SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Tiêu đề Meta: Tính chất dãy tỉ số bằng nhau - Toán 7 Mô tả Meta: Bài học chi tiết về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong toán lớp 7. Học sinh sẽ tìm hiểu định nghĩa, các tính chất và cách áp dụng vào giải bài tập. Học cách giải các bài toán liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau. 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất quan trọng của dãy tỉ số bằng nhau trong toán học lớp 7. Chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa, các tính chất cơ bản và cách áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu rõ và vận dụng thành thạo tính chất này vào việc giải các bài tập liên quan đến tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.

2. Kiến thức và kỹ năng

Sau bài học, học sinh sẽ có khả năng:

Hiểu rõ khái niệm dãy tỉ số bằng nhau. Nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Vận dụng tính chất vào giải các bài tập về tìm x trong các đẳng thức có chứa tỉ lệ thức. Áp dụng tính chất vào các bài toán thực tế. Phân tích và lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán. Tính toán chính xác và trình bày rõ ràng lời giải. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sẽ được tổ chức theo trình tự sau:

1. Giới thiệu khái niệm: Định nghĩa dãy tỉ số bằng nhau và các ví dụ minh họa.
2. Phát biểu tính chất: Giới thiệu các tính chất quan trọng và ý nghĩa của chúng.
3. Các ví dụ minh họa: Giải chi tiết một số bài toán, phân tích từng bước giải để học sinh hiểu rõ cách áp dụng tính chất.
4. Bài tập thực hành: Học sinh thực hành giải các bài tập có mức độ từ dễ đến khó, bao gồm cả những bài tập vận dụng linh hoạt.
5. Thảo luận nhóm: Khuyến khích học sinh thảo luận nhóm, chia sẻ ý tưởng, giải pháp và cùng nhau tìm ra đáp án.
6. Tổng kết: Tóm lại nội dung chính của bài học và nhấn mạnh những điểm cần lưu ý.

4. Ứng dụng thực tế

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Phân chia tỉ lệ: Chia một số lượng thành các phần tỉ lệ với các số cho trước. Bài toán về hỗn hợp: Tính toán thành phần trong một hỗn hợp. Vấn đề về vận tốc, thời gian, quãng đường: Ứng dụng vào các bài toán liên quan đến vận tốc, thời gian, quãng đường. 5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là bước tiếp theo trong chuỗi bài học về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Nó liên quan mật thiết đến các bài học trước về tính chất của tỉ lệ thức và sẽ là nền tảng quan trọng cho việc học các bài học về phương trình và bất phương trình sau này.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tốt bài này, học sinh nên:

Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ khái niệm và các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài toán khác nhau để làm quen với cách vận dụng tính chất.
Tập phân tích bài toán: Phân tích bài toán để xác định những thông tin cần thiết và áp dụng tính chất phù hợp.
Thảo luận với bạn bè: Trao đổi ý kiến và cùng nhau giải quyết các bài tập khó.
Ghi chép cẩn thận: Tập ghi chép những điểm chính và các ví dụ minh họa.

Từ khóa (40 từ):

tỉ số bằng nhau, dãy tỉ số bằng nhau, tính chất tỉ số, tỉ lệ thức, toán lớp 7, toán học, phương trình, bất phương trình, phân chia tỉ lệ, bài tập toán, giải bài tập, ví dụ, cách giải, thực hành, ứng dụng, hỗn hợp, vận tốc, thời gian, quãng đường, phương pháp, giải quyết vấn đề, phân tích, thảo luận nhóm, ghi chép, lý thuyết, bài học, kiến thức, kỹ năng, áp dụng, minh họa, tính toán, trình bày, đẳng thức, tìm x, số học, đại số

Lưu ý: Đây là một bài giới thiệu tổng quan. Để có bài học chi tiết hơn, cần thêm các ví dụ cụ thể, bài tập thực hành và phần hướng dẫn chi tiết hơn về phương pháp giải từng dạng bài tập.

Đề bài

Ba lớp 7A, 7B, 7C được giao nhiệm vụ trồng 120 cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 7;8;9.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi số cây 3 lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là x, y, z (x,y,z > 0)

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$

Lời giải chi tiết

Gọi số cây 3 lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là x, y, z (x,y,z > 0)

Vì tổng số cây trồng của 3 lớp là 120 cây nên x+y+z = 120

Vì số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 7;8;9 nên $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9} = \dfrac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 9}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5\\ \Rightarrow x = 5.7 = 35\\y = 5.8 = 40\\z = 5.9 = 45\end{array}$

Vậy số cây 3 lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là 35; 40; 45 cây.

