Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài ôn cuối chương 5 chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 5.31. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y – 3z + 1 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có toạ độ là
A. $\left( {1;2;3} \right)$.
B. $\left( {1; – 2;3} \right)$.
C. $\left( {1;2; – 3} \right)$.
D. $\left( {1; – 2; – 3} \right)$.
Lời giải
Chú ý: Nếu $(P):Ax + By + Cz + D = 0$ thì $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$
$\left( P \right):x – 2y – 3z + 1 = 0$$ \Rightarrow (P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2; – 3} \right)$
Chọn D
Câu 5.32. Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {1; – 1;2} \right)$ và nhận vectơ $\vec n = \left( {2;1; – 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến là
A. $x – y + 2z + 1 = 0$.
B. $x – y + 2z – 6 = 0$.
C. $2x + y – z – 1 = 0$.
D. $2x + y – z + 1 = 0$.
Lời giải
Chú ý: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vectơ pháp tuyến $\,\vec n = (A;\,B;\,C)$ là: $A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {1; – 1;2} \right)$ và nhận vectơ $\vec n = \left( {2;1; – 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x – 1) + 1(y + 1) – 1(z – 2) = 0$
$ \Leftrightarrow 2x – 2 + y + 1 – z + 2 = 0$$ \Leftrightarrow 2x + y – z + 1 = 0$
Chọn D
Câu 5.33. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là
A. $\left( {1; – 2;3} \right)$.
B. $\left( {2;1; – 2} \right)$.
C. $\left( {2;1;2} \right)$.
D. $\left( {1;2;3} \right)$.
Lời giải
Chú ý: $\Delta $: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}, ({a_1}{a_2}{a_3} \ne 0).$
$ \Rightarrow $ $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b;c} \right)$.
$d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}$$ \Rightarrow $ $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; – 2} \right)$.
Chọn B
Câu 5.34. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = – 2 + t\;} \\
{z = 3 – t.}
\end{array}} \right.$ . Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là
A. $\left( {1; – 2;3} \right)$.
B. $\left( {2;0;0} \right)$.
C. $\left( {2;1; – 1} \right)$.
D. $\left( {2;1;1} \right)$.
Lời giải
Chú ý: $\Delta $: $\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right., (t \in \mathbb{R}).$$ \Rightarrow $ $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b;c} \right)$.
$d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = – 2 + t\;} \\
{z = 3 – t.}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow $ $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)$.
Chọn C
Câu 5.35. Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I\left( {2; – 1;1} \right)$ và nhận vectơ $\vec u = \left( {1;2; – 3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương là
A. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{1}$.
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}$.
C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}$.
D. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}$.
Lời giải
Chú ý:
$\Delta $ đi qua điểm $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vectơ chỉ phương ${\vec u_\Delta } = (a;b;c)$
$ \Rightarrow $ $\Delta $ có phương trình chính tắc là: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}, ({a_1}{a_2}{a_3} \ne 0).$
$d$ đi qua $I\left( {2; – 1;1} \right)$ và nhận vectơ $\vec u = \left( {1;2; – 3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}$
Chọn C
Câu 5.36. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1;0; – 1} \right),B\left( {2;1;1} \right)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 3t} \\
{y = t} \\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + t} \\
{y = t} \\
{z = – 1 + 2t}
\end{array}} \right.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 1 + t} \\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 3t} \\
{y = t} \\
{z = – 1 + 2t.}
\end{array}} \right.$
Lời giải
+ $AB$ đi qua $A\left( { – 1;0; – 1} \right)$.
+ $AB$ có một vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$.
Suy ra , $AB$ có phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 3t} \\
{y = t} \\
{z = – 1 + 2t}
\end{array}} \right.$
Chọn D
Câu 5.37. Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I\left( {2;1; – 3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + z – 3 = 0$ là
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$.
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{1}$.
C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{1}$.
D. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}$.
Lời giải
+ $d$ đi qua $I\left( {2;1; – 3} \right)$
+ $(P)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2;1} \right)$.
Do $d \bot (P)$ nên $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; – 2;1} \right)$.
Vậy $d:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$
Chọn A
Câu 5.38. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 3)^2} = 4$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $\left( S \right)$ lần lượt là
A. $I\left( {1;0;3} \right),R = 4$.
B. $I\left( {1;0;3} \right),R = 2$.
C. $I\left( { – 1;0;3} \right),R = 2$.
D. $I\left( { – 1;0;3} \right),R = 4$.
Lời giải
Chú ý:
Mặt cầu $\left( S \right):{(x – a)^2} + {(y – b)^2} + {(z – c)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$.
