Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài ôn tập cuối chương 4 chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 4.20. Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = sin2x$ là
A. $F\left( x \right) = 2cos2x$.
B. $F\left( x \right) = – cos2x$.
C. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}cos2x$.
D. $F\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{2}cos2x$.
Lời giải
Chọn D
Vì $F'(x) = {\left( {\frac{{ – 1}}{2}\cos 2x} \right)^\prime } = \sin 2x$ nên $F(x) = \frac{{ – 1}}{2}\cos 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 2x$.
Câu 4.21. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $2{e^x}$ là
A. $2x{e^x} + $.
B. $ – 2{e^x} + C$.
C. $2{e^x}$.
D. $2{e^x} + C$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\int 2 {e^x}dx = 2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + C$
Câu 4.22. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}}$ thoả mãn $F\left( 0 \right) = 4$ là
A. $F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}}$.
B. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – 2x}}$.
C. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}}$.
D. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}} + 4$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $F(x) = \int {\left( {{e^x} – 3{e^{ – x}}} \right)} dx = {e^x} + 3{e^{ – x}} + C$
Do $F(0) = 4$ nên ${e^0} + 3{e^{ – 0}} + C = 4PC = 0$.
Vậy $F(x) = {e^x} + 3{e^{ – x}}$.
Câu 4.23. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},f\left( 1 \right) = 16$ và . Khi đó giá trị của $f\left( 3 \right)$ bằng
A. 20.
B. 16.
C. 12 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\int_1^3 {{f^\prime }} (x)dx = 4$$\left. { \Leftrightarrow f(x)} \right|_1^3 = 4$$ \Leftrightarrow f(3) – f(1) = 4$
$ \Rightarrow f(3) = 4 + f(1) = 4 + 16 = 20$
Câu 4.24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} – 2x,y = – {x^2} + 4x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 3$ là
A. -9 .
B. 9 .
C. $\frac{{16}}{3}$.
D. $\frac{{20}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Diện tích cần tìm là:
$S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – 2x + {x^2} – 4x} \right|} dx$
$ = \int_0^3 {\left| {2{x^2} – 6x} \right|} dx = \int_0^3 {\left( {6x – 2{x^2}} \right)} dx$
$ = \left. {\left( {3{x^2} – \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^3 = 9$
Câu 4.25. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn [-2; 2] như Hình 4.32.
Hình 4.32
Biết $\int_{-2}^{-1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{-22}{15}$ và $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{76}{15}$. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là
A. 8 .
B. $\frac{{22}}{{15}}$.
C. $\frac{{32}}{{15}}$.
D. $\frac{{76}}{{15}}$.
Lời giải
Chọn A
Diện tích cần tìm là:
$S = \int_{ – 2}^2 | f(x)|dx$
$ = \int_{ – 2}^{ – 1} | f(x)|dx + \int_{ – 1}^1 | f(x)|dx + \int_1^2 | f(x)|dx$
$ = – \int_{ – 2}^{ – 1} f (x)dx + \int_{ – 1}^1 f (x)dx – \int_1^2 f (x)dx$
$ = \frac{{22}}{{15}} + \frac{{76}}{{15}} + \frac{{22}}{{15}} = 8$
Câu 4.26. Cho hình phẳng $\left( S \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {1 – {x^2}} $, trục hoành và hai đường thẳng $x = – 1,x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay khi quay $\left( S \right)$ quanh $Ox$ là
A. $\frac{{3\pi }}{4}$.
B. $\frac{{3\pi }}{2}$.
C. $\frac{{2\pi }}{3}$.
D. $\frac{{4\pi }}{3}$.
Lời giải
Chọn D
$V = \pi \int_{ – 1}^1 {\left( {1 – {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^1$
$ = \pi \left( {1 – \frac{1}{3} + 1 – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}$
Câu 4.27. Một vật chuyển động có gia tốc là $a\left( t \right) = 3{t^2} + t\left( {\;m/{s^2}} \right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2\;m/s$. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là
A. $8\;m/s$.
B. $10\;m/s$.
C. $12\;m/s$.
D. $16\;m/s$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $v(t) = \int a (t)dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)} dt = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C$
Vì $v(0) = 2$ nên $C = 2$. Do đó $v(t) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2$
Vậy $v(2) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12(\;{\text{m}}/s)$.
B – TỰ LUẬN
Câu 4.28. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $y = {2^x} – \frac{1}{x}$
b) $y = x\sqrt x + 3cosx – \frac{2}{{si{n^2}x}}$.
Lời giải
a) $\int {\left( {{2^x} – \frac{1}{x}} \right)} dx = \int {{2^x}} dx – \int {\frac{1}{x}} dx$
$ = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – \ln |x| + C$
b) $\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = $
$\int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx + 3\int {\cos } xdx – 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx$
$ = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 3\sin x + 2\cot x + C$
Câu 4.29. Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 2cosx + \frac{1}{{si{n^2}x}}$ thoả mãn điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – 1$.
