất của đường phân giác: chia các góc tại các đỉnh thành hai góc bằng nhau.
b) Dựa vào kết quả của phần a).
Lời giải chi tiết
a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:
\(\widehat {IAB} = \widehat {IAC};\widehat {IBA} = \widehat {IBC};\widehat {ICB} = \widehat {ICA}\).
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:
\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ \end{array}\)
Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \).
b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:
\(\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\end{array}\).
Mà \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \)→ \(\widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ - \widehat {IAB}\).
Vậy: \(\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ - (90^\circ - \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB}\end{array}\)
Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\)(IA là phân giác của góc BAC).
Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).
Đề bài
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.
a) Chứng minh \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\);
b) So sánh IB và IC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Góc đối diện với cạnh lớn hơn thì có số đo góc lớn hơn.
b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\)(góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).
Mà BI và CI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACB nên: \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\)
(Vì: \(\widehat {CBI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC};\widehat {ACI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)).
b) Ta có: \(\widehat {ACI} = \widehat {BCI}\)
Mà \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\) ( câu a)
Do đó \(\widehat {CBI} > \widehat {BCI}\).
Mà IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.
Vậy IC > IB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).
II. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
HĐ 2
Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 114 để xem các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết:
Các đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm là điểm I.
LT - VD 2
Tìm số đo x trong Hình 115.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác.
Lời giải chi tiết:
I là giao điểm của hai đường phân giác góc B và góc C.
Vậy I cũng là giao điểm của đường phân giác góc A với góc B và góc C.
Hay AI là phân giác của góc A. Vậy \(x = 30^\circ \).
LT - VD 3
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác trong tam giác và tính chất của đường trung tuyến (đi qua trung điểm và vuông góc tại trung điểm).
Lời giải chi tiết:
Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.
Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.
Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:
IC chung;
IN = IM.
Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).
Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).
\(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).
Xét hai tam giác IDN và IDM có:
ID chung;
\(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);
IN = IM.
Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)
\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);
\(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)
\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).
Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.
Tương tự ta có:
IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.
Đề bài
Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó (Hình 109).
Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quan sát Hình 109 để đưa ra đặc điểm của ba nếp gấp.
Lời giải chi tiết
Ba nếp gấp chia ba góc tại ba đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau tương ứng với mỗi đỉnh. Và chúng cắt nhau tại một điểm.
I. Đường phân giác của tam giác
HĐ 1
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 110 để đưa ra đặc điểm của hai đầu mút đoạn thẳng AD.
Lời giải chi tiết:
Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm: đầu mút A là đỉnh của tam giác, đầu mút D thuộc cạnh BC.
LT - VD 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Xét hai tam giác ABD và ACD:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A);
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)(AD là phân giác của góc A);
AD chung.
Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.g.c).
Suy ra: BD = CD ( 2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của cạnh BC. Vậy AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
