[SGK Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Bài học này tập trung vào khám phá tính chất quan trọng về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác. Học sinh sẽ được làm quen với khái niệm về đường trung trực và đường cao của tam giác, từ đó tìm hiểu về sự đồng quy của chúng và cách xác định điểm đồng quy đó. Mục tiêu chính là giúp học sinh:
Hiểu rõ khái niệm đường trung trực và đường cao của tam giác.
Nhận biết và chứng minh sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác.
Áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán hình học liên quan.
Kiến thức:
Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.
Định nghĩa đường cao của tam giác.
Khái niệm về điểm đồng quy.
Tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác.
Kỹ năng:
Vẽ đường trung trực và đường cao của tam giác.
Xác định giao điểm của các đường trung trực hoặc các đường cao.
Chứng minh tính chất hình học.
Phân tích và giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
Bài học sẽ được thiết kế theo phương pháp kết hợp lý thuyết và thực hành.
Giải thích lý thuyết:
Giáo viên sẽ trình bày rõ ràng các khái niệm về đường trung trực, đường cao và điểm đồng quy.
Minh họa bằng hình ảnh:
Sử dụng các hình vẽ minh họa để giúp học sinh hình dung rõ hơn về các đường trung trực, đường cao và vị trí điểm đồng quy.
Thảo luận nhóm:
Học sinh sẽ được chia nhóm để thảo luận và giải quyết các bài tập liên quan.
Bài tập thực hành:
Học sinh sẽ được thực hành vẽ, xác định và chứng minh sự đồng quy của các đường trung trực hoặc đường cao trong các tam giác khác nhau.
Hướng dẫn tự học:
Học sinh sẽ được hướng dẫn cách tự tìm kiếm thông tin và giải quyết các bài tập khó.
Kiến thức về sự đồng quy của đường trung trực và đường cao trong tam giác có nhiều ứng dụng thực tế, mặc dù không trực tiếp. Hiểu rõ các tính chất này sẽ giúp các em:
Hiểu rõ hơn về hình học:
Củng cố kiến thức hình học, làm nền tảng cho việc học các bài học về hình học phức tạp hơn sau này.
Phát triển tư duy logic:
Việc chứng minh các tính chất cần tư duy logic, phân tích và suy luận.
Ứng dụng trong các lĩnh vực khác:
Kỹ năng giải quyết vấn đề hình học có thể ứng dụng vào các lĩnh vực khác như xây dựng, thiết kế, hoặc đo đạc.
Bài học này là bước phát triển tiếp theo của các bài học về tam giác, đường trung tuyến, đường phân giác. Nó giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức và nâng cao khả năng tư duy hình học. Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về tam giác, các đường đặc biệt trong tam giác trước khi học bài này.
6. Hướng dẫn học tập Chuẩn bị trước bài học:
Học sinh nên xem lại các khái niệm liên quan đến tam giác, đường trung trực và đường cao.
Tham gia tích cực:
Thảo luận, đưa ra ý kiến và giải quyết các bài tập cùng nhóm.
Ghi chép cẩn thận:
Ghi lại các định lý, định nghĩa và các ví dụ minh họa.
Làm bài tập thường xuyên:
Thực hành giải các bài tập hình học để củng cố kiến thức.
Tìm hiểu thêm:
Học sinh có thể tìm hiểu thêm về các điểm đặc biệt khác trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp.
1. Đường trung trực
2. Đường cao
3. Tam giác
4. Điểm đồng quy
5. Hình học
6. Đường thẳng
7. Hình học phẳng
8. Bài tập hình học
9. Giao điểm
10. Chứng minh hình học
11. Định lý
12. Định nghĩa
13. Trung điểm
14. Đoạn thẳng
15. Tam giác cân
16. Tam giác đều
17. Tam giác vuông
18. Hình học không gian
19. Toán học
20. Đường thẳng song song
21. Đường thẳng cắt nhau
22. Góc
23. Độ dài
24. Diện tích
25. Phương trình đường thẳng
26. Phương trình đường tròn
27. Hệ thức lượng trong tam giác
28. Trọng tâm
29. Trực tâm
30. Tâm đường tròn ngoại tiếp
31. Tâm đường tròn nội tiếp
32. Đường phân giác
33. Đường trung tuyến
34. Tính chất đường trung trực
35. Tính chất đường cao
36. Đồng quy
37. Định lý về sự đồng quy
38. Hệ thống hóa kiến thức
39. Hình vẽ
40. Bài tập ứng dụng
Đề bài
a) Có một chi tiết máy ( đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ?
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy sau đó xác định giao điểm 3 đường trung trực của đoạn AB, BC, CA.
b) Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC.
Lời giải chi tiết
a)
- Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.
- Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.
- Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).
b)
- Bước 1: Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC
- Bước 2: 3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA= MB=MC.
- Bước 3: M là điểm cần xác định.
Đề bài
Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác ABC có một góc bằng 90 độ
Lời giải chi tiết
O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) \(OA = OB = OC\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta OAB\) cân tại O.
