Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 14 Phương trình mặt phẳng chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.
Phương pháp: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vectơ pháp tuyến $\,\vec n = (A;\,B;\,C)$ là: $A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0$
Chú ý:
• Mặt phẳng $(\alpha )$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec a,\vec b$ ($\vec a,\vec b$ không cùng phương) thì mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left[ {\vec a,\overrightarrow b } \right]$ .
• Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thì có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ nên mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.
Câu 5.1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1;2; – 1} \right)$ và vuông góc với trục $Ox$.
Lời giải
Chú ý:
– Trục $Ox$ có vec tơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.
– Trục $Oy$ có vec tơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.
– Trục $Oz$ có vec tơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.
+ Mặt phẳng qua $M\left( {1;2; – 1} \right)$.
+ Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.
Suy mặt phẳng có phương trình $A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0$
$1(x – 1) + 0(y – 2) + 0(z + 1) = 0$
$ \Leftrightarrow x – 1 = 0$
Câu 5.2. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$, với $A\left( {1; – 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),D\left( {2; – 1;1} \right)$, $A’\left( {0;1;2} \right)$.
a) Tính toạ độ các điểm $C,B’,D’$.
b) Viết phương trình mặt phẳng ( $\left. {CB’D} \right)$.
Lời giải
a) + Tìm tọa độ điểm $C({x_C};{y_C};{z_C})$.
Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; – 2} \right)$; $\overrightarrow {BC} = \left( {{x_C};{y_C} – 2;{z_C} – 4} \right)$
+ Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_C} = 1 \hfill \\
{y_C} – 2 = 0 \hfill \\
{z_C} – 4 = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_C} = 1 \hfill \\
{y_C} = 2 \hfill \\
{z_C} = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $C\left( {1;2;2} \right)$
+ Tìm tọa độ điểm $B'({x_{B’}};{y_{B’}};{z_{B’}})$.
Ta có:
$\overrightarrow {AA’} = \left( { – 1;2; – 1} \right)$; $\overrightarrow {BB’} = \left( {{x_{B’}};{y_{B’}} – 2;{z_{B’}} – 4} \right)$
+ Do $ABB’A’$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {BB’} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{B’}} = – 1 \hfill \\
{y_{B’}} – 2 = 2 \hfill \\
{z_{B’}} – 4 = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{B’}} = – 1 \hfill \\
{y_{B’}} = 4 \hfill \\
{z_{B’}} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $B’\left( { – 1;4;3} \right)$.
+ Tìm tọa độ điểm $D'({x_{D’}};{y_{D’}};{z_{D’}})$.
Ta có:
$\overrightarrow {AA’} = \left( { – 1;2; – 1} \right)$; $\overrightarrow {DD’} = \left( {{x_{D’}} – 2;{y_{D’}} + 1;{z_{D’}} – 1} \right)$
+ Do $ADD’A’$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {DD’} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{D’}} – 2 = – 1 \hfill \\
{y_{D’}} + 1 = 2 \hfill \\
{z_{D’}} – 1 = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_{D’}} = 1 \hfill \\
{y_{D’}} = 1 \hfill \\
{z_{D’}} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $D’\left( {1;1;0} \right)$.
Câu 5.3. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M\left( {1; – 1;5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):3x + 2y – z = 0,\left( R \right):x + y – z = 0$.
Lời giải
* $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1; – 1;5} \right)$.
* Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
+ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; – 1} \right),\;$
+ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; – 1} \right).\;$
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$\vec n = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { – 1;2;1} \right) = – \left( {1; – 2; – 1} \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
$1\left( {x – 1} \right) – 2\left( {y + 1} \right) – 1\left( {z – 5} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 2y – z + 2 = 0$.
Câu 5.4. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {2;3; – 1} \right)$, song song với trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + 2y – 3z + 1 = 0$.
Lời giải
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm.
* $\left( P \right)$ mặt phẳng đi qua $M\left( {2;3; – 1} \right)$
* Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
+ Trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\vec i\left( {1;0;0} \right),\;$
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; – 3} \right)$.
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\vec n = \left[ {\vec i,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;3;2} \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
$0\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y – 3} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 3y + 2z – 7 = 0$
Câu 5.5. Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng $(P):2x + 2y – z + 1 = 0$.
