[Toán nâng cao lớp 5] Các bài toán về phép chia hết phép chia có dư - Toán nâng cao lớp 5
Hướng dẫn học bài: Các bài toán về phép chia hết phép chia có dư - Toán nâng cao lớp 5 - Môn Toán học lớp 5 Lớp 5. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Toán nâng cao lớp 5 Lớp 5' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Cho số 222...222 (2015 chữ số 2). Hỏi cần thêm vào ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 55?
Số chia hết cho 55 thì số đó chia hết cho 5 và 11.
Gọi a là số cộng thêm vào
Suy ra (222…..222 + a) $ \vdots $ 5 và (222….222 + a) $ \vdots $ 11
Có 222…..222 chia 5 dư 2 nên a chia 5 dư 3
Lại có 222…..222 chia 11 dư 2 nên a chia 11 dư 9
Suy ra a = 9 ; 20 ; 31 ; 42 ; 53 ; …
Mà a chia 5 dư 3 nên a = 53
Vậy phải cộng thêm vào số đó 53 đơn vị để được một số chia hết cho 55.
Cho số 777...777 (2014 số 7). Hỏi cần thêm vào số trên ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 63?
Số tự nhiên chia hết cho 63 thì số đó chia hết cho 7 và 9.
Gọi a là số cộng thêm vào
Suy ra (777…..7777 + a) $ \vdots $ 7 và (777….777 + a) $ \vdots $ 9
Có 777…..777 $ \vdots $ 7 nên a $ \vdots $ 7
Lại có 777…..777 có tổng các chữ số là 2014 x 7 = 14098
Mà 14098 chia 9 dư 4 nên 777 ….777 chia 9 dư 4.
Để (777….777 + a) chia hết cho 9 thì a chia 9 dư 5
Suy ra a = 5 ; 14 ; 23 ; 32 ; …
Mà a chia hết cho 7 nên a = 14.
Vậy phải cộng thêm vào số đó 14 đơn vị để được một số chia hết cho 21.
Một số tự nhiên được viết bởi 2020 chữ số 7. Hỏi phải cộng thêm vào số đó ít nhất bao nhiêu đơn vị để được một số chia hết cho 21?
Số tự nhiên chia hết cho 21 thì số đó chia hết cho 3 và chia hết cho 7.
Gọi a là số cộng thêm vào
Suy ra (777…..7777 + a) $ \vdots $ 3 và (777..…777 + a) $ \vdots $ 7
Có 777…..777 $ \vdots $ 7 nên a $ \vdots $ 7
Lại có 777…..777 có tổng các chữ số là 2020 x 7 = 14140
Mà 14140 chia 3 dư 1 nên 777 ….777 chia 3 dư 1.
Để (777….777 + a) chia hết cho 3 thì a chia 3 dư 2
Suy ra a = 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; …
Mà a chia hết cho 7 nên a = 14.
Vậy phải cộng thêm vào số đó 14 đơn vị để được một số chia hết cho 21.
(Cầu Giấy 2012 – 2013)
Có bao nhiêu số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn 1000 và không chia hết cho 5, không chia hết cho 7?
- Tìm số các số tự nhiên từ 1 đến 999
- Tìm số các số chia hết cho 5 trong khoảng từ 1 đến 999
- Tìm số các số chia hết cho 7 trong khoảng từ 1 đến 999
- Tìm số các số chia hết cho 5 và 7 trong khoảng từ 1 đến 999
- Tìm số các số chia hết cho 5 hoặc 7
- Số các số cần tìm bằng số các số tự nhiên từ 1 đến 999 trừ đi số các số chia hết cho 5 hoặc 7
Từ 1 đến 999 có 999 số.