Đề bài

Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,95. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}$

Lời giải chi tiết

Gọi số sản phẩm 2 người làm được lần lượt là x, y (sản phẩm) (x, y > 0)

Vì người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm nên x – y = 10

Vì tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,95 nên $\dfrac{y}{x} = 0,95 \Rightarrow 0,95x=y\Rightarrow \dfrac{y}{{0,95}} = \dfrac{x}{1}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{0,95}} = \dfrac{{x - y}}{{1 - 0,95}} = \dfrac{{10}}{{0,05}} = 200\\ \Rightarrow x = 200.1 = 200\\y = 200.0,95 = 190\end{array}$

Vậy 2 người làm được lần lượt là 200 và 190 sản phẩm.

Đề bài

Tìm hai số x và y, biết: $\dfrac{x}{{17}} = \dfrac{y}{{21}}$ và x - y= 8

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{{17}} = \dfrac{y}{{21}} = \dfrac{{x - y}}{{17 - 21}} = \dfrac{8}{{ - 4}} = - 2\\ \Rightarrow x = ( - 2).17 = - 34\\y = ( - 2).21 = - 42\end{array}$

Vậy $x= -34; y = -42$

Đề bài

Tìm hai số x và y, biết: $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}}$ và x+y = 40

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}$.

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}} = \dfrac{{x + y}}{{9 + 11}} = \dfrac{{40}}{{20}} = 2\\ \Rightarrow x = 2.9 = 18\\y = 2.11 = 22\end{array}$

Vậy x= 18, y = 22.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 1 Hoạt động 2 Luyện tập Vận dụng

Hoạt động 1

Cho tỉ lệ thức $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$. Tính các tỉ số $\dfrac{{2 + 6}}{{3 + 9}}$ và $\dfrac{{2 - 6}}{{3 - 9}}$

Hoạt động 1

Phương pháp giải:

Tính tỉ số

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2 + 6}}{{3 + 9}} = \dfrac{8}{{12}} = \dfrac{2}{3};\\\dfrac{{2 - 6}}{{3 - 9}} = \dfrac{{ - 4}}{{ - 6}} = \dfrac{2}{3}\end{array}$

Hoạt động 2

So sánh hai tỉ số nhận được ở HĐ 1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

Phương pháp giải:

So sánh 2 tỉ số

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2 + 6}}{{3 + 9}} =\dfrac{{2 - 6}}{{3 - 9}} \end{array}$ (cùng $= \dfrac{2}{3}$)

Luyện tập

Tìm hai số x và y biết: $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{17}}$ và x – y = 12

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{17}} = \dfrac{{x - y}}{{11 - 17}} = \dfrac{{12}}{{ - 6}} = - 2\\ \Rightarrow x = ( - 2).11 = - 22\\y = ( - 2).17 = - 34\end{array}$

Vậy $x = -22; y = -34$.

Vận dụng

Ba nhà đầu tư góp vốn để mở một công ty theo tỉ lệ 2:3:4. Cuối năm, số tiền lợi nhuận công ty dự kiến trả cho các nhà đầu tư là 72 triệu đồng, chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lợi nhận mỗi nhà đầu tư nhận được.

Phương pháp giải:

Gọi số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được là x, y, z (x,y,z > 0)

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được là x, y, z ( triệu đồng) (x,y,z > 0)

Vì tổng lợi nhuận mà 3 nhà đầu tư nhận được là 72 triệu đồng nên x+y+z = 72

Vì số tiền lợi nhuận tỉ lệ với 2:3:4 nên $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 4}} = \dfrac{{72}}{9} = 8\\ \Rightarrow x = 8.2 = 16\\y = 8.3 = 24\\z = 8.4 = 32\end{array}$

Vậy 3 nhà đầu tư lần lượt nhận được 16 triệu đồng, 24 triệu đồng, 32 triệu đồng.

I. Các kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

* Ta có $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}$

* Từ dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$ ta suy ra:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}$

Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.

Ví dụ: $\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 + 5}}{{6 + 3}} = \dfrac{{15}}{9}$

$\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 - 5}}{{6 -3}}$

* Mở rộng

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$

Ví dụ:

$\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{2.10 + 3.5}}{{2.6 + 3.3}} = \dfrac{{35}}{{21}}$

Chú ý:

Khi nói các số $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,\,b,\,c$ tức là ta có $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$. Ta cũng viết $x:y:z = a:b:c$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}$

Từ đó $x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b$ .

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$ \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}$

Từ đó $x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;$$y = \dfrac{p}{{a - b}}.b$ .

Ví dụ: Tìm hai số $x;y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = - 32$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4$

Do đó $\frac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12$ và $\frac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.$

Vậy $x = - 12;y = - 20.$

Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$, ta làm như sau:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}$

Từ đó $x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b$; $z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c$.

Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số $x;\,y$ biết $x.y = P$ và $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$

Cách 1: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Đặt $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k$ ta có $x = ka;\,y = kb$

Nên $x.y = ka.kb = {k^2}ab = P $$\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}$

Từ đó tìm được $k$ sau đó tìm được $x,y$.

Cách 2: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}$ hay $\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} $$\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}$ từ đó tìm được $x$ và $y.$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức

Phương pháp:

+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài

+ Lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.