Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài ôn tập chương 1 chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 1.30. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Nếu $f’\left( x \right) \geqslant 0$ với mọi $x$ thuộc $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$.
B. Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x$ thuộc $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$.
C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ khi và chỉ khi $f’\left( x \right) \geqslant 0$ với mọi $x$ thuộc $\left( {a;b} \right)$.
D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ khi và chỉ khi $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x$ thuộc $\left( {a;b} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Câu 1.31. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 9x$.
B. $y = – {x^3} + x + 1$.
C. $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$.
D. $y = 2{x^2} + 3x + 2$.
Lời giải
Chú ý: Cho tam thức bậc hai $h(x) = a{x^2} + bx + c$ $(a \ne 0)$. Khi đó,
+ $h(x) > 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a > 0 \hfill \\
\Delta < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$+ $h(x) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a < 0 \hfill \\
\Delta < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$+ $h(x) \geqslant 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a > 0 \hfill \\
\Delta \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$+ $h(x) \leqslant 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a < 0 \hfill \\
\Delta \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
A. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 9x$
$ \Rightarrow y’ = – 3{x^2} + 6x – 9$
${\Delta ‘_{y’}} = {3^2} – ( – 3).( – 9) = – 18 < 0$ mà ${a_{y’}} = – 3 < 0$ nên $y’ < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$
Vậy hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 9x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Chọn A
Câu 1.32. Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. $y = \left| x \right|$.
B. $y = {x^4}$.
C. $y = – {x^3} + x$.
D. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$.
Lời giải
Chọn D
Chú ý: Hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ không có cực trị.
Câu 1.33. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = {x^2}lnx$ là
A. $\frac{1}{e}$.
B. $ – \frac{1}{e}$.
C. $ – \frac{1}{{2e}}$.
D. $\frac{1}{{2e}}$.
Lời giải
Chọn C
$y = {x^2}\ln x$
Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$
$y’ = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }\ln x + {x^2}(\ln x)’ = 2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0\,(loại) \hfill \\
x = {e^{ – \frac{1}{2}}}\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số $y = {x^2}lnx$ là ${y_{CT}} = – \frac{1}{{2e}}$
Câu 1.34. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {(x – 2)^2} \cdot {e^x}$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ là
A. 0 .
B. ${e^3}$.
C. ${e^4}$.
D. e.
Lời giải
Chọn B
Câu 1.35. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thoả mãn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 1$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 1$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
C. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số.
Lời giải
Chú ý:
* Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = – \infty $.
* Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {y_0}$.
Theo định nghĩa đường tiệm cận ngang ta chọn B
Câu 1.36. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x – 2}}{{x + 2}}$ là
A. $y = – 2$.
B. $y = 1$.
C. $y = x + 2$.
D. $y = x$.
Lời giải
Chọn D
Câu 1.37. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \left\{ {1;3} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
B. Đường thẳng $y = – 1$ là tiệm cânn ngang của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
D. Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải
Chọn D
Câu 1.38. Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:
Hình 1.37
A. $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$.
B. $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$
C. $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$.
D. $y = \frac{{x + 3}}{{1 – x}}$.
Lời giải
Chọn B
Câu 1.39. Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:
Hình 1.38
A. $y = x – \frac{1}{{x + 1}}$.
B. $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$.
C. $y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x + 1}}$.
D. $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$.
Lời giải
Chọn D
B – TỰ LUẬN
Câu 1.40. Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1$;
b) $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$;
c) $y = \frac{{2x – 1}}{{3x + 1}}$
d) $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$.
Lời giải
a) Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = 3{x^2} – 6x + 3$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm kép)
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty )$.
+ Hàm số không có cực trị.
b) $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$;
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = 4{x^3} – 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $( – 1;0)$ và $(1; + \infty )$.
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(0;1)$.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CD}} = y(0) = – 1$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$ và ${y_{CT}} = y( \pm 1) = – 2$.
c) $y = \frac{{2x – 1}}{{3x + 1}}$
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{1}{3}} \right\}$
$y’ = \frac{5}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne – \frac{1}{3}$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right)$ và $\left( { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)$.
