Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 11 Nguyên hàm chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp:
+ Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$.
+ $f(x) = \int {f’\left( x \right)dx} $
Câu 4.1. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F\left( x \right)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F\left( x \right) = xlnx$ và $f\left( x \right) = 1 + lnx$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;
b) $F\left( x \right) = {e^{sinx}}$ và $f\left( x \right) = {e^{cosx}}$ trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
a)
Chú ý:
+ ${\left( {uv} \right)^\prime } = u’v + uv’$
+ ${\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$
$F\left( x \right) = xlnx$ và $f\left( x \right) = 1 + lnx$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;
Ta có: $F’\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime }lnx + x{\left( {lnx} \right)^\prime } = 1.\ln x + x.\frac{1}{x}$
$ = \ln x + 1 = 1 + \ln x = f(x)$
Vậy hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
b)
Chú ý:
+ ${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$
+ ${\left( {{e^u}} \right)^\prime } = {e^u}.u’$
$F\left( x \right) = {e^{sinx}}$ và $f\left( x \right) = {e^{cosx}}$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $F’\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^\prime }{e^{sinx}} = cosx.{e^{sinx}} \ne f(x)$
Vậy hàm số $F\left( x \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.
Câu 4.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 1$
b) $f\left( x \right) = {x^3} – x$;
c) $f\left( x \right) = {(2x + 1)^2}$;
d) $f\left( x \right) = {\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^2}$.
Lời giải
a)
Chú ý: $\int {k{x^\alpha }} dx = k.\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\,\,(\alpha \ne – 1)$
$f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 1$
$ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x – 1} \right)} dx$
$ = 3.\frac{{{x^3}}}{3} + 2.\frac{{{x^2}}}{2} – x + C = {x^3} + {x^2} – x + C$
b) $f\left( x \right) = {x^3} – x$;
$ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} – x} \right)dx = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + C} $
c) $f\left( x \right) = {(2x + 1)^2}$;
$\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{(2x + 1)}^2}dx = } \int {(4{x^2} + 4x + 1)dx} $
$ = 4.\frac{{{x^3}}}{3} + 4.\frac{{{x^2}}}{2} + x + C = \frac{{4{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x + C$
d) $f\left( x \right) = {\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^2}$.
$ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} – 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $
$ = 4.\frac{{{x^3}}}{3} – 4x – \frac{1}{x} + C = \frac{{4{x^3}}}{3} – 4x – \frac{1}{x} + C$
Câu 4.3. Tìm:
a) $\smallint \left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)dx$
b) $\smallint \sqrt x \left( {7{x^2} – 3} \right)dx\,\,\,\,(x > 0)$;
c) $\smallint \frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{{{x^2}}}dx$;
d) $\smallint \left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx$.
Lời giải
Chú ý: ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$
a) $\smallint \left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)dx = \smallint \left( {3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} \right)dx$
$ = \smallint \left( {3{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx = 3.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C$
$ = 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C = 2\sqrt {{x^3}} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$.
b) $\smallint \sqrt x \left( {7{x^2} – 3} \right)dx\, = \smallint {x^{\frac{1}{2}}}\left( {7{x^2} – 3} \right)dx\,$
$ = \smallint \left( {7{x^{\frac{5}{2}}} – 3{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx\, = 7.\frac{{{x^{\frac{7}{2}}}}}{{\frac{7}{2}}} – 3.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C$
$ = 2{x^{\frac{7}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + C = 2\sqrt {{x^7}} + 2\sqrt {{x^3}} + C$
$ = 2{x^3}\sqrt x + 2x\sqrt x + C$.
c) $\smallint \frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{{{x^2}}}dx = \smallint \frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}dx$
$ = \smallint \left( {4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = 4x + 4\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C$.
d) $\smallint \left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – \frac{3}{x} + C$.