Các số chia hết cho 5 khác 0 và nhỏ hơn 1000 là 5 , 10 , 15, …., 995
Số các số chia hết cho 5 là (995 – 5) : 5 + 1 = 199 (số)
Các số chia hết cho 7 khác 0 và nhỏ hơn 1000 là 7 , 14 , 21, …., 994
Số các số chia hết cho 7 là (994 – 7) : 7 + 1 = 142 (số)
Các số chia hết cho cả 5 và 7 là 35 ; 70 ; ….; 980
Số các số chia hết cho cả 5 và 7 là (980 – 35) : 35 + 1 = 28 (số)
Số các số chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 7 là 199 + 142 – 28 = 313 (số)
Số các số khác 0 và nhỏ hơn 1000 và không chia hết cho 5, không chia hết cho 7 là
999 – 313 = 686 (số)
Đáp số: 686 số
Từ các chữ số 5, 0, 4, 2, viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
Ta nhóm các chữ số sao cho tổng của chúng chia hết cho 3:
5 + 4 + 0 = 9; 4 + 2 + 0 = 6;
Các số cần tìm là: 504 ; 540 ; 405 ; 450 ; 420 ; 402 ; 240 ; 204.
Dùng ba chữ số 3, 0 , 4, hãy viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và thoả mãn một trong hai điều kiện:
a) Các số đó chia hết cho 2;
b) Các số đó chia hết cho 5.
• Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
• Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
a) Các số phải có tận cùng là 0 hoặc 4
Các số chia hết cho 2: 304; 340; 430
b) Các số phải có tận cùng là 0
Các số chia hết cho 5: 340; 430
(Amsterdam 2003 – 2004)
Một số được viết bởi 2003 chữ số 7. Hỏi phải cộng thêm vào số đó ít nhất bao nhiêu đơn vị để được một số chia hết cho 35?
Xét 2 trường hợp:
- Số sau khi được cộng thêm chia hết cho 7
- Số sau khi được cộng thêm chia hết cho 5
Gọi a là số cộng thêm vào
Suy ra (777…..7777 + a) $ \vdots $ 7 và (777….777 + a) $ \vdots $ 5
Có 777…..777 $ \vdots $ 7 nên a $ \vdots $ 7
Lại có 777…..777 chia 5 dư 2. Để (777….777 + a) chia hết cho 5 thì a chia 5 dư 3
Suy ra a = 3 ; 8 ; 13 ; 18 ; 23 ; 28 ; …
Mà a chia hết cho 7 nên a = 28.
Vậy phải cộng thêm vào số đó 28 đơn vị để được một số chia hết cho 35.
Một người bán hàng có 5 hộp, mỗi hộp đựng cam hoặc táo. Số quả cam, hoặc táo trong các hộp lần lượt là: 40, 45, 50, 65, 71. Sau khi bán đi 1 hộp thì còn lại số cam gấp 3 lần số táo? Hỏi còn lại bao nhiêu quả táo?
Sau khi bán đi 1 hộp thì còn lại số cam gấp 3 lần số táo. Vậy số quả còn lại sau khi bán chia hết cho 4.
Số quả cam và táo ban đầu là
40 + 45 + 50 + 65 + 71 = 271 (quả)
Sau khi bán đi 1 hộp thì còn lại số cam gấp 3 lần số táo. Vậy số quả còn lại sau khi bán chia hết cho 4.
Mà 271 chia 4 dư 3 nên hộp đã bán đi có số quả chia 4 dư 3. Vậy hộp đã bán đi có 71 quả.
Số quả còn lại sau khi bán là
271 – 71 = 200 (quả)
Sau khi bán 1 hộp thì số táo bằng $\frac{1}{4}$ số quả còn lại.
Số quả táo còn lại sau khi bán là
200 : 4 = 50 (quả)
Đáp số: 50 quả
(ASM 2019 – 2020)
Cho dãy số: 2 ; 22 ; 222 ; ….. Hỏi số thứ 21 của dãy chia 9 dư mấy?
Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Số thứ 21 trong dãy có 21 chữ số 2.