Lời giải
Chú ý: Cho điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và mặt phẳng $(P):\,Ax + By + Cz + D = 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d({M_0},(\alpha )) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Khoảng cách từ gốc toạ độ $O\left( {0;0;0} \right)$ đến (P) là $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.0 – 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} }}\frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{1}{3}$
Câu 5.6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0,(Q):x + y + z + 6 = 0$. Chứng minh rẳng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Lời giải
* Chứng minh $(P)//(Q)$.
Ta có: $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} \ne \frac{2}{6}$ nên $(P)//(Q)$.
* Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Chọn $A\left( {0; – 1; – 1} \right) \in (P)$.
Khi đó $d\left( {(P);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right)$$ = \frac{{\left| {0 – 1 – 1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}$$ = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$
Câu 5.7. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x + 3y – z = 0,(Q):x – y – 2z + 1 = 0$.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Lời giải
a) Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; – 1} \right)$
Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; – 1; – 2} \right).$
Ta có $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 – 3 + 2 = 0$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} $$ \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)$
b) Ta có $M \in Ox \Rightarrow M\left( {t;0;0} \right)$
Theo đề: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {t + 3.0 – 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{{\left| {t – 0 – 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| t \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} \Leftrightarrow \frac{{{t^2}}}{{11}} = \frac{{{{(t + 1)}^2}}}{6}$
$ \Leftrightarrow 6{t^2} = 11{\left( {t + 1} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 5{t^2} + 22t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ – 11 \pm \sqrt {66} }}{5}.$
Vậy $M\left( {\frac{{ – 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)$ hoặc $M\left( {\frac{{ – 11 – \sqrt {66} }}{5};0;0} \right).$
Câu 5.8. Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Hình 5.15
Lời giải
Gọi mái nhà là hình chóp đều S.ABCD.
Gọi $\overrightarrow {{n_1}} $, $\overrightarrow {{n_2}} $, $\overrightarrow {{n_3}} $, $\overrightarrow {{n_4}} $ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, $\left( {SBC} \right)$, $\left( {SCD} \right)$, $\left( {SAD} \right)$.
Nếu ý tưởng của bác An thực hiện được thì
+$\left\{ \begin{gathered}
(SBC) \bot (SAB) \hfill \\
(SBC) \bot (SCD) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $$\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {{n_2}} \bot \overrightarrow {{n_1}} \hfill \\
\overrightarrow {{n_2}} \bot \overrightarrow {{n_3}} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow $ một VTPT của $(SBC)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]$.
+$\left\{ \begin{gathered}
(SAD) \bot (SAB) \hfill \\
(SAD) \bot (SCD) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $$\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {{n_4}} \bot \overrightarrow {{n_1}} \hfill \\
\overrightarrow {{n_4}} \bot \overrightarrow {{n_3}} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow $ một VTPT của $(SAD)$ là $\overrightarrow {{n_4}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]$.
$ \Rightarrow $$\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {{n_4}} $ $ \Rightarrow $ $\overrightarrow {{n_2}} $ và $\overrightarrow {{n_4}} $ cùng phương nên $(SBC)$ và $(SAD)$ song song hoặc trùng nhau, điều này vô lí.
Vậy ý tưởng của bác An không thực hiện được.
Câu 5.9. Trong không gian $Oxyz$, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng $Oxy$, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z – 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z – 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1 , mái tầng 2 , hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Lời giải
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình $z = 0$ song song với mặt phẳng có phương trình $z – 1 = 0.$
Do đó mặt phẳng chứa sàn nhà và mặt phẳng chứa mái tầng 1 song song với nhau, hai mặt phẳng này không song song với mặt phẳng chứa mái nhà tầng 2.
Câu 5.10. Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí $P$ ) một lực $\vec F$ thì moment lực $\vec M$ được tính bởi công thức $\vec M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\vec F} \right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\vec F$ có giá song song với $AB$. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\vec M$ có phương thẳng đứng?
Hình 5.16
Lời giải
Giá của moment lực $\vec M$ vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow {OP} $ và $\vec F.$
Mà OP và AB luôn nằm ngang và giá của $\vec F$ song song với AB nên giá của moment lực $\vec M$ luôn có phương thẳng đứng.
