Giải Toán 12 kết nối tri thức bài 3 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp:
* Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = – \infty $.
* Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {y_0}$.
* Đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0$
Câu 1.16. Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} – 1}}$.
Hình 1.26
Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = – \infty $
b) Từ câu a), suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1;x = – 1$. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$
Câu 1.17. Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 1}}$ không?
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x – 1)(x + 3)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 3) = 4$.
Tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(x – 1)(x + 3)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 3) = 4$.
Do đó đường thẳng $x = 1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 1}}$
Câu 1.18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}$
b) $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$
Lời giải
a) Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = – \frac{1}{2};$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = – \frac{1}{2}$
Do đó, đường thẳng $y = \frac{{ – 1}}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}$.
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = – \infty ;$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)}^ + }} \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = + \infty $
Do đó, đường thẳng $x = \frac{{ – 1}}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}$.
b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] = – \infty $
Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$ không có tiệm cận ngang.
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = – \infty ;$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = + \infty $
Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$ có tiệm cận đứng là $x = – 2$
Ta có: $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = 2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – (2x – 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}} – (2x – 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [f(x) – (2x – 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}} – (2x – 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0$
Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$ có tiệm cận xiên là: $y = 2x – 3$.
Câu 1.19. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là
$C\left( x \right) = 2x + 50\;\;$(triệu đồng).
Khi đó $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f\left( x \right)$ giảm và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?
Lời giải
Ta Có: $f(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x} = 2 + \frac{{50}}{x}$.
Suy ra, ${f^\prime }(x) = – \frac{{50}}{{{x^2}}} < 0$. Do đó hàm số ${\text{f}}({\text{x}})$ giảm.
Lại có, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{50}}{x}} \right) = 2$.
Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định.
Câu 1.20. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144\;{m^2}$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x\left( m \right)$.
a) Viết biểu thức tính chu vi $P\left( x \right)$ (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P\left( x \right)$.
Lời giải
a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là $\frac{{144}}{x}(m)(x > 0)$.
Chu vi mảnh vườn là $\left. {P(x) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = \frac{{2{x^2} + 288}}{x}(\;{\text{m}}){\text{x}} > 0} \right)$.
b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^2} + 288}}{x} = + \infty $.
Tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} P(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{2{x^2} + 288}}{x} = – \infty $
Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [P(x) – 2x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) – 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{288}}{x} = 0$
Tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [P(x) – 2x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) – 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{288}}{x} = 0$.
Do đó $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