Tổng các chữ số của số đó là 2 x 21 = 42
Ta có 42 : 9 = 4 (dư 6)
Vậy số thứ 21 trong dãy chia 9 dư 6.
(Lương Thế Vinh 2018-2019)
Trong một tháng có 3 ngày chủ nhật trùng vào ngày chẵn. Hỏi ngày 25 tháng đó là ngày thứ mấy trong tuần?
Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn thì tháng đó có 5 chủ nhật vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30.
Ta có hai chủ nhật là ngày chẵn cách nhau 14 ngày.
Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn thì tháng đó có 5 chủ nhật vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30
Ngày 23 tháng đó là chủ nhật nên ngày 25 là thứ ba.
(Lương Thế Vinh 2013 – 2014)
Một người nói: “Tôi sinh sau năm 1976, nhưng trước năm 1984. Cứ 4 năm tôi mới có một lần sinh nhật”. Hỏi người đó sinh ngày nào, tháng nào, năm nào?
Vì 4 năm người đó mới có sinh nhật nên người đó sinh vào năm nhuận.
Từ đó ta xác định được ngày tháng năm sinh của người đó.
Cứ 4 năm người đó mới có 1 lần sinh nhật nên người đó sinh vào ngày 29 /2 của năm nhuận.
Mà người đó sinh sau năm 1976, nhưng trước năm 1984 nên ngày sinh của người đó là 29/02/1980
Ngày 1 tháng 6 năm 2011 là ngày thứ Sáu. Hỏi ngày 1/6 năm sau là ngày thứ mấy?
- Tìm số ngày từ 1/6/2021 đến 1/6/2022
- Lấy số ngày vừa tìm được chia cho 7. Dựa vào số dư ta tìm được câu trả lời của bài toán.
Ta có năm 2012 là năm nhuận nên tháng 2 năm 2012 có 29 ngày.
Suy ra từ ngày 1/ 6/2011 đến ngày 1/6/2012 có 366 ngày.
Ta có 366 : 7 = 52 (dư 2)
Vậy ngày 1 – 6 – 2012 là chủ nhật.
(Lương Thế Vinh 2009 – 2010).
Từ 1 giờ chủ nhật này đến 3 giờ chủ nhật tiếp theo có bao nhiêu giờ?
Áp dụng kiến thức:
1 tuần có 7 ngày ; 1 ngày có 24 giờ
Từ 1 giờ chủ nhật này đến 1 giờ chủ nhật tiếp theo có 7 ngày.
Từ 1 giờ chủ nhật này đến 3 giờ chủ nhật tiếp theo có số giờ là 24 x 7 + 2 = 170giờ.
(Amsterdam 2006 – 2007)
Trong một tháng có 3 ngày thứ 7 là ngày chẵn. Hỏi ngày 13 của tháng đó là thứ mấy?
Một tháng có 3 ngày thứ bảy là ngày chẵn nên tháng đó có 5 thứ bảy vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30.
Ta có hai ngày thứ bảy là ngày chẵn cách nhau 14 ngày.
Một tháng có 3 ngày thứ bảy là ngày chẵn nên tháng đó có 5 thứ bảy vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30
Ngày 16 tháng đó là thứ bảy nên ngày 13 là thứ tư.
Một chuỗi các viên bi được sắp xếp theo quy luật sau: 5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng, 5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng,... Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi màu của viên thứ 321 là màu gì? Màu của viên thứ 508 là màu gì?
- Tìm số viên bi của mỗi nhóm (5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng tạo thành 1 nhóm)
- Lấy 321 : số viên bi ở mỗi nhóm và 508 : số viên bi ở mỗi nhóm
- Dựa vào số dư tìm được màu sắc của viên bi thứ 321 và 508.
Các viên bi sắp xếp theo quy luật: 5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng rồi tiếp tục lặp lại như vậy.
Coi mỗi nhóm gồm 13 viên bi (gồm 5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng)
Ta có 321 : 13 = 24 (dư 9). Vậy viên thứ 321 màu đen.