+ Hàm số không có cực trị.
d) $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$.
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$
$y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right).1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{2{x^2} + 2x + 2x + 2 – {x^2} – 2x – 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0$
$ \Rightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy,
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 2; – 1} \right)$ và $\left( { – 1;0} \right)$.
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = – 2$ và ${y_{CD}} = y( – 2) = – 2$.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = y(0) = 2$.
Câu 1.41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = \frac{{2x + 1}}{{3x – 2}}$ trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right)$;
b) $y = \sqrt {2 – {x^2}} $.
Lời giải
Câu 1.42. Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
a) $y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}$
b) $y = \frac{{{x^2} + 2x – 1}}{{2x – 1}}$.
Lời giải
Câu 1.43. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = – {x^3} + 6{x^2} – 9x + 12$;
b) $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$
c) $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{x – 1}}$.
Lời giải
Câu 1.44. Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f(H$ 1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$
Hình 1.39
a) Viết công thức tính $q = g\left( p \right)$ như một hàm số của biến $p \in \left( {f; + \infty } \right)$.
b) Tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g(p)$; $\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q = g\left( p \right)$ trên khoảng $\left( {f; + \infty } \right)$.
Lời giải
a) Ta có $q = g(p) = \frac{{pf}}{{p – f}}$ là một hàm số của biến $p \in \left( {f; + \infty } \right)$.
b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } q = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g(p) = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{{pf}}{{p – f}} = f$ và $\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} q = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g(p) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} \frac{{pf}}{{p – f}} = + \infty .$
Từ $\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } q = f$ suy ra đồ thị hàm số $q = g(p)$ nhận đường thẳng $q = f$ làm tiệm cận ngang.
Như vậy, khi vật đặt cách thấu kính càng xa thì ảnh càng tiến gần đến tiêu điểm của thấu kính.
Từ $\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} q = + \infty $ suy ra đồ thị hàm số $q = g(p)$ nhận đường thẳng $p = f$ làm tiệm cận đứng. Như vậy, khi vật đặt càng gần tiêu điểm thì ảnh càng tiến ra xa vô hạn.
c) Bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $\left( {f; + \infty } \right)$ được cho dưới đây:
Câu 1.45. Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức:
$N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\;$($N\left( t \right)$ được tính bằng triệu người. $0 \leqslant t \leqslant 50$)
a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem $N\left( t \right)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $\left[ {0;50} \right]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;50} \right]$.
c) Đạo hàm của hàm số $N\left( t \right)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?
Lời giải
a) Dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 lần lượt là $f(7) = 100{{\text{e}}^{0,012 \cdot 7}} \approx 108,76$ triệu người và $f(12) = 100{{\text{e}}^{0,012 \cdot 12}} \approx 115,49$ triệu người.
b) Hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $\left[ {0;50} \right]$.
c) Ta có $f'(x) = 1,2{{\text{e}}^{0,012x}}$. Tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm nếu
$f'(x) = 1,2{{\text{e}}^{0,012x}} = 1,6 \Leftrightarrow {{\text{e}}^{0,012x}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{0,012}}\ln \frac{4}{3} \approx 23,97.$
Vậy vào khoảng năm 2047 thì tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm.
Câu 1.46. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như Hình 1.40. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là $4\;km$. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là $10\;km$. Tổng chi phí lắp đặt cho $1\;km$ dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Hình 1.40
Lời giải
Đặt $BM = x,\,(0 \leqslant x \leqslant 10)$. Tổng chi phí lắp đặt là $f(x) = 30\left( {10 – x} \right) + 50\sqrt {16 + {x^2}} $ triệu đồng.
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[ {0;10} \right]$. Ta có
$f'(x) = – 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {16 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow x = 3.$
Ta thấy $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} f(x) = 460$ khi $x = 3$.
Như vậy chi phí lắp đặt nhỏ nhất 460 triệu đồng khi đoạn BM dài 3 km.
