Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 17 Phương trình mặt cầu chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp:
Trong không gian $O x y z$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ có phương trình
${(x – a)^2} + {(y – b)^2} + {(z – c)^2} = {R^2}$
Chú ý
– Điểm $M(x;y;z)$ nằm trong mặt cầu $(S)$ nếu ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} + {(z – c)^2} < {R^2}$
– Điểm $M(x;y;z)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ nếu ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} + {(z – c)^2} > {R^2}$
Nhận xét: Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0$. Khi đó, $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} $
Câu 5.25. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 9$.
Xác định tâm và bán kính của (S).
Lời giải
Mặt cầu có tâm $I\left( {\frac{1}{2}; – 1;0} \right),\;$ bán kính $R = \sqrt 9 = 3$
Câu 5.26. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 2;0;5} \right)$ và bán kính $R = 2$.
Lời giải
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 2;0;5} \right)$ và bán kính $R = 2$ nên có phương trình là
${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 4.$
Câu 5.27. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;3; – 1} \right)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right):3x + 2y – z = 0$.
Lời giải
• Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;3; – 1} \right)$
• Bán kính mặt cầu là $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.3 – ( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }} = \sqrt {\frac{7}{2}} .$
Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{7}{2}.$
Câu 5.28. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 2y + 8z – 18 = 0$. Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Lời giải
Chú ý: Để tính nhanh các hệ số $a,\,b,\,c$ ta lần lượt lấy số trước $x,\,y,\,z$ chia cho $ – 2$.
Ta có: $a = \frac{2}{{ – 2}} = – 1$; $b = \frac{{ – 2}}{{ – 2}}$; $c = \frac{8}{{ – 2}} = – 4$; $d = – 18$
Suy ra mặt cầu (S) có tâm là $I\left( { – 1;1; – 4} \right),\;$ bán kính của (S) là $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} $$ = \sqrt {1 + 1 + 16 + 18} $$ = 6$.
Câu 5.29. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 5z + 30 = 0$;
b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 2z = 0$;
c) ${x^3} + {y^3} + {z^3} – 2x + 6y – 9z – 10 = 0$;
d) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0$.
Lời giải
a) Ta có $a = 1,\;b = 0,\;c = \frac{5}{2}$ và $d = 30.$
Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d = 1 + 0 + \frac{{25}}{4} – 30 < 0$ nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
b) Ta có $a = 2,\;b = – 1,\;c = 1$ và $d = 0.$
Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d = 6 > 0$ nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {2; – 1;1} \right),\;$bán kính $R = = \sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 .$
c) Phương trình đã cho là phương trình bậc 3 nên phương trình đó không phải là phương trình mặt cầu.
d) Ta có $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$ và $d = 5.$
Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d = – 5 < 0$ nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 5.30. Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A\left( {2;0;0} \right)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1 . Hỏi vị trí $M\left( {2;1;1} \right)$ có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Lời giải
Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm $A\left( {2;0;0} \right)$, bán kính $R = 1$.
Mặt cầu $(S)$ phương trình ${\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1.$
Vùng phủ sóng là những điểm nằm trong mặt cầu $(S)$ hoặc thuộc mặt cầu $(S)$.
Ta có: $AM = \sqrt {{{(2 – 2)}^2} + {{(1 – 0)}^2} + {{(1 – 0)}^2}} = \sqrt 2 > R = 1$ nên M nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Do đó điểm M nằm ngoài vùng phủ sóng.
