Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài Ôn tập chương 2 chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 2.25. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.
C. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} $.
D. $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$.
Lời giải
Chọn D
Câu 2.26. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Lấy $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC’$. Vectơ $\overrightarrow {AM} $ bằng
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA’} $.
C. $\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA’} $.
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $.
Lời giải
Chọn B
Câu 2.27. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AB’} $.
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AC’} $.
C. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {AD’} $.
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AC’} $.
Lời giải
Chọn D
Câu 2.28. Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a$, gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} $ bằng
A. $\frac{{{a^2}}}{4}$.
B. $\frac{{{a^2}}}{2}$.
C. $\frac{{{a^2}}}{3}$.
D. ${a^2}$.
Lời giải
Chọn B
Câu 2.29. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {1; – 2;2} \right),\vec b = \left( { – 2;0;3} \right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\vec a + \vec b = \left( { – 1; – 2;5} \right)$.
B. $\vec a – \vec b = \left( {3; – 2; – 1} \right)$.
C. $3\vec a = \left( {3; – 2;2} \right)$.
D. $2\vec a + \vec b = \left( {0; – 4;7} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Câu 2.30. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 1;0;3} \right),B\left( {2;1; – 1} \right)$ và $C\left( {3;2;2} \right)$. Toạ độ của điểm $D$ là
A. $\left( {2; – 1;0} \right)$.
B. $\left( {0; – 1; – 6} \right)$.
C. $\left( {0;1;6} \right)$.
D. $\left( { – 2;1;0} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Câu 2.31. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1;0; – 1} \right),B\left( {0; – 1;2} \right)$ và $G\left( {2;1;0} \right)$. Biết tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G$. Toạ độ của điểm $C$ là
A. $\left( {5;4; – 1} \right)$.
B. $\left( { – 5; – 4;1} \right)$.
C. $\left( {1;2; – 1} \right)$.
D. $\left( { – 1; – 2;1} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Câu 2.32. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;1; – 3} \right),\vec b = \left( { – 2; – 1;2} \right)$. Tích vô hướng $\vec a \cdot \vec b$ bằng
A. -2 .
B. -11 .
c. 11 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Câu 2.33. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;1; – 2} \right),\vec b = \left( {0; – 1;1} \right)$. Góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng
A. ${60^ \circ }$.
B. ${135^ \circ }$.
C. ${120^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Câu 2.34. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( { – 2;2;2} \right),\vec b = \left( {1; – 1; – 2} \right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng
A. $\frac{{ – 2\sqrt 2 }}{3}$.
B. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$.
D. $\frac{{ – \sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Chọn A
B – TỰ LUẬN
Câu 2.35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $
Lời giải
Cách 1:
$VT = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {DC} $
$ = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow 0 = VP$
Cách 2: Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC và BD.
Ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \;$và $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} $.
Suy ra, $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} .$
Câu 2.36. Cho tứ diện $ABCD$, lấy hai điểm $M,N$ thoả mãn $\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MA} = \vec 0$ và $\overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {DN} $. Hãy biểu diễn $\overrightarrow {MN} $ theo $\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {BC} $.
Lời giải
Ta có:
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} $
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {DN} = – \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {DN} $ (1)
Ta lại có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} $$ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} – 2\overrightarrow {DN} $ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được $3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $.
Suy ra $\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$
Câu 2.37. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA’$.
a) Biểu diễn $\overrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {AA’} $.
b) Từ câu $a$, hãy chứng tỏ ba điểm $A,G$ và $C’$ thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA’$
Nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow – 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $
Suy ra $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} } \right).$
b) Theo quy tắc hình hộp ta có:
$\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $
Mà $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = 3\overrightarrow {AG} $ (Theo câu a)
Nên $\overrightarrow {AC’} = 3\overrightarrow {AG} $
Do đó ba điểm A, G, C’ thẳng hàng.
Câu 2.38. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2; – 1;3} \right),B\left( {1;1; – 1} \right)$ và $C\left( { – 1;0;2} \right)$.
a) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$.