$\left( S \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 3)^2} = 4$$ \Rightarrow $ $(S)$ có tâm $I\left( { – 1;0;3} \right)$, $R = \sqrt 4 = 2$.
Chọn C
Câu 5.39. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y + 2z – 3 = 0$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S$ ) lần lượt là
A. $I\left( {1; – 2; – 1} \right),R = 3$.
B. $I\left( {1;2;1} \right),R = 9$.
C. $l\left( {1;2;1} \right),R = 3$.
D. $I\left( {1; – 2; – 1} \right),R = 9$.
Lời giải
Chú ý:
Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0$. Khi đó, $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} $
$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y + 2z – 3 = 0$$ \Rightarrow $$(S)$ có tâm $I\left( {1; – 2; – 1} \right)$, $R = \sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 1)}^2} – ( – 3)} = 3$
B – TỰ LUẬN
Câu 5.40. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;0; – 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { – 1; – 2;3} \right)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
b) Viết phương trình đường thẳng $AC$.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AC$.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm $A$ và đi qua $B$.
Lời giải
a) + Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ qua $A\left( {1;0; – 1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;1;3} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( { – 2; – 2;4} \right)$
$ \Rightarrow $ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = 2\left( {5; – 1;2} \right)$ .
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:
$5\left( {x – 1} \right) – 1\left( {y – 0} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x – y + 2z – 3 = 0.$
b) + Đường thẳng $AC$ qua $A\left( {1;0; – 1} \right)$.
+ Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là $\overrightarrow {AC} = \left( { – 2; – 2;4} \right) = – 2\left( {1;1; – 2} \right)$.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AC là $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
c) + Tâm của mặt cầu là trung điểm $I$ của AC $ \Rightarrow I\left( {0; – 1;1} \right)$.
+ Bán kính của mặt cầu là $R = \frac{{AC}}{2}$ $ = \frac{{\sqrt {{{\left( { – 1 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 0} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} }}{2}$$ = \frac{{\sqrt {24} }}{2} = \sqrt 6 $
Vậy phương trình mặt cầu là ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6.$
d) + Mặt cầu có tâm A.
+ Mặt cầu có bán kính là $R = AB = \sqrt {{{\left( {0 – 1} \right)}^2} + {{\left( {1 – 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} .$
Vậy mặt cầu có phương trình là ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11.$
Câu 5.41. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t} \\
{y = – 2 + t} \\
{z = 4 – 2t}
\end{array}} \right.$
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ và gốc toạ độ $O$.
Lời giải
+ Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;1; – 2} \right)$ và d đi qua $A\left( {1; – 2;4} \right)$.
+ $\overrightarrow {OA} = \left( {1; – 2;4} \right)$.
Suy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\vec n = \left[ {\vec u,\overrightarrow {OA} } \right] = – 3\left( {0;2;1} \right){\text{\;}}$.
Mặt khác, đi qua $O(0;0;0)$.
Vậy $\left( P \right)$ có phương trình là $0\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 0} \right) + 1\left( {z – 0} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2y + z = 0$.
Câu 5.42. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 2z – 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {1; – 1;2} \right)$, $B\left( { – 1;1;0} \right)$.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.
c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Lời giải
a) Ta có: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 – 2.( – 1) + 2.2 – 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2 + 4 – 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2.$
b)
Chú ý: Cho $(P):Ax + By + Cz + {D_1} = 0$. Khi đó:
$(Q)//(P)$$ \Rightarrow (Q):Ax + By + Cz + D = 0$ ($D \ne {D_1}$).
Cách 1:
Ta có: $(Q)//(P)$$ \Rightarrow (Q):x – 2y + 2z + D = 0$ ($D \ne – 1$).
Mà $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {1; – 1;2} \right)$ nên $1 – 2( – 1) + 2.2 + D = 0 \Rightarrow D = – 7$ (nhận)
Vậy $(Q):x – 2y + 2z – 7 = 0$
Cách 2:
+ Mặt phẳng (Q) đi qua $A\left( {1; – 1;2} \right)$
+ (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2;2} \right)$
Mà $(Q)//(P)$$ \Rightarrow (Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2;2} \right)$
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là $1\left( {x – 1} \right) – 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 2y + 2z – 7 = 0.$
c) + Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1; – 2;2} \right)$
+ $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;2; – 2} \right)$
Suy ra mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\left[ {\vec n,\overrightarrow {AB} } \right] = – 2\left( {0;1;1} \right).$
Mà $\left( R \right)$ đi qua $A\left( {1; – 1;2} \right)$
Nên phương trình của (R) là $0\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z – 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow y + z – 1 = 0$.
