Giải Toán 12 kết nối tri thức bài 5 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Câu 1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = {t^3} – 12t + 3,t \geqslant 0$.
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leqslant t \leqslant 3$.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
Lời giải
a) Hàm vận tốc là: $v\left( t \right) = y’ = 3{t^2} – 12,t \geqslant 0$. Hàm gia tốc là: $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = y” = 6t,t \geqslant 0$
b) Hạt chuyển động lên trên khi $v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2$ (do $t \geqslant 0$ )
Hạt chuyển động xuống dưới khi $v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant t < 2$ (do $t \geqslant 0$ )
c) Ta có: $y\left( 3 \right) – y\left( 0 \right) = {3^3} – 12.3 + 3 – 3 = – 9$
Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian $0 \leqslant t \leqslant 3$ là $9\;m$.
d) Hạt tăng tốc khi $v\left( t \right)$ tăng hay $v’\left( t \right) > 0$.
Do đó, $6t > 0 \Leftrightarrow t > 0$
Hạt giảm tốc khi $v\left( t \right)$ giảm hay $v’\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0$ (không thỏa mãn do $t \geqslant 0$ )
Câu 1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá nào đó là:
$C\left( x \right) = 23000 + 50x – 0,5{x^2} + 0,00175{x^3}.$
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm $C’\left( {100} \right)$ và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh $C’\left( {100} \right)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.
Lời giải
a) Hàm chi phí biên là $C’\left( x \right) = \frac{{21}}{{4000}}{x^2} – x + 50$
b) $C’\left( {100} \right) = \frac{{21}}{{4000}} \cdot {100^2} – 100 + 50 = 2,5$ (trăm nghìn đồng).
Chi phí biên tại $x = 100$ là 250000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 101) là khoảng 250000 đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là:
$C\left( {101} \right) – C\left( {100} \right) = 24752,52675 – 24750 = 2,52675$ (trăm nghìn đồng).
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên $C’\left( {100} \right)$ đã tính ở câu b.
Câu 1.28. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Lời giải
Cách 1: Gọi $p$ (triệu đồng) là giá thuê mỗi căn hộ; $x\,(0 < x \leqslant 100)$ là số căn hộ cho thuê.
Ta có: Hàm cầu (hàm giá) là $p(x) = ax + b$.
Ta cần tìm $a,b$.
Theo đề ta có:
+ Giá cho thuê ${p_1} = 8$ ứng với ${x_1} = 100$
+ Giá cho thuê ${p_2} = 8 + 0,1 = 8,1$ ứng với ${x_2} = 100 – 1 = 99$
Nên ta có: $\left\{ \begin{gathered}
100a + b = 8 \hfill \\
99a + b = 8,1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – \frac{1}{{10}} \hfill \\
b = 18 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $p(x) = – \frac{1}{{10}}x + 18$.
Khi đó, hàm doanh thu khi cho thuê $x$ căn hộ là $R(x) = xp(x) = – \frac{1}{{10}}{x^2} + 18x$.
Ta có, $R(x)$ là hàm bậc hai có hệ số $ – \frac{1}{{10}} < 0$ nên $R(x)$ lớn nhất $ \Leftrightarrow x = – \frac{B}{{2A}} = – \frac{{18}}{{2.\left( { – \frac{1}{{10}}} \right)}} = 90$
Vậy, giá thuê mỗi căn hộ để đạt doanh thu lớn nhất là $p(90) = – \frac{1}{{10}}.90 + 18 = 9$ (triệu đồng)
Cách 2: Gọi $x$ là số căn hộ cho thuê $(0 < x < 100)$.
Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là 100 – $x$ (căn).
Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là: $8000000 + 100000x$
Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:
$y = \left( {8000000 + 100000x} \right)\left( {100 – x} \right)$
$ = 800000000 – 8000000x + 10000000x – 100000{x^2}$
$ = 800000000 + 2000000x – 100000{x^2}$
Bài toán trở thành tìm $x$ để y lớn nhất.
Ta có $y’ = – 200000x + 2000000;$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 10$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là $8000000 + 100000.10 = 9000000$ (đồng).
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tìm doanh thu lớn nhất:
Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là $x$, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo $x$. Khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $Q = Q\left( x \right)$.
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q = Q\left( x \right)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Câu 1.29. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức
$p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}},x \geqslant 0$
trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x\left( p \right)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
• Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x(p)$.
Lời giải
a) Ta có $p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}} \Leftrightarrow \left( {1 + 0,01x} \right)p = 354$
$ \Leftrightarrow 0,01x = \frac{{354}}{p} – 1 \Leftrightarrow x = \frac{{35400}}{p} – 100$
Do $x \geqslant 0$ nên $x = \frac{{35400}}{p} – 100 \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 < p \leqslant 354$
Tập xác định của hàm số là $D = \left( {0;354} \right]$.
Số sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng là $x = \frac{{35400}}{{240}} – 100 = 47,5$
b) $x = \frac{{35400}}{p} – 100$
1. Tập xác định của hàm số là $D = \left( {0;354} \right]$.
2. Sự biến thiên
• Ta có $x’ = – \frac{{35400}}{{{p^2}}} < 0,\forall p \in D$
• Hàm số luôn nghịch biến với mọi $p \in \left( {0;354} \right)$.
• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận
$\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x = \mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} \left( {\frac{{35400}}{p} – 100} \right) = + \infty $
Do đó $p = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Bảng biến thiên
3. Đồ thị:
Ta có: $f\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{354 – p}}{{0,01p}} = 0 \Leftrightarrow p = 354$
Đồ thị hàm số $x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}$ cắt trục hoành tại điểm $\left( {354;0} \right)$.
Đồ thị hàm số $x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}$ đi qua các điểm (300; 18); (200; 77).
Đồ thị hàm số $x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}$ với $p \in \left( {0;354} \right]$ là đường màu tím:
• Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng, và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x(p)$ :
Do $\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x(p) = + \infty $ nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.