508 : 13 = 39 (dư 1). Vậy viên thứ 508 màu xanh.
Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn. Hỏi ngày 15 của tháng đó là thứ mấy?
Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn nên tháng đó có 5 chủ nhật vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30.
Từ đó trả lời được câu hỏi của bài toán.
Ta có hai ngày chủ nhật chẵn cách nhau 14 ngày.
Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn nên tháng đó có 5 chủ nhật vào các ngày 2 , 9 , 16 , 23 , 30
Ngày 16 tháng đó là chủ nhật nên ngày 15 là thứ bảy.
Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ trứng gà và trứng vịt (mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ theo thứ tự lần lượt là: 45 ; 56 ; 60 ; 66 ; 75 ; 85 và 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại 1 rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
- Tìm tổng số trứng cửa hàng có lúc đầu
- Trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà nên số trứng đã bán phải chia hết cho 4. Từ đó ta tìm được rổ trứng còn lại
Tổng số trứng cửa hàng có lúc đầu là
45 + 56 + 60 + 66 + 75 + 85 + 92 = 479 (quả)
Trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà nên số trứng đã bán phải chia hết cho 4.
Mà 479 chia 4 dư 3, số trứng đã bán chia hết cho 4 nên số trứng còn lại phải chia cho 4 dư 3.
Vậy còn lại rổ đựng 75 quả trứng gà.
Só trứng gà đã bán bằng số trứng đã bán. Do đó số trứng gà đã bán là
(479 – 75) : 4 = 101 (quả)
Số trứng gà lúc đầu cửa hàng có là
75 + 101 = 176 (quả)
Số trứng vịt lúc đầu cửa hàng có là
479 – 176 = 303 (quả)
Đáp số: 303 quả
Một cửa hàng hoa quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 ; 115 ; 132 ; 136 và 148 quả. Sau khi bán được 1 rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu quả mỗi loại?
- Tìm tổng số quả cam và chanh cửa hàng có
- Vì sau khi bán 1 rổ thì số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên số quả còn lại là số chia hết cho 5. Từ đó ta tìm được rổ đã bán
Tổng số cam và chanh của cửa hàng là
104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả)
Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên tổng số quả còn lại phải chia hết cho 5.
Suy ra số cam đã bán chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng $\frac{1}{5}$ số quả chưa bán. Do đó số cam còn lại là:
(104 + 132 + 136 + 148) : 5 = 104 (quả)
Số cam lúc đầu của cửa hàng là
115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là
635 – 219 = 416 (quả)
Đáp số: Số cam: 219 quả
Số chanh: 416 quả
Hãy viết thêm hai chữ số vào bên phải và một chữ số vào bên trái số 54 để được số lớn nhất có năm chữ số thỏa mãn tính chất: chia số đó cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 9 dư 8.
- Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
- Dấu hiệu chia hết cho 4: số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4
- Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b.
Số cần tìm có dạng $\overline {a54bc} $.
Vì $\overline {a54bc} $ chia cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 9 dư 8
Để $\overline {a54bc} $ chia cho 5 dư 4 thì c = 4 hoặc c = 9
Mặt khác $\overline {a54bc} $ là số lớn nhất nên c = 9. Thay vào ta được số $\overline {a54b9} $
Để $\overline {a54b9} $ chia 4 dư 3 thì $\overline {b9} $ chia 4 dư 3. Nên b = 3 ; 5 ; 7 ; 9
Vì $\overline {a54b9} $ lớn nhất nên b = 9. Thay vào ta được số $\overline {a5499} $
Để $\overline {a5499} $ chia cho 9 dư 8 thì (a + 5 + 4 + 9 + 9) – 8 chia hết cho 9.
Suy ra a + 19 chia hết cho 9. Nên a = 8
Vậy số cần tìm là 85499.