Câu 5.43. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{2}$, $d’:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}$.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d’$.
b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $d$.
c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $A$ và $d$.
d) Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$.
Lời giải
a)
+ Đường thẳng d đi qua $M\left( {0;1;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;2;2} \right),$
+ Đường thẳng $d’$ đi qua $N\left( { – 1; – 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( {2;2; – 1} \right)$.
Ta có $\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( { – 6;5; – 2} \right) \ne \overrightarrow 0 $ (1).
Ta lại có $\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 3;3} \right) \Rightarrow \vec n \cdot \overrightarrow {MN} = 6 – 15 – 6 = – 15 \ne 0$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra d và d’ chéo nhau.
b) + Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;2} \right)$.
+ Đường thẳng $\Delta $ song song với d nên $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;2} \right).$
+ Ta lại có $\Delta $ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 2}}{2}.$
c) + Đường thẳng $d$ đi qua $M(0;1;0)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;2} \right)$.
+ $\overrightarrow {AM} = \left( { – 1;1; – 2} \right)$.
Suy ra mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\vec u,\overrightarrow {AM} } \right] = – 3\left( {2;0; – 1} \right)$.
Ta lại có mặt phẳng (P) đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $2\left( {x – 1} \right) + 0\left( {y – 0} \right) – 1\left( {z – 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2x – z = 0$.
d) + Phương trình mặt phẳng (Oxz) là $y = 0$
+ Phương trình đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{2}$.
Tọa độ giao điểm của $d$ với $\left( {{\text{Oxz}}} \right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{gathered}
y = 0\,\,(1) \hfill \\
\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{2}\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Từ (1) $ \Rightarrow y = 0$ thay vào (2) ta được $\frac{x}{1} = \frac{{0 – 1}}{2} = \frac{z}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1}}{2} = \frac{z}{2}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{{ – 1}}{2} \hfill \\
\frac{z}{2} = \frac{{ – 1}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{{ – 1}}{2} \hfill \\
z = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy hệ có nghiệm $\left\{ \begin{gathered}
x = \frac{{ – 1}}{2} \hfill \\
y = 0 \hfill \\
z = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy tọa độ giao điểm của d và (Oxz) là $\left( { – \frac{1}{2};0; – 1} \right).$
Câu 5.44. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y – 2z – 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ – 1}}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Lời giải
+ Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2; – 2} \right)$.
+ Đường thẳng d đi qua $M(1; – 1;0)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)$.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; – 3;5} \right)$.
Ta lại có $\left( Q \right)$ đi qua $M(1; – 1;0)$.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: $4\left( {x – 1} \right) – 3\left( {y + 1} \right) + 5\left( {z – 0} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 4x – 3y + 5z – 7 = 0.$
Câu 5.45. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
$d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}\;$ và $d’:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.$
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ và song song với đường thẳng $d’$.
Lời giải
+ Đường thẳng d đi qua $M\left( { – 1;1;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; – 1} \right),$
+ Đường thẳng d’ đi qua $N\left( {1;2; – 1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( {1;1;2} \right),$
Suy ra mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {u_d^{\text{‘}}} } \right] = \left( {5; – 3; – 1} \right).$
Ta lại có $\left( P \right)$ đi qua $M\left( { – 1;1;0} \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $5\left( {x + 1} \right) – 3\left( {y – 1} \right) – 1\left( {z – 0} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 5x – 3y – z + 8 = 0.$
Câu 5.46. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x – y – z – 1 = 0,\left( Q \right):2x + y – z – 2 = 0$ và điểm $A\left( { – 1;2;0} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua điểm $A$ đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Lời giải
+ Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 1; – 1} \right)$
+ Một vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; – 1} \right)$
Suy ra (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2; – 1;3} \right).$
Ta lại có $\left( R \right)$ đi qua $A\left( { – 1;2;0} \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng (R) là: $2\left( {x + 1} \right) – 1\left( {y – 2} \right) + 3\left( {z – 0} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 2x – y + 3z + 4 = 0.$
Câu 5.47. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 2}}$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t} \\
{y = – 2 + t} \\
{z = 2t.}
\end{array}} \right.$ a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d’$.
b) Tính góc giữa $d$ và $d’$.
