Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 18 Xác suất có điều kiện chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp:
• Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, với $P(B) > 0$. Khi đó
$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P(B)}}$
• Công thức nhân xác suất $P\left( {AB} \right) = P(B).P\left( {A|B} \right)$
Câu 6.1. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suât để người đó rút được thẻ số 10.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Người đó rút được thẻ số 10”; B là biến cố: “Người đó rút được thẻ mang số chẵn”. Ta cần tính $P(A|B)$.
Ta có AB = {10}.
$P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{20}}$; $P\left( B \right) = \frac{{10}}{{20}}$.
Vậy $P(A|B) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{10}}$
Câu 6.2. Cho $P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,51;P\left( {B\mid A} \right) = 0$,8. Tính $P\left( {A\mid B} \right)$.
Lời giải
Ta có: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P(A)}}$
$ \Rightarrow P\left( {AB} \right)\; = \;P\left( A \right)P(B|A)\;$$ = \;0,2\;\;0,8\; = \;0,16.$
Vậy $P(A|B) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,16}}{{0,51}} \approx 0,3137.$
Câu 6.3. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 .
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”;
B là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
a) Ta cần tính P(A | B).
Ta có $n\left( \Omega \right)\; = 6.6 = \;36$;
$\;AB\; = \;\left\{ {\left( {2,\;5} \right);\;\left( {5,2} \right)} \right\}$ $ \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 2$$ \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}}.$
$\bar B = \left\{ {\left( {a,b} \right)|a,b \in \left\{ {1,2,3,4,6} \right\}} \right\}$
$ \Rightarrow n\left( {\bar B} \right) = 5.5 = 25$$ \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = \frac{{25}}{{36}}$
$ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 – P\left( {\bar B} \right)$$ = 1 – \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}$
Vậy $P(A|B) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{{11}}$.
b) Ta cần tính P(B|A).
Ta có $P(B|A) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}}$.
Ở câu a) ta đã có $P\left( {AB} \right)\; = \;\frac{2}{{36}}.$
Ta cần tính P(A).
Ta có $A = \;\left\{ {\left( {1,\;6} \right);\;\left( {2,\;5} \right);\;\left( {3,\;4} \right),\left( {4,\;3} \right);\;\left( {2,\;5} \right);\;\left( {1,\;6} \right)} \right\}$
$ \Rightarrow n\left( A \right)\; = \;6$$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{36}}.$
Vậy $P(B|A) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Câu 6.4. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10”
B là biến cố: “ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
Ta cần tính $P(A|B).$
Ta có $AB\; = \;\left\{ {\left( {5,\;6} \right);\;\left( {5,\;5} \right);\;\left( {6,\;5} \right)} \right\}\;$
$ \Rightarrow n\left( {AB} \right)\; = \;3\;$$\; \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{36}}$
Ta lại có $P\left( B \right) = 1 – P\left( {\bar B} \right) = 1 – \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}.$
Vậy $P(A|B) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{3}{{11}}$.
Câu 6.5. Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7 . Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9 . Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4 . Tính xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Lời giải
a) Gọi $A$ là biến cố: “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và B là biến cố: “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Khi đó biến cố “Cả hai thí nghiệm đều thành công” là AB.
Theo công thức nhân xác suất ta có $P\left( {AB} \right)\; = \;P\left( A \right)P(B|A).$
Theo bài ra $P\left( A \right)\; = \;0,7;\;P(B|A)\; = \;0,9.$
Thay vào ta được $P\left( {AB} \right)\; = \;0,7\;\;0,9\; = \;0,63.$
b) Biến cố: “Cả hai thí nghiệm đều không thành công” là $\bar A\bar B$.
Theo công thức nhân xác suất ta có $P\left( {\bar A\bar B} \right)\; = \;P\left( {\bar A} \right)P(\bar B|\bar A).$
Ta có P($\bar B$|$\bar A$) là xác suất để thí nghiệm thứ hai không thành công nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công.
Do đó, từ dữ kiện của bài toán ta có$\;P(\bar B|\bar A)\; = \;1\;–\;0,4\; = \;0,6;$
$P\left( {\bar A} \right)\; = \;1\;–\;P\left( A \right)\; = \;1\;–\;0,7\; = \;0,3.\;$
Vậy $P\left( {\bar A\bar B} \right)\; = \;\left( {0,3} \right)\left( {0,6} \right)\; = \;0,18.$
c) Biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công” là $A\bar B.$
Theo công thức nhân xác suất ta có $P\left( {A\bar B} \right)\; = \;P\left( A \right)P(\bar B|A).$
Ta có $P(\bar B|A)$ là xác suất để thí nghiệm thứ hai không thành công nếu thí nghiệm thứ nhất thành công.
Do đó từ dữ kiện của bài toán ta có $P(\bar B|A)\; = \;1\;–\;0,9\; = \;0,1;\;P\left( A \right)\; = \;0,7.$
Vậy $P(\bar B|A)\; = \;0,7\;\;0,1\; = \;0,07.$
Câu 6.6. Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là $\frac{1}{3}$. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Lần 1 Hà lấy được kẹo màu cam”; B là biến cố: “Lần 2 Hà lấy được kẹo màu cam”.
Khi đó AB là biến cố: “Cả hai lần Hà lấy được kẹo màu cam”.
Gọi n là số kẹo ban đầu trong túi.
Ta có $P\left( A \right) = \frac{6}{n}$, $P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{n – 1}}.$
Theo công thức nhân xác suất:
$P\left( {AB} \right)\; = \;P\left( A \right)P(B|A)\;$$ = \;\frac{6}{n}.\frac{5}{{n – 1}} = \frac{{30}}{{{n^2} – n}} = \frac{1}{3}$
$ \Rightarrow {n^2} – n – 90 = 0\; \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
n\; = \;10\,\,(nhận)\, \hfill \\
n\; = \; – 9\,\,(loại) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.