Hãy viết thêm ba chữ số vào bên phải số 567 để được một số lẻ có sáu chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
- Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
- Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Gọi số viết thêm là $\overline {abc} $
Để $\overline {567abc} $ là số lẻ chia 5 dư 1 thì c = 1. Thay vào ta được số $\overline {567ab1} $
Để số này chia cho 9 dư 1 thì (5 + 6 + 7 + a + b + 1) – 1 = 18 + a + b chia cho 9
Suy ra a + b = 9 hoặc 18.
Mà nhận được có 6 chữ số khác nhau nên a = 0 , b = 9 hoặc a = 9, b = 0
Vậy số cần tìm là 567091; 567901
Cho $A = \overline {x036y} $. Tìm x và y để A chia cho 2, 5 và 9 đều dư 1.
Dựa vào dấu hiệu chia hết:
- Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng bằng 0
- Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Để $\overline {x036y} $ chia cho 2 và 5 dư 1 thì y = 1. Ta được số $\overline {x0361} $
Để $\overline {x0361} $ chia 9 dư 1 thì (x + 0 + 3 + 6 + 1) – 1 chia hết cho 9
Hay x + 9 chia hết cho 9. Suy ra x = 9
Vậy x = 9, y = 1
Cho số $\overline {5x1y} $. Hãy tìm x và y để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và chia cho 5 dư 4.
- Để số cần tìm chia cho 5 dư 4 thì chữ số tận cùng là 4 hoặc 9.
- Tiếp tục dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 3 để tìm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để số $\overline {5x1y} $ chia 5 dư 4 thì y = 4 hoặc y = 9
Mà $\overline {5x1y} $ chia hết cho 2 nên y = 4. Ta được số $\overline {5x14} $
Để $\overline {5x14} $ chia hết cho 3 thì 5 + x + 1 + 4 chia hết cho 3. Suy ra x = 2 hoặc 8
Vậy các số thỏa mãn là 5214, 5814.
Tìm a và b để số $\overline {a391b} $ chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Để $\overline {a391b} $ chia 5 dư 1 thì b = 1 hoặc b = 6
- Với b = 1 ta có số $\overline {a3911} $
Để $\overline {a3911} $ chia hết cho 9 thì a + 3 + 9 + 1 + 1 = a + 14 chia hết cho 9.
Suy ra a = 4. Ta được số 43911.
- Với b = 6 ta có số $\overline {a3916} $
Để số $\overline {a3916} $ chia hết cho 9 thì a + 3 + 9 + 1 + 6 = a + 18 chia hết cho 9
Suy ra a = 9. Ta được số 93916.
Vậy a = 4 và b = 1 ta được số 43911
Hoặc a = 9 và b = 6 ta được số 93916
Tìm a và b để $\overline {56a3b} $ chia hết cho 36.
Số cần tìm chia hết cho 36 nên số đó chia hết cho 4 và 9.
- Dấu hiệu chia hết cho 4: Số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4
- Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
Để $\overline {56a3b} $ chia hết cho 36 thì số đó chia hết cho 4 và 9.
$\overline {56a3b} $ chia hết cho 4 thì $\overline {3b} $ chia hết cho 4. Suy ra b = 2 hoặc b = 6
- Với b = 2 ta được số $\overline {56a32} $.
Số $\overline {56a32} $ chia hết cho 9 nên 5 + 6 + a + 3 + 2 = 16 + a chia hết cho 9. Suy ra a = 2
- Với b = 6 ta được số $\overline {56a36} $
Số $\overline {56a36} $ chia hết cho 9 nên 5 + 6 + a + 3 + 6 chia hết cho 9.
Suy ra 20 + a chia hết cho 9. Suy ra a = 7
Vậy a = 2 , b = 2 ta có số 56232
a = 7 , b = 6 ta có số 56736
Giải bài tập những môn khác
Môn Tiếng Anh lớp 5
Môn Toán học lớp 5
Môn Tiếng việt lớp 5
Lời giải và bài tập Lớp 5 đang được quan tâm