Lời giải
a) + Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { – 2; – 3;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; – 2} \right)$.
+ Đường thẳng $d{\text{‘}}$ đi qua điểm $B\left( {1; – 2;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( { – 1;1;2} \right)$.
Ta có
+ $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left( {6;0;3} \right) \ne \overrightarrow 0 $. (1)
+ $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; – 3} \right)$$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 9 \ne 0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng $d,{\text{\;}}d’$ chéo nhau.
b) Ta có $\cos \left( {d,{\text{\;}}d’} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|}}$
$ = \frac{{\left| {1.( – 1) + 2.1 + ( – 2).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} .\sqrt {{{( – 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$
$ \Rightarrow \left( {d,d’} \right) \approx 66^\circ $.
Câu 5.48. Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi đường thẳng $d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y – 2z + 3 = 0$.
Lời giải
+ Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2; – 2;1} \right)$.
+ Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;1; – 2} \right)$.
Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec n} \right|}}$
$ = \frac{{\left| {2.1 + ( – 2).1 + 1( – 2)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}$
$ \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 15,8^\circ $.
Câu 5.49. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z – 1 = 0$ và mặt phẳng Oxy.
Lời giải
Ta có:
+ $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
+ $\overrightarrow {{n_{Oxy}}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
Suy ra $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_{Oxy}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{Oxy}}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
$ \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 54,74^\circ $
Câu 5.50. Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau $2\;m$, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài $4\;m;4,4\;m;4,8\;m$. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Lời giải
Gọi 3 vị trí trên mặt hồ là A, B, C thì tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng 2 m. Gọi dây dọi lần lượt là AA’, BB’, CC’ có độ dài lần lượt là 4 m; 4,4 m; 4,8 m.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O là trung điểm của BC, tia Ox chứa điểm A, tia Oy chứa điểm B, tia Oz đi qua trung điểm của B’C’ và đơn vị trên các trục là mét.
Ta có:
$OB = OC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.2 = 1$
$OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $ (Đường trung tuyến tam giác đều)
$ \Rightarrow A’ = \left( {\sqrt 3 ;0;4} \right)$, $B’ = \left( {0;1;4,4} \right)$, $C’ = \left( {0; – 1;4,8} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {A’B’} = \left( { – \sqrt 3 ;1;0,4} \right)$, ${\text{\;}}\overrightarrow {A’C’} = \left( { – \sqrt 3 ; – 1;0,8} \right).$
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow {n’} = \left[ {\overrightarrow {A’B’} ,\overrightarrow {A’C’} } \right] = 0,4\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 ;1;5} \right).$
$ \Rightarrow $mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;1;5} \right)$
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\vec k = \left( {0;0;1} \right).$
Do đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A’B’C’} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec k} \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec k} \right|}}$
$\frac{{\left| {\sqrt 3 .0 + 1.0 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {5^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$
Suy ra góc cần tìm gần bằng $21,8^\circ .$
Câu 5.51. Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng $Oxy$, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A\left( {1;2; – 1} \right)$ và $B\left( {5;6; – 2} \right)$. Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Lời giải
Ta có
+ Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$
+ $\overrightarrow {AB} = \left( {4;4; – 1} \right)$
Khi đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec k,\overrightarrow {AB} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec k.\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\vec k} \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}$
$ = \frac{{\left| {0.4 + 0.4 + 1.( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }}$
$ \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 10^\circ $
Câu 5.52. Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuât). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí $B$ là tập hợp những điểm $A$ nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat {BAO} = {90^ \circ }$, với $O$ là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian $Oxyz$, giả sử bề mặt Trái Đất $(S$ ) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ và người quan sát ở vị trí $B\left( {1;1; – 1} \right)$.
Gọi $A$ là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí $B$. Tính khoảng cách $AB$.
Lời giải
Ta có: Bán kính $OA = 1$ và $OB = \sqrt {{{(1 – 0)}^2} + {{(1 – 0)}^2} + {{( – 1 – 0)}^2}} = \sqrt 3 $
$ \Rightarrow AB = \sqrt {O{B^2} – O{A^2}} = \sqrt 2 $