Giả sử O là trung điểm BC
\( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
\(\Delta OAC\) cân tại O
\( \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)
Xét tam giác ABC có
\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A + \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A + \widehat A = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^0}\end{array}\)
Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Đề bài
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {100^0}\) và trực tâm H. Tìm góc BHC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính \(\widehat {BAD}\)(Kề bù với \(\widehat {BAC}\))
- Tính \(\widehat {ABD}\)(Tam giác ABD vuông tại D)
- Tính \(\widehat {BHC}\)(Tam giác BHE vuông tại E)
Lời giải chi tiết
Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC
=> HC ⊥ BE, HB ⊥ CD
Ta có: Vì \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {BAD}\) là 2 góc kề bù nên
\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {BAD} = {180^0}\\ \Rightarrow {100^0} + \widehat {BAD} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - {100^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = {80^0}\end{array}\)
∆ADB là tam giác vuông tại D:
\(\begin{array}{l}\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = {90^0}\\ \Rightarrow {80^0} + \widehat {ABD} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABD} = {10^0}\end{array}\)
∆BEH là tam giác vuông tại E
\(\begin{array}{l}\widehat {EBH} + \widehat {BHE} = {90^0}\\ \Rightarrow {10^0} + \widehat {BHE} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BHE} = {80^0}\end{array}\)
Hay \(\widehat {BHC} = {80^0}\)
Đề bài
Cho hai đường thẳng không vuông góc b,c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để vẽ trực tâm ta xác định 2 đường cao của tam giác trên. Giao điểm của 2 đường cao chính là trực tâm của tam giác.
Lời giải chi tiết
- Kẻ HD \( \bot \) đường thẳng c tại điểm D, HE \( \bot \) đường thẳng b tại điểm E
- Nối A với H. Kéo dài DH cắt đường thẳng b tại B.
Từ B kẻ đường vuông góc với AH, đường thẳng đó cắt đường thẳng c tại 1 điểm. Điểm đó chính là điểm C.
=> H là trực tâm của tam giác ABC.
Câu hỏi
Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Phương pháp giải:
Đường cao là đoạn thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
Lời giải chi tiết:
Ứng với 1 cạnh của tam giác, ta có 1 đường cao
Vậy mỗi tam giác có 3 đường cao.
HĐ 3
Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không ?
Phương pháp giải:
Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện
Lời giải chi tiết:
Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi qua điểm H.
Luyện tập 2
a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Phương pháp giải:
a) Chứng minh A thuộc đường trung trực BC nên AD là đường cao.
Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta ACD\) từ đó suy ra AD là phân giác góc A
b) Điểm cách đều ba đỉnh là giao của ba đường trung trực trong tam giác GA = GB = GC
Sử dụng kết quả ý a, chứng minh G là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC
Lời giải chi tiết:
a) Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt BC tại D
Ta có: Tam giác ABC cân nên AB = AC
\( \Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)
\( \Rightarrow AD\)là đường trung trực của BC.
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACD\)có:
AB = AC (gt)
BD = CD (gt)
AD: cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - c - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)
\( \Rightarrow \)AD là tia phân giác góc BAC. Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.
b)
Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA
Tam giác ABC cân tại A có AN là đường trung tuyến
\( \Rightarrow \) AN là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (cm ở ý a)
Tương tự: BP, CM lần lượt là đường phân giác xuất phát từ B và C của tam giác ABC
Mà AN cắt BP tại G
\( \Rightarrow G\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC
\( \Rightarrow G\) cách đều ba cạnh của tam giác ABC (Tính chất)
Đề bài
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
-Xác định các đường cao của mỗi tam giác.
Lời giải chi tiết
a)
Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:
AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M
Trong ΔAHB, ta có:
HM ⊥ AB
BN ⊥ AH
Mà MH cắt BN tại C
=> C là trực tâm của tam giác AHB.
Trong ΔHAC, ta có:
HP ⊥ AC
CN ⊥ AH
Mà HP cắt CN tại B
=> B là trực tâm của ΔHAC.
Trong ΔHBC, ta có:
HN ⊥ BC
BM ⊥ HC
Mà HN cắt BM tại A
=> A là trực tâm của tam giác HBC.
Câu hỏi
Mỗi tam giác có mấy đường trung trực
Phương pháp giải:
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.
HĐ 1
Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?
Phương pháp giải:
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.
HĐ 2
Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)
a) Tại sao OB = OC, OC = OA.
b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không?
Phương pháp giải:
Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC
a) Chứng minh \(\Delta OBM = \Delta OCM\)(c – g – c), \(\Delta OAN = \Delta OCN\)(c – g – c)
b) Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đấy.
Lời giải chi tiết:
a)
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AC.
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OCM\) có:
BM = CM (gt)
\(\widehat {OMB} = \widehat {OMC} = {90^0}\)
OM chung
\( \Rightarrow \Delta OBM = \Delta OCM\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow OB = OC\)(cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự: \(\Delta OAN = \Delta OCN\) (c – g – c) \( \Rightarrow OA = OC\) (cạnh tương ứng)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OC\\OB = OC\end{array} \right.\left( {cmt} \right) \Rightarrow OA = OB\)
\( \Rightarrow O\) cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB
\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Luyện tập 1
Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Áp dụng: Trong tam giác cân ABC cân tại A, đường trung tuyến BN cũng là đường trung trực của AC
Từ đó chứng minh G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA
Tam giác ABC cân tại B có BN là đường trung tuyến
\( \Rightarrow BN\)là đường trung trực của đoạn thẳng AC
Tam giác BAC cân tại A có AP là đường trung tuyến
\( \Rightarrow AP\)là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Mà \(BN \cap AP = G\)
\( \Rightarrow G\)là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
\( \Rightarrow GA = GB = GC\).
Vận dụng 1
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Địa điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà
Lời giải chi tiết:
3 ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là tam giác ABC.
Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Vậy, ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.
TTN
Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.
Lời giải chi tiết:
Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA=QB=QC
Vì QA=QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vì QA=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vì QB=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
