Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 15 Phương trình đường thẳng trong không gian chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp
$\Delta :\left\{ \begin{gathered}
+ Qua\,M({x_0};{y_0};{z_0}) \hfill \\
+ VTCP\,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} = (a;b;c) \hfill \\
\end{gathered} \right.$• Phương trình tham số đường thẳng $\Delta $: $\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,,\,t \in \mathbb{R}).$• Phương trình chính tắc đường thẳng $\Delta $: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\,({a_1}{a_2}{a_3} \ne 0).$
Câu 5.11. Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {1;1;2} \right)$ và song song với đường thẳng $d:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}$.
Lời giải
+ Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {1;1;2} \right)$.
+ Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)$
mà $\Delta //d$ nên $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)$
Vậy
+ Phương trình tham số của ∆ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 1 + t} \\
{z = 2 + 3t}
\end{array};} \right.$
+ Phương trình chính tắc của ∆ là $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}.$
Câu 5.12. Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {2; – 1;4} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – z – 1 = 0$.
Lời giải
+ $\Delta $ đi qua $A\left( {2; – 1;4} \right)$
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; – 1} \right)$
mà $\Delta \bot (P)$ nên $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; – 1} \right)$
Vậy
+ Phương trình tham số của ∆ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 + t} \\
{y = – 1 + 3t} \\
{z = 4 – t}
\end{array};} \right.\;$
+ Phương trình chính tắc của ∆ là $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 4}}{{ – 1}}.$
Câu 5.13. Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( {2;3; – 1} \right)$ và $B\left( {1; – 2;4} \right)$.
Lời giải
+ $\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( {2;3; – 1} \right)$
+ $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 5;5} \right)$
Vậy
+ Phương trình tham số của ∆ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 – t} \\
{y = 3 – 5t} \\
{z = – 1 + 5t}
\end{array};} \right.\;$
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là $\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{5}.$
Câu 5.14. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + t} \\
{y = 1} \\
{z = 3 + 2t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2s} \\
{y = 2 + s} \\
{z = 1 + 3s}
\end{array}} \right.$
a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.
Lời giải
a) + Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua $A\left( {1;3;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2; – 1;3} \right),$
+ Đường thẳng ${\Delta _2}\;$đi qua $B\left( {8; – 2;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( { – 1;1;2} \right)$.
Ta có: $\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( { – 5; – 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 $ $ \Rightarrow \vec u$ và $\vec v$ không cùng phương. (1)
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {7; – 5;0} \right)$ $ \Rightarrow \vec n \cdot \overrightarrow {AB} = – 35 + 35 = 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${\Delta _1}$và ${\Delta _2}$ cắt nhau.
b)+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nên đi qua điểm $A\left( {1;3;2} \right)$
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( { – 5; – 7;1} \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ – 5\left( {x – 1} \right) – 7\left( {y – 3} \right) + 1\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 5x + 7y – z – 24 = 0.$
Câu 5.15. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 2}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{z}{2}.$
a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.
Lời giải
a) ${\Delta _1}$ đi qua $A\left( {1;3;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {3;1;2} \right),$
${\Delta _2}\;$đi qua $B\left( {1; – 1;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( {3;1;2} \right)$.
+ Ta có $\vec u = \vec v$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau (1)
+ $\overrightarrow {AB} = \left( {0; – 4; – 2} \right)$ suy ra $\vec n = \left[ {\vec u,\overrightarrow {AB} } \right] = 6\left( {1;1; – 2} \right) \ne \overrightarrow 0 $ nên $\vec u$ và $\overrightarrow {AB} $ không cùng phương (2).
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng ${\Delta _1}$và ${\Delta _2}$ song song với nhau.
b) + Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nên đi qua điểm $A\left( {1;3;2} \right)$
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec n = \left[ {\vec u,\overrightarrow {AB} } \right] = 6\left( {1;1; – 2} \right) \ne \overrightarrow 0 $.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $1\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 3} \right) – 2\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + y – 2z = 0.$
Câu 5.16. Trong không gian $Oxyz$, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + t} \\
{y = 1} \\
{z = 3 + 2t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2s} \\
{y = 2 + s} \\
{z = 1 + 3s}
\end{array}} \right.$
Lời giải
+ ${\Delta _1}$ đi qua $A\left( { – 1;1;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;0;2} \right),$
+ ${\Delta _2}\;$đi qua $B\left( { – 1;2;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( {2;1;3} \right)$.
Ta có: $\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( { – 2;1;1} \right) \ne \overrightarrow 0 $ (1)
Ta cũng có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; – 2} \right) \Rightarrow \vec n \cdot \overrightarrow {AB} = 1 – 2 = – 1 \ne 0$ (2)
Suy ra ${\Delta _1}$và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Câu 5.17. Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\;$và ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}.$
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
Hình 5.31. Hình ảnh một nút giao thông khác mức
Lời giải
a) Hai con đường thuộc hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là
$\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; – 1;3} \right),\;\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 1;1;1} \right)$
Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} $
Do đó hai con đường thuộc hai đường vuông góc với nhau.
b) Nút giao thông trong hình vẽ là nút giao thông khác mức vì độ cao của các đường giao thông khác nhau để tránh xung đột.
Câu 5.18. Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A\left( {1;3;4} \right)$ và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec v = \left( {2;1;6} \right)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)$.
b) Mục tiêu đặt tại điểm $N\left( { – 3;1; – 8} \right)$.
Lời giải
a) $\vec v = \left( {2;1;6} \right)$
Mục tiêu đặt tại M, ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {6;\frac{1}{2};17} \right)$
Ta có: $\frac{2}{6} \ne \frac{1}{{\frac{1}{2}}}$ nên $\overrightarrow {AM} $ và $\vec v = \left( {2;1;6} \right)$ không cùng phương
Do đó viên đạn trên bắn không trúng mục tiêu.
b) $\vec v = \left( {2;1;6} \right)$
Mục tiêu đặt tại N, ta có $\overrightarrow {AN} = \left( { – 4; – 2; – 12} \right)$
Ta có: $\frac{2}{{ – 4}} = \frac{1}{{ – 2}} = \frac{6}{{ – 12}} < 0$ nên $\overrightarrow {AM} $ và $\vec v = \left( {2;1;6} \right)$ cùng phương nhưng ngược hướng.
Do đó viên đạn trên bắn không trúng mục tiêu.
Câu 5.19. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao $6\;m$ vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí $O$ trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột $3\;m$ về hướng $S{60^ \circ }E$ (hướng tạo với hướng nam góc ${60^ \circ }$ và tạo với hướng đông góc ${30^ \circ }$ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
Hình 5.32
Lời giải
Ta có $A\left( {0;0;6} \right)$ . $A’\left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)$
$\overrightarrow {AA’} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2}; – 6} \right) = \frac{3}{2}\left( {1;\sqrt 3 ; – 4} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AA’$ nên phương trình đường thẳng chứa tia nắng tại thời điểm đang xét là $\frac{x}{1} = \frac{y}{{\sqrt 3 }} = \frac{{z – 6}}{{ – 4}}.$
