SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tổng quan về bài học

Bài học này sẽ giới thiệu cho bạn về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong hình học, giúp bạn hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông, từ đó giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách dễ dàng.

Kiến thức và kỹ năng

Qua bài học này, bạn sẽ:

Hiểu rõ định nghĩa về hai tam giác vuông bằng nhau. Nắm vững bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông: Trường hợp 1: Cạnh huyền - Cạnh góc vuông Trường hợp 2: Cạnh huyền - Góc nhọn Trường hợp 3: Hai cạnh góc vuông Trường hợp 4: Góc nhọn - Cạnh góc vuông Áp dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, từ đó tìm ra các yếu tố tương ứng bằng nhau.
Phương pháp tiếp cận

Bài học được tổ chức theo trình tự logic, giúp bạn dễ dàng tiếp thu kiến thức:

1. Giới thiệu: Nắm bắt kiến thức cơ bản về tam giác vuông và hai tam giác vuông bằng nhau.
2. Các trường hợp bằng nhau: Tìm hiểu từng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, phân tích điều kiện và cách chứng minh.
3. Bài tập minh họa: Áp dụng các trường hợp bằng nhau để giải quyết các bài toán cụ thể.
4. Luyện tập: Luyện tập kỹ năng chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau và giải quyết các bài toán liên quan.

Ứng dụng thực tế

Kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông được ứng dụng rộng rãi trong đời sống và trong các ngành nghề như:

Kiến trúc: Xây dựng các công trình vững chắc dựa trên nguyên tắc về tam giác vuông và các trường hợp bằng nhau.
Kỹ thuật: Thiết kế và chế tạo các thiết bị, máy móc, kết cấu chịu lực, đảm bảo độ chính xác và an toàn.
Địa hình: Xác định khoảng cách, chiều cao, vị trí dựa trên các phép đo và ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Kết nối với chương trình học

Bài học này là nền tảng cho các bài học tiếp theo về tam giác vuông trong chương trình hình học lớp 7 và các lớp học cao hơn, giúp bạn:

Hiểu rõ hơn về các tính chất của tam giác vuông. Nắm vững các phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Phát triển khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Hướng dẫn học tập

Để học hiệu quả bài học này, bạn nên:

Chủ động ghi chú: Ghi lại những kiến thức quan trọng, công thức, định lý trong quá trình học.
Luyện tập thường xuyên: Làm các bài tập minh họa và bài tập luyện tập trong sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
Thảo luận với bạn bè: Trao đổi, giải đáp những thắc mắc, cùng nhau tìm hiểu và giải quyết vấn đề.
Hỏi giáo viên: Luôn chủ động đặt câu hỏi khi chưa hiểu hoặc cần được giải thích rõ hơn.

Từ khóa

Tam giác vuông
Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Cạnh huyền
Cạnh góc vuông
Góc nhọn
Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài toán về tam giác vuông

Điểm tin

Bài học này thuộc chương trình hình học lớp 7, là kiến thức nền tảng cho các bài học tiếp theo về tam giác vuông. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông được sử dụng rộng rãi trong đời sống và các ngành nghề. * Hãy chủ động ghi chú, luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức bài học.

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Chứng minh rằng $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc - cạnh.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC; $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}=90^0$ (tính chất hình chữ nhật)

Xét 2 tam giác ABM và DCM có:

AB=DC (cmt)

$\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$ (cmt)

BM=CM (gt)

=>$\Delta ABM = \Delta DCM$(c.g.c)

Đề bài

Cho hình 4.56, biết AB=CD, $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^o}$. Chứng minh rằng $\Delta ABE = \Delta DCE$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh 2 tam giác vuông AEB và DEC bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh - góc

Lời giải chi tiết

Vì tổng 3 góc trong 1 tam giác luôn bằng 180 độ.

Xét hai tam giác AEB và DEC có:

$\widehat {AEB} = \widehat {DEC}$(đối đỉnh) và $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^o}$.

Suy ra: $\widehat {ABE} = \widehat {DCE}$

Xét 2 tam giác AEB và DEC có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BDC} (= {90^o}$)

$AB=DC$ (gt)

$\widehat {ABE} = \widehat {DCE}$ (cmt)

=>$\Delta AEB = \Delta DEC$(g.c.g)

Đề bài

Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác vuông để chứng minh các cặp tam giác trên bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Xét 2 tam giác vuông ABC và ADC có:

$\widehat {ACB} = \widehat {ACD}( = 90^\circ )$

AC chung

$\widehat {BAC} = \widehat {DAC}$(gt)

=>$\Delta ABC = \Delta ADC$(g.c.g)

b) Xét 2 tam giác vuông HEG và GFH có:

HE=GF(gt)

HG chung

=>$\Delta HEG = \Delta GFH$(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Xét 2 tam giác vuông QMK và NMP có:

QK=NP(gt)

$\widehat K = \widehat P$(gt)

=>$\Delta QMK = \Delta NMP$(cạnh huyền – góc nhọn)

d) Xét 2 tam giác vuông VST và UTS có:

VS=UT(gt)

ST chung

=>$\Delta VST = \Delta UTS$(2 cạnh góc vuông)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 4 HĐ 5 Câu hỏi Luyện tập 3 Thử thách nhỏ

HĐ 4

Vẽ tam giác vuông ABC có A = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

• Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

• Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

•Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác theo các bước hướng dẫn.