Câu 4.4. Tìm:
a) $\smallint \left( {2cosx – \frac{3}{{si{n^2}x}}} \right)dx$;
b) $\smallint 4si{n^2}\frac{x}{2}dx$;
c) $\smallint {\left( {sin\frac{x}{2} – cos\frac{x}{2}} \right)^2}dx$;
d) $\smallint \left( {x + ta{n^2}x} \right)dx$.
Lời giải
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {\sin xdx = – cosx} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$; $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
a) $\smallint \left( {2cosx – \frac{3}{{si{n^2}x}}} \right)dx = \smallint \left( {2cosx – 3.\frac{1}{{si{n^2}x}}} \right)dx$
$ = 2\sin x – 3.\left( { – \cot x} \right) + C = 2\sin x + 3\cot x + C$;
b) $\smallint 4si{n^2}\frac{x}{2}dx = \smallint 4.\frac{{1 – \cos x}}{2}dx$
$ = \smallint 2\left( {1 – \cos x} \right)dx = 2\smallint \left( {1 – \cos x} \right)dx$$ = 2\left( {x – \sin x} \right) + C$;
c)
Chú ý: Công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha cos\alpha $ nên $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}$
$\smallint {\left( {sin\frac{x}{2} – cos\frac{x}{2}} \right)^2}dx = \smallint \left( {si{n^2}\frac{x}{2} – 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2}} \right)dx$
$ = \smallint \left( {si{n^2}\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2} – 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}} \right)dx$
$ = \smallint \left( {1 – \sin x} \right)dx = x + cosx + C$;
d)
Chú ý: $1 + ta{n^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$; $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
$\smallint \left( {x + ta{n^2}x} \right)dx = \smallint \left( {x – 1 + 1 + ta{n^2}x} \right)dx$
$ = \smallint \left( {x – 1 + \frac{1}{{co{s^2}x}}} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} – x + \tan x + C$.
Câu 4.5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Biết rằng, $f’\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Tính giá trị $f\left( 4 \right)$.
Lời giải
Chú ý: $f(x) = \int {f’\left( x \right)dx} $
Ta có: $f(x) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {x^2} – \frac{1}{x} + C} $
mà $f\left( 1 \right) = 1$
Nên ${1^2} – \frac{1}{1} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$
Suy ra $f(x) = {x^2} – \frac{1}{x} + 1$
Vậy $f\left( 4 \right) = {4^2} – \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}$
Câu 4.6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Xét điểm $M\left( {x;f\left( x \right)} \right)$ thay đổi trên $\left( C \right)$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ là ${k_M} = {(x – 1)^2}$ và điểm $M$ trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f\left( x \right)$.
Lời giải
Ta có: ${k_M} = f'(x)$
Suy ra $f(x) = \int {f'(x)dx = } \int {f'(x)dx} $
$ = \int {{{(x – 1)}^2}dx = } \int {({x^2} – 2x + 1)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + x + C$
Ta lại có, điểm $M$ trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung
Suy ra, $x = 0$ thì $f(x) = 0$
Tức là $f(0) = 0$$ \Rightarrow \frac{{{0^3}}}{3} – {0^2} + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$
Vậy $f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + x$.
Câu 4.7. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v\left( t \right) = 160 – 9,8t\left( {\;m/s} \right)$. Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau $t = 5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
a) Ta có:
$v\left( t \right) = 160 – 9,8t$
$ \Rightarrow $ độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ là:
$s(t) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {160 – 9,8t} \right)dt = 160t – 4,9{t^2} + C} $
Mà $s(0) = 0$ nên $160.0 – 4,{9.0^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0$
Nên $s(t) = 160t – 4,9{t^2}$
Vậy sau $t = 5$ giây thì độ cao của viên đạn là:
$s(5) = 160.5 – 4,{9.5^2} = \frac{{1355}}{2} = 677,5\,m$.
b) Viên đạn đạt độ cao lớn nhất$ \Leftrightarrow v(t) = 0$$ \Leftrightarrow 160 – 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{800}}{{49}}$
Suy ra viên đạn đạt độ cao lớn nhất bằng $s\left( {\frac{{800}}{{49}}} \right) = \frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1\,m$