Lời giải
Ta có $F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$
$ = 2\int {\cos } xdx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 2\sin x – \cot x + C$
Do $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ nên $2\sin \frac{\pi }{4} – \cot \frac{\pi }{4} + C = – 1$$ \Rightarrow C = – \sqrt 2 $
Vậy $F(x) = 2\sin x – \cot x – \sqrt 2 $
Câu 4.30. Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là $30\;m/s$. Gia tốc trọng trường là $9,8\;m/{s^2}$. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.
Lời giải
Chọn chiều dương hướng từ mặt đất lên, khi đó, gia tốc trọng trường $a = – 9,8\left( {\;m/{s^2}} \right)$
Ta có: $v(t) = \int a (t)dt = \int – 9,8dt = – 9,8t + C$
Vì vận tốc ban đầu là $30\;m/s$ nên $v(0) = 30$.
Do đó, $C = 30$.
Suy ra: $v(t) = – 9,8t + 30$
Vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là: $v(2) = – 9,8.2 + 30 = 10,4(\;m/s)$
Câu 4.31. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v\left( t \right) = – \frac{{2t}}{5} + 4\left( {\;km/h} \right)$. Nếu coi thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?
Lời giải
Ta có $s(t) = \int v (t)dt = \int {\left( { – \frac{2}{5}t + 4} \right)} dt$$ = – \frac{{{t^2}}}{5} + 4t + C$
Do thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên $s(0) = 0$, suy ra $C = 0$.
Do đó $s(t) = – \frac{{{t^2}}}{5} + 4t$.
Ta có $s(t) = – \frac{1}{5}\left( {{t^2} – 20t} \right)$$ = – \frac{1}{5}\left( {{t^2} – 20t + 100} \right) + 20$
$ = – \frac{1}{5}{(t – 10)^2} + 20 \leqslant 20,\forall t \geqslant 0$
Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi là $20\,km$.
Câu 4.32. Tính các tích phân sau:
а) $\int_1^4 {\left( {{x^3} – 2\sqrt x } \right)} dx$;
b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(\cos x – \sin x)} dx$
c) $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $
d) $\int_1^{16} {\frac{{x – 1}}{{\sqrt x }}} dx$.
Lời giải
a) $\int_1^4 {\left( {{x^3} – 2\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{x^3}} dx – 2\int_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}} dx$
$ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{160}}{3} + \frac{{13}}{{12}} = \frac{{653}}{{12}}$
b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(\cos x – \sin x)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx$
$ = \left. {(\sin x + \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 – 1 = 0$
c) $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = – \left. {\cot x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = – 1 + \sqrt 3 $
d) $\int_1^{16} {\frac{{x – 1}}{{\sqrt x }}} dx = \int_1^{16} {\sqrt x } dx – \int_1^{16} {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx$
$ = \int_1^{16} {{x^{\frac{1}{2}}}} dx – \int_1^{16} {{x^{ – \frac{1}{2}}}} dx$
$\left. { = \left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^{16}$$ = \frac{{104}}{3} + \frac{4}{3} = 36$
Câu 4.33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^x},y = x,x = 0$ và $x = 1$.
Lời giải
Diện tích cần tìm là:
$S = \int_0^1 {\left| {{e^x} – x} \right|} dx = \int_0^1 {\left( {{e^x} – x} \right)} dx$
$ = \int_0^1 {{e^x}} dx – \int_0^1 x dx = \left. {\left( {{e^x} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$
$ = e – \frac{1}{2} – 1 = e – \frac{3}{2}$
Câu 4.34. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh truc $Ox$ :
a) $y = 1 – {x^2},y = 0,x = – 1,x = 1$;
b) $y = \sqrt {25 – {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4$.
Lời giải
a) Thể tích cần tìm là:
$V = \pi \int_{ – 1}^1 {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^2}} dx = \pi \int_{ – 1}^1 {\left( {1 – 2{x^2} + {x^4}} \right)} dx$
$ = \left. {\pi \left( {x – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ – 1}^1 = \pi \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{8}{{15}}} \right) = \frac{{16\pi }}{{15}}$
b) Thể tích cần tìm là:
$V = \pi \int_2^4 {\left( {25 – {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {25x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_2^4$
$ = \pi \left( {\frac{{236}}{3} – \frac{{142}}{3}} \right) = \frac{{94\pi }}{3}$
Câu 4.35. Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \leqslant x \leqslant 30} \right)(x,y$ tính theo $cm)$ quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu $c{m^3}$ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là $1\;cm$.
Lời giải
$V = $$\pi \int_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx$$ – \pi \int_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx$
$ = \pi \int_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx$
$ = \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7} + \frac{2}{{35}}{x^2}} \right)} dx$
$ = \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{2}{{35}}{x^2} + \frac{6}{7}x} \right)} dx$
$ = \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + \frac{6}{7}x + 25} \right)} dx$
$ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + \frac{{3{x^2}}}{7} + 25x} \right)} \right|_{30}^{31}$
$ \approx \pi (2240,4 – 2073,2) = 167,2\pi \left( {c{m^3}} \right)$