Lời giải chi tiết:

HĐ 5

Tương tự, vẽ thêm tam giác ABC có A = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không?

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng hoặc compa kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra được AC = A'C'

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau vì 3 cặp cạnh đều bằng nhau

Câu hỏi

Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và GHK vuông tại G có:

AB = GH (gt)

BC = HK (gt)

Do đó $Δ A B C = Δ G H K$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và MNP vuông tại M có:

DF = MP (gt)

EF = NP (gt)

Do đó $Δ D EF = Δ M N P$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $Δ A B C = Δ G H K, Δ D EF = Δ M N P .$

Luyện tập 3

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và chỉ ra 3 cặp tam giác vuông bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Vì A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.

Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:

OA = OC (cmt)

ON chung

Do đó $Δ O N A = Δ O N C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OB = OC (cmt)

OM chung

Do đó $Δ O M B = Δ O M C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:

OA = OB (cmt)

OP chung

Do đó $Δ OPA = Δ OPB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Thử thách nhỏ

Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B’H’ như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác BAH và B'A'H’ bằng nhau, từ đó suy ra 2 góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác BAH và B'A'H’ có:

AB=A’B’

BH=B’H’

Suy ra $\Delta BAH = \Delta B'A'H'$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>$\widehat {BAH}{\rm{ = }}\widehat {B'A'H}$(hai góc tương ứng).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 1 HĐ 2 Luyện tập 1 HĐ 3 Câu hỏi Luyện tập 2

HĐ 1

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và ABC bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai cạnh và góc xen giữa của hai tam giác trên bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét 2 tam giác ABC và A’B’C có:

AB=A’B’ (gt)

$\widehat A = \widehat {A'}$ (gt)

AC=A’C’ (gt)

$ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'$(c.g.c)

HĐ 2

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và ABC vuông tại đỉnh A) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A'B', $\widehat B = \widehat {B'}$ (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và ABC bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.

Lời giải chi tiết:

Xét 2 tam giác ABC và A'B'C' có:

$\widehat B = \widehat {B'}$ (gt)

AB=A’B’ (gt)

$\widehat A = \widehat {A'}$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'$(g.c.g)

Luyện tập 1

Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Phương pháp giải:

Áp dụng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. Vì hai tam giác vuông này bằng nhau ( g-c-g)

HĐ 3

Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B’C’ và các góc B, B’. Khi đó AC, A’C’ mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

b) Chứng minh AC=A’C’

Lời giải chi tiết:

a)Xét hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ có:

BC=B’C’ (gt)

$\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'$(cạnh huyền – góc nhọn)

b)Do $\Delta ABC = \Delta A'B'C'$ nên AC=A’C’ ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy độ cao hai con dốc bằng nhau.

Câu hỏi

Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh ba cặp tam giác vuông bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau đã học.

Lời giải chi tiết:

+)Xét hai tam giác vuông ABC và XYZ có:

$\widehat A = \widehat X( = 90^\circ )$ (gt)

AC=XZ (gt)

$\widehat C = \widehat Z$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta XYZ$ (g.c.g)

+)Xét hai tam giác vuông DEF và GHK có:

$EF = HK$ (gt)

$\widehat {EFD} = \widehat {GKH}$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta DEF = \Delta GHK$ (cạnh huyền – góc nhọn)

+)Xét hai tam giác vuông MNP và RTS có:

$MN = TR$ (gt)

$\widehat R = \widehat M( = 90^\circ )$ (gt)

$PM = SR$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta MNP = \Delta RTS$ (c.g.c)

Luyện tập 2

Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy(H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác OBM và OAM bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác vuông OBM và OAM có:

OM chung

$\widehat {BOM} = \widehat {AOM}$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta OBM = \Delta OAM$(cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MB=MA ( 2 cạnh tương ứng)

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

a) Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ( c.g.c)

Xét tam giác ABC và A’B’C’, ta có:

AB = A’B’

$\widehat A = \widehat {A'}( = 90^\circ )$

AC = A’C’

Vậy $\Delta ABC = \Delta A'B'C'$ ( c.g.c)

b) Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (g.c.g)

Xét tam giác ABC và A’B’C’, ta có:

$\widehat A = \widehat {A'}( = 90^\circ )$

AB = A’B’

$\widehat B = \widehat {B'}$

Vậy $\Delta ABC = \Delta A'B'C'$ ( g.c.g)

c) Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ( cạnh huyền – góc nhọn)

Xét tam giác vuông ABC và DEF, ta có:

BC = EF

$\widehat C = \widehat F$

Vậy $\Delta ABC = \Delta DEF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)