Lời giải
a) Gọi $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$là trọng tâm của tam giác $ABC$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{2}{3} \hfill \\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 0 \hfill \\
{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{4}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\,\,0;\,\,\frac{4}{3}} \right).$.
b) Do M thuộc Oz nên toạ độ của M có dạng $M\left( {0;\,\,0;\,\,t} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow {BM} = \left( { – 1;\,\, – 1;\,\,t + 1} \right)$
Ta lại có $\overrightarrow {AC} = \left( { – 3;\,\,1;\,\, – 1} \right)$
Khi đó $BM \bot AC$$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 3 – 1 – t – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 1 – t = 0 \Leftrightarrow t = 1.$
Vậy $M\left( {0;\,\,0;\,\,1} \right).$
Câu 2.39. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $OABC.O’A’B’C’$ và các điểm $A\left( {2;3;1} \right),C\left( { – 1;2;3} \right)$ và $O’\left( {1; – 2;2} \right)$. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải
Chú ý: $\overrightarrow {OM} = \left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow M\left( {x;y;z} \right)$
Theo đề ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {2;3;1} \right),$$\overrightarrow {OC} = \left( { – 1;2;3} \right)$, $\overrightarrow {OO’} = \left( {1; – 2;2} \right)$
Ta có:
$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \left( {1;\,\,5;\,\,4} \right) \Rightarrow B\left( {1;\,\,5;\,\,4} \right);$
$\overrightarrow {OA’} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OO’} = \left( {3;\,\,1;\,\,3} \right) \Rightarrow A’\left( {3;\,\,1;\,\,3} \right).\;$
$\overrightarrow {OC’} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO’} = \left( {0;\,\,0;\,\,5} \right) \Rightarrow C’\left( {0;\,\,0;\,\,5} \right);$
$\overrightarrow {OB’} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO’} = \left( {2;\,\,3;\,\,6} \right) \Rightarrow B’\left( {2;\,\,3;\,\,6} \right).$
Câu 2.40. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = \left( { – 2;1;2} \right),\vec b = \left( {1;1; – 1} \right)$.
a) Xác định toạ độ của vectơ $\vec u = \vec a – 2\vec b$.
b) Tính độ dài vectơ $\vec u$.
c) Tính $cos\left( {\vec a,\vec b} \right)$.
Lời giải
a) Ta có:
$\vec a = \left( { – 2;1;2} \right)$
$2\vec b = \left( {2;2; – 2} \right)$
$ \Rightarrow \vec u = \vec a – 2\vec b = \left( { – 4;\,\, – 1;\,\,4} \right).$
b) $\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{( – 4)}^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {16 + 1 + 16} = \sqrt {33} .$
c) $\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ – 2.1 + 1.1 + 2.( – 1)}}{{\sqrt {{{( – 2)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} }}=\frac{{ – \sqrt 3 }}{3}.$
Câu 2.41. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {4;2; – 1} \right),B\left( {1; – 1;2} \right)$ và $C\left( {0; – 2;3} \right)$.
a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ và tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0$.
c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, sao cho $A,B,N$ thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;\,\, – 3;\,\,3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {9 + 9 + 9} = 3\sqrt 3 .$
b) Gọi $M(x;y;z)$ thì $\overrightarrow {CM} = (x;y + 2;z – 3)$
Do $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = – \overrightarrow {AB} $
Mà $ – \overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,3;\,\, – 3} \right)$
Nên $\left\{ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
y + 2 = 3 \hfill \\
z – 3 = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
y = 1 \hfill \\
z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $M\left( {3;\,\,1;\,\,0} \right).$
c) Theo giả thiết thì $N$ thuộc mặt phẳng toạ độ $Oxy$ nên toạ độ điểm $N\left( {a;\,\,b;\,\,0} \right).$
Do $A,\;B,\;N$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AN} $ và $\overrightarrow {AB} $ cùng phương.
Do đó $\frac{{a – 4}}{{ – 3}} = \frac{{b – 2}}{{ – 3}} = \frac{{0 + 1}}{3}$
$ \Rightarrow a = 3;\,\,b = 1 \Rightarrow N\left( {3;\,\,1;\,\,0} \right).$
Câu 2.42. Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là $0,5\;m$, cách hai tường lần lượt là $1,2\;m$ và $1,6\;m$. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là $0,4\;m$, cách hai tường đều là $1,5\;m$.
a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hình 2.53
Lời giải
a) Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $O$ là góc nhà phía trên trần nhà (điểm giao của hai bức tường và trần nhà) và trục $Ox$ là giao của bức tường bên trái với trần nhà; trục $Oy$ là điểm giao của bức tường bên phải với trần nhà; trục $Oz$ là giao của 2 bức tường; đơn vị trên mỗi trục đều là mét.
Khi đó, toạ độ của cái đèn ở vị trí ban đầu là $A\left( {1,2;\,\,1,6;\,\,0,5} \right).$ Toạ độ của cái đèn ở vị trí mới là $B\left( {1,5;\,\,1,5;\,\,0,4} \right).$
b) Khoảng cách của hai vị trí của đèn lúc đầu và lúc sau là: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \frac{{\sqrt {11} }}{{10}}\,\,\; \approx 0,3\,\,\left( m \right).$
