SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều] Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Hướng dẫn học bài: Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng - Môn Toán học Lớp 7 Lớp 7. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều Lớp 7' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:

a) \(MB = AI + IM\);

b) MA < MB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút.

b) Dựa vào tính chất trong tam giác: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mà điểm I thuộc đường thẳng d nên suy ra: IA = IB. (Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút).

Ta có: \(MB = MI + IB\) mà IA = IB nên \(MB = MI + IA = AI + IM\).

b) Xét tam giác AMI có: \(MA < AI + IM\)(Tổng hai cạnh bất kì trong một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại) mà \(MB = AI + IM\).

Vậy \(MA < MB\).

Đề bài

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh a // b.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai đường thẳng không cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có: a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC nên \(a \bot AB,b \bot BC\).

Mà ba điểm A, B, C thẳng hàng với nhau nên đường thẳng a và b không cắt nhau và chúng cùng vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm A, B, C.

Vậy a // b.

Đề bài

Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

a) AB // CD;

b) \(\Delta MNC = \Delta MND;\)

c) \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);

d) \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\);

e) \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh AB // CD bằng cách dựa vào đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

b) Chứng minh \(\Delta MNC = \Delta MND\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

c) Dựa vào kết quả của phần b) để chứng minh \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).

d) Chứng minh \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) dựa vào cách chứng minh \(\Delta MAD = \Delta MBC\).

e) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) dựa vào kết quả của phần d).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên \(a \bot AB;a \bot CD\).

Suy ra: AB // CD.

b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.

Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.

Vậy \(\Delta MNC = \Delta MND\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) \(\Delta MNC = \Delta MND\)nên \(\widehat {CMN} = \widehat {DMN}\).

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} - \widehat {DMN} = \widehat {BMN} - \widehat {CMN}\).

Vậy \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).

d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:

MA = MB;

\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);

MD = MC.

Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(c.g.c). Suy ra: \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) (cặp cạnh và góc tương ứng).

e) \(\Delta MAD = \Delta MBC\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BCM}\) (2 góc tương ứng).

\(\Delta MNC = \Delta MND\) nên \(\widehat {MCN} = \widehat {MDN}\) (2 góc tương ứng).

Vậy \(\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).

Đề bài

Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\) bằng cách chứng minh \(\widehat {CAB} - \widehat {DAB} = \widehat {CBA} - \widehat {DBA}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA=CB và DA=DB.

Ta có tam giác ABC cân tại C, tam giác DAB cân tại D

Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA};\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\).

Vậy \(\widehat {CAB} - \widehat {DAB} = \widehat {CBA} - \widehat {DBA}\) suy ra: \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 2 LT - VD 2 HĐ 3 LT - VD 3

II. Tính chất

HĐ 2

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90).

Chứng minh rằng:

a) \(\Delta MOA = \Delta MOB\);

b) MA = MB.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta MOA = \Delta MOB\)theo trường hợp c.g.c.

b) Dựa vào kết quả của phần a) để chứng minh MA = MB.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d nên MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB

\(\Rightarrow MO \bot AB \to \widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \).

Xét tam giác MOA và tam giác MOB có:

OM chung;

\(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \);

OA = OB (O là trung điểm của đoạn thẳng AB).

Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\) (c.g.c)

b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)

LT - VD 2

Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vậy suy ra mái nhà bên trái dài 3 m nên mái nhà bên phải cũng dài 3 m.

HĐ 3

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.

a) Hai tam giác \(\Delta MOA\) và \(\Delta MOB\) có bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau theo trường hợp c.c.c.

b) Để xem MO có là đường trung trực của AB hay không, ta tìm mối liên hệ giữa MO và AB.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác MOA và MOB có:

OA = OB (O là trung điểm của AB);

MO chung;

MA = MB.

Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\)(c.c.c).

b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\)nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} = 90^\circ \)hay \(MO \bot AB\).

Vậy MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB (MO đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB).

LT - VD 3

Cho tam giác ABC cân tại A.

a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Dựa vào tính chất của đường thẳng trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng đó.

b) Muốn xem đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không, ta tìm mối liên hệ giữa AH với đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Vậy điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Ta có tam giác ABC cân mà đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

Vậy AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC. (AH đi qua trung điểm H của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 1 LT - VD 1

I. Định nghĩa

HĐ 1

Quan sát Hình 87.

a) So sánh hai đoạn thẳng IA và IB.

b) Tìm số đo của các góc \({I_1},{I_2}\).

Phương pháp giải:

a) Đếm số ô vuông để xác định độ dài đoạn thẳng IA, IB.

b) Quan sát Hình 87 để đưa ra số đo góc của các góc \({I_1},{I_2}\) .

Lời giải chi tiết:

a) \(IA = IB = 2\).

b) \({I_1} = {I_2} = 90^\circ \).

LT - VD 1

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\). Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Phương pháp giải:

Chứng minh AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của BC nên B, M, C thằng hàng → \(\widehat {BMC} = 180^\circ \). Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)→ \(AM \bot BC\).

Vậy AM đi qua trung điểm M của đoạn thẳng BC và AM vuông góc với BC. Hay AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Đề bài

Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d.