Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 16 Công thức tính góc trong không gian chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp:
• Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $\Delta $ và $\Delta ‘$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec u = (a;b;c)$, $\overrightarrow {u’} = \left( {a’;b’;c’} \right)$. Khi đó:
$\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u’} } \right)} \right|$$ = \frac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}$
• Trong không gian $O x y z$, cho đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\vec u = (a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (A;B;C)$. Khi đó:
$\sin (\Delta ,(P)) = |\cos (\vec u,\vec n)|$$ = \frac{{|aA + bB + cC|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.
• Trong không gian $O x y z$, cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (A;B;C)$, $\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)$. Khi đó:
$\cos ((P),(Q)) = \left| {\cos \left( {\vec n,\,\overrightarrow {n’} } \right)} \right|$$ = \frac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \cdot \sqrt {{{A’}^2} + {{B’}^2} + {{C’}^2}} }}$
Câu 5.20. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng:
${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 1 – t} \\
{z = 2 + 3t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{2}$
Lời giải
+ Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2; – 1;3} \right),$
+ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( { – 1;1;2} \right)$.
Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec v} \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}}$
$ = \frac{{\left| {2.( – 1) + ( – 1).1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{( – 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{42}}$
$ \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 70,9^\circ $
Câu 5.21. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y – z – 1 = 0$.
Lời giải
+ Trục Oz có một vectơ chỉ phương là $\vec k = \left( {0;0;1} \right),$
+ Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;2; – 1} \right)$.
Ta có $\sin \left( {Oz,\;\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec k,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec k.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec k} \right|.\left| {\vec n} \right|}}$
$ = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$
$ \Rightarrow \left( {Oz,\left( P \right)} \right) \approx 24,1^\circ $
Câu 5.22. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$.
Lời giải
+ $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( { – 1;2;3} \right),$
+ (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;1;1} \right)$.
Ta có $\sin \left( {\Delta ,\;\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\vec n} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\vec n} \right|}}$
$ = \frac{{\left| { – 1.1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{( – 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {42} }}{{21}}$
$ \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 38,1^\circ $
Câu 5.23. Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông với cạnh dài $230\;m$, các cạnh bên bằng nhau và dài $219\;m$ (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
Hình 5.38. Kim tự tháp Kheops
Lời giải
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là giao điểm của AC và BD, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy, điểm S thuộc tia Oz.
Ta có:
$OA = OB = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.230\sqrt 2 = 115\sqrt 2 $ (Đường chéo hình vuông)
$OS = \sqrt {O{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {{{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2} + {{219}^2}} = 7\sqrt {439} $
$ \Rightarrow A\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),\;B\left( {0;115\sqrt 2 ;0} \right),\;C\left( { – 115\sqrt 2 ;0;0} \right),\;S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {SA} = \left( {115\sqrt 2 ;0; – 7\sqrt {439} } \right)$, $\;\overrightarrow {SB} = \left( {0;115\sqrt 2 ; – 7\sqrt {439} } \right)$, $\;\overrightarrow {SC} = \left( { – 115\sqrt 2 ;0; – 7\sqrt {439} } \right)$.
Suy ra,
– Một vectơ pháp tuyến của (SAB) là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = 115\sqrt 2 \left( {7\sqrt {439} ;7\sqrt {439} ;115\sqrt 2 } \right),\;$
– Một vectơ pháp tuyến của (SBC) là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = – 115\sqrt 2 \left( {7\sqrt {439} ; – 7\sqrt {439} ; – 115\sqrt 2 } \right).$
Do đó $\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$$ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$ = \frac{{26450}}{{69472}}$
$ \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) \approx 67,6^\circ $
Câu 5.24. (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh $1\;m$ có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dang hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến đáy bể tương ứng là $40\;cm,44\;cm,48\;cm$.
a) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Hình 5.39
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, sao cho mặt phẳng (Oxy) chứa đáy bể, O là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống đáy bể, tia Ox chứa chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đáy bể, tia Oy chứa chân đường vuông góc kẻ từ C xuống đáy bể, tia Oz chứa điểm B, đơn vị trên các trục là mét.
Ta có: $A\left( {1;0;0,4} \right),\;B\left( {0;0;0,44} \right),\;C\left( {0;1;0,48} \right).$
a) Ta có: $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $ nên ta tính được $D = \left( {1;{\kern 1pt} \,\,1;\,\,0,44} \right).$
Do đó khoảng cách từ D đến đáy bể là 44 cm.
b) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;0,04} \right),\;\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0,04} \right).$
Đặt $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { – 0,04;0,04; – 1} \right)$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là
$\vec k = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec k} \right)} \right| = \frac{{25}}{{\sqrt {627} }}$
$ \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 3,2^\circ .$
Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang gần bằng $3,2^\circ .$